解法の指針

真空中の点電荷・導体球・中空導体球殻について、ガウスの法則を用いて電場・電位を求め、さらに接地による電荷移動やコンデンサーの電気容量を導く問題です。後半では半球電極を用いた光電子分光の原理が出題されています。

問題の構成

• 設問(1)：点電荷 \(Q\) から出る電気力線の本数
• 設問(2)：半径 \(a\) の導体球 A に電荷 \(Q\) を与えたときの電場・電位
• 設問(3)：導体球 A を中空導体球 B（内半径 \(b\)、厚さ \(d\)）で囲んだときの静電誘導と電位
• 問1：(3) の状態における電位 \(V\) の \(r\) 依存性のグラフ
• 設問(4)：中空導体球 B を接地したときの電気容量
• 設問(5)：半球電極を用いた電子の円運動と運動エネルギー
• 設問(6)：光電効果における光電子の運動エネルギーの式
• 問2：光電子の運動エネルギー分布のグラフ選択

設問(1)：電気力線の本数

ガウスの法則：電荷 \(Q\) を囲む閉曲面を貫く電気力線の総本数 \(N\) は、

$$N = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$

ここで \(\varepsilon_0\) は真空の誘電率です。電気力線の密度（単位面積あたりの本数）が電場の強さに等しくなるように定義されているため、半径 \(r\) の球面上では

$$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$

が成り立ちます。

補足：電気力線の本数の定義

「電気力線の本数」は電場 \(E\) と面積 \(S\) の積（電束）\(\Phi = ES\) として定義されます。ガウスの法則 \(\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = Q/\varepsilon_0\) を「本数」の言葉で表現したものです。真空中のクーロンの法則の比例定数を \(k = 1/(4\pi\varepsilon_0)\) とすると、\(N = 4\pi k Q\) とも書けます。

設問(2)：導体球 A の電場と電位

電場：半径 \(a\) の導体球の表面に電荷 \(Q\) が一様に分布します。ガウスの法則より、球の外側（\(r > a\)）では

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} = k\frac{Q}{r^2}$$

電気力線の本数は設問(1)と同じ \(\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0}\) 本です（ア と同じ）。

電位：無限遠を基準（\(V = 0\)）とすると、\(r > a\) では

$$V = k\frac{Q}{r}$$

\(r < a\)（導体内部）では \(E = 0\) なので電位は一定で、表面の値

$$V = k\frac{Q}{a}$$

に等しくなります。したがって、球の中心 O に点電荷を置いた場合と球外部は同じ電場・電位です。

補足：導体球の電荷分布の証明

導体内部では自由電子が移動して平衡状態で \(E = 0\) になります。ガウスの法則を導体表面のすぐ内側に適用すると、内部に囲まれる電荷は 0。よって電荷はすべて導体表面に存在します。球の対称性から表面電荷密度は一様で \(\sigma = Q/(4\pi a^2)\) です。

設問(3)：中空導体球 B で囲んだ場合

静電誘導：中空導体球 B（内半径 \(b\)、厚さ \(d\)）を導体球 A の周りに設置すると、B の内面に \(-Q\)、外面に \(+Q\) が誘起されます。

各領域の電場：

• \(r < a\)：\(E = 0\)（導体 A の内部）
• \(a < r < b\)：\(\displaystyle E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\)（A と B の間）
• \(b < r < b + d\)：\(E = 0\)（導体 B の内部）
• \(r > b + d\)：\(\displaystyle E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\)（B の外側）

電位の計算：無限遠から各点まで電場を積分します。\(r \geq b + d\) では

$$V(r) = k\frac{Q}{r}$$

B の外面（\(r = b + d\)）での電位は

$$V(b + d) = k\frac{Q}{b + d}$$

B は導体なので内部は等電位：\(b \leq r \leq b + d\) で \(V = kQ/(b+d)\)。

\(a \leq r \leq b\) では B 内面の電位から \(A\) 方向へ積分して

$$V(r) = k\frac{Q}{b + d} + kQ\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{b}\right) = kQ\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{b} + \frac{1}{b + d}\right)$$

導体球 A の表面（\(r = a\)）および内部（\(r < a\)）の電位は

$$V_A = kQ\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{b + d}\right)$$

ホ（A と B 間の電位差）：B の内面（\(r = b\)）と A の表面の電位差は

$$V_A - V_B = kQ\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$$

別解：電位の重ね合わせで考える

導体球 A（電荷 \(+Q\)）、B 内面（電荷 \(-Q\)）、B 外面（電荷 \(+Q\)）の 3 つの球面電荷による電位を重ね合わせます。

$$V(r) = k\frac{Q}{r} + k\frac{(-Q)}{b} + k\frac{Q}{b+d} \quad (a \leq r \leq b)$$

ここで半径 \(b\) の球殻内部ではその球殻の電位は \(kQ'/b\)（球殻上の \(Q'\) は \(-Q\)）、同様に半径 \(b+d\) の球殻内部では \(kQ/(b+d)\)。

よって \(V(a) = kQ/a - kQ/b + kQ/(b+d)\) が得られ、主解と一致します。

問1：V-r グラフ

各区間の電位：

• \(r < a\)：\(V = kQ\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b+d}\right)\)（一定）
• \(a \leq r \leq b\)：\(V = kQ\left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b+d}\right)\)（\(1/r\) 曲線）
• \(b \leq r \leq b+d\)：\(V = \dfrac{kQ}{b+d}\)（一定、導体 B 内部）
• \(r \geq b+d\)：\(V = \dfrac{kQ}{r}\)（\(1/r\) 曲線）

