偏光の基本原理（マリュスの法則）から出発し、複数の偏光板を挿入したときの光の強度変化、さらに複屈折物体（旋光性物質）を挿入した場合の偏光面回転と消光条件を扱う総合問題です。
設定：偏光板 A の透過軸の角度を \(\theta_a\)、偏光板 B の角度を \(\theta_b\) とします。入射光はいろいろな方向に振動する光（非偏光）で、偏光板 A を通過すると角度 \(\theta_a\) の直線偏光になります。
偏光板 A のみ角度 \(\theta_a\) を変化：入射光は非偏光なので、A の透過軸の向きによらず通過する強度は同じ（\(I_1\) で一定）。B は \(\theta_b = 0\) に固定。A を通過した偏光の方向と B の透過軸のなす角は \(\theta_a\) なので、
$$I = I_1 \cos^2\theta_a$$数値例：\(\theta_a = 30° = \pi/6\) のとき
$$I = I_1 \cos^2 30° = I_1 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\,I_1 = 0.75\,I_1$$\(\theta_a = 60°\) のとき \(I = I_1 \cos^2 60° = I_1 \times (1/2)^2 = I_1/4 = 0.25\,I_1\)。\(\theta_a = 90°\) で \(I = 0\)（直交配置で消光）。入射光強度が \(I_1 = 2.0 \times 10^{-3}\) W/m² の場合、\(\theta_a = 30°\) では \(I = 0.75 \times 2.0 \times 10^{-3} = 1.5 \times 10^{-3}\) W/m² となります。
光検出器の信号強度 \(\theta_a\) を固定し \(\theta_b\) を変化：A を角度 \(\theta_a\) に固定し、B の角度 \(\theta_b\) を変化させた場合、A を通過した偏光方向は \(\theta_a\) で、B の透過軸は \(\theta_b\)。なす角は \(\theta_b - \theta_a\) なので、
$$I = I_1 \cos^2(\theta_b - \theta_a)$$あ：\(I_1 \cos^2\theta_a\)（\(\theta_b = 0\) 固定で \(\theta_a\) を変化）→ \(\cos^2\theta_a \times I_1\)
い：\(I_1 \cos^2(\theta_b - \theta_a)\)（A の角度 \(\theta_a\)、B の角度 \(\theta_b\) を同じ角度だけ変化）→ \(\cos^2\theta_b \times I_1\)（ただし \(\theta_a\) を固定して \(\theta_b\) だけ変化させた場合）
電場ベクトル \(\vec{E}\) の振幅を \(E_0\) とし、透過軸方向の成分は \(E_0\cos\theta\)。光の強度は電場の振幅の2乗に比例するため、
$$I = I_0 \cos^2\theta$$これがマリュスの法則です。1809年にフランスの物理学者マリュスが発見しました。
マリュスの法則は「振幅を射影 → 2乗して強度」という単純な操作。偏光板を通過するたびにこの操作を繰り返す。非偏光はどの方向にも均等なので、最初の偏光板で方向が決まる。
偏光板 C を 1 枚挿入（3 枚系）：A の角度 \(\theta_a = 0\)、B の角度 \(\theta_b = \pi/2\)（直交）。その間に C を角度 \(\pi/4\) に設置します。
\(N - 1\) 枚挿入の一般化：A（角度 0）と B（角度 \(\pi/2\)）の間に \(N - 1\) 枚の偏光板を等間隔に挿入します。偏光板 \(k\)（\(k = 1, 2, \ldots, N-1\)）の角度は \(\theta_k = k \cdot \pi/(2N)\) です。各偏光板間の角度差は
$$\Delta\theta = \frac{\pi}{2N}$$マリュスの法則を \(N\) 回適用すると
$$I = I_1 \cdot \left(\cos^2\frac{\pi}{2N}\right)^N = I_1 \cos^{2N}\!\frac{\pi}{2N}$$\(N = 3\) の場合：各ステップの角度差は \(\pi/(2 \times 3) = \pi/6 = 30°\)。
$$I = I_1 \cos^6\frac{\pi}{6} = I_1 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^6 = I_1 \cdot \frac{3^3}{2^6} = I_1 \cdot \frac{27}{64} \fallingdotseq 0.422\,I_