設問(4)：接地と電気容量

接地の効果：B を接地すると外面電荷 \(+Q\) が流出し、B の電位が 0 になります。B の内面には \(-Q\) が残ります（A の電気力線を終端させるため）。

導体球 A の電位：接地後、外側の電場は 0 (\(r > b\) で \(E = 0\))。A と B の間（\(a < r < b\)）のみ電場が存在し、

$$V_A = kQ\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$$

電気容量：A-B 間の電位差 \(V_A - V_B = V_A - 0 = V_A\) と蓄えられた電荷 \(Q\) から

$$C = \frac{Q}{V_A} = \frac{4\pi\varepsilon_0}{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} = \frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b - a}$$

補足：平行板コンデンサーとの対応

同心球コンデンサーの電気容量 \(C = 4\pi\varepsilon_0 ab/(b-a)\) は、\(b - a = d \ll a\) のとき \(a \fallingdotseq b\) として

$$C \fallingdotseq \frac{4\pi\varepsilon_0 a^2}{d} = \frac{\varepsilon_0 \cdot 4\pi a^2}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

となり、面積 \(S = 4\pi a^2\)、間隔 \(d\) の平行板コンデンサーの式に一致します。

設問(5)：半球電極中の電子の円運動

設定：半径 \(a\)（内球）と半径 \(b\)（外球）の半球電極があり、内球と外球の間は (4) のコンデンサーと同じ電場です。内球に電位 \(V_s > 0\) を与え、外球は接地します。

領域1の電場：(4) の結果から、中心 P から距離 \(r\) での電場は

$$E(r) = \frac{V_s \cdot ab}{(b - a) \cdot r^2}$$

ここで \(V_s = Q/(4\pi\varepsilon_0) \cdot (1/a - 1/b)\) を代入して整理しました。

リ：内球と外球の組み合わせはコンデンサーとみなすことができます。

円運動の条件：電子（質量 \(m_e\)、電荷 \(-e\)）がスリット S₁ から入射し、半径 \(r_e = (a+b)/2\) の円軌道を描いて S₂ に到達する条件は、電場による力が向心力に等しいことです：

$$eE(r_e) = \frac{m_e v^2}{r_e}$$

\(r_e = (a+b)/2\) を代入すると

$$e \cdot \frac{V_s \cdot ab}{(b-a) \cdot r_e^2} = \frac{m_e v^2}{r_e}$$

運動エネルギー：

$$K_s = \frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{e \cdot V_s \cdot ab}{2(b-a) \cdot r_e}$$

\(r_e = (a+b)/2\) を代入して

$$K_s = \frac{e \cdot V_s \cdot ab}{2(b-a) \cdot \frac{a+b}{2}} = \frac{e V_s ab}{(b-a)(a+b)}$$

別解：電位から直接求める

中心 P からの距離 \(r_e = (a+b)/2\) における電位を求め、スリット位置（\(r = b\)、電位 0）との電位差からエネルギーを計算する方法もあります。

$$V(r_e) = V_s \cdot \frac{a(b - r_e)}{r_e(b - a)} = V_s \cdot \frac{a \cdot \frac{b-a}{2}}{\frac{a+b}{2} \cdot (b-a)} = \frac{V_s a}{a+b}$$

電子がスリット S₁（\(r = b\)、\(V = 0\)）から入射して円軌道に乗る際のエネルギーは向心力の条件から求めるのが正統で、電位差だけでは決まりません（入射方向が接線方向のため）。

設問(6)：光電効果と光電子の運動エネルギー

光電効果の基本：金属内部のエネルギー \(E_b\)（\(E_b < E_M\)）を持つ電子が、波長 \(\lambda\) の光子を吸収して放出されるとき、運動エネルギー \(K_e\) は

$$K_e = h\nu - (W - E_b)$$

ここで \(h\nu = hc/\lambda\)（光子のエネルギー）、\(W\)（仕事関数）は電子を金属の外に取り出すのに必要な最小エネルギーです。

エネルギー最大（\(E_b = E_M\)）の電子が放出されたときの運動エネルギーが最大で

$$K_c = h\nu - W + E_M$$

ここで \(E_b < E_M\) の電子は

$$K_e = K_c - (E_M - E_b) < K_c$$

光電子が放出される条件は \(K_e > 0\)、すなわち

$$h\nu > W - E_b$$

補足：通常の光電効果の式との関係

高校物理で習う光電効果の式 \(K_{\max} = h\nu - W\) は、金属内で最もエネルギーの高い電子（\(E_b = E_M\)）が放出される場合に対応します。本問では金属内のエネルギー分布を考慮しているため、\(E_b\) に依存する一般的な式になっています。

問2：光電子の運動エネルギー分布グラフ

考察：金属内の自由電子のエネルギー分布（フェルミ分布）を考えます。

• \(E_b = E_M\) 付近の電子は少数 → \(K_s = K_c\) 付近の光電子は少ない
• \(E_b\) が小さい電子は多数 → \(K_s\) が小さい光電子は多い
• \(K_s > K_c\) の光電子は存在しない（\(K_c\) が最大値）

したがって、グラフは \(K_s = 0\) 付近で大きな値を持ち、\(K_s\) の増加とともに徐々に減少し、\(K_s = K_c\) で 0 に落ちる形状です。

補足：各選択肢の吟味

①は \(K_c\) から右上がり — 物理的にありえない（\(K_c\) が上限）。②は \(K_c\) 付近で急増してからフラット — 実際は \(K_c\) が上限で減少する。③は矩形分布 — 非物理的。④が正解で、\(K_c\) で急激に 0 になる減少関数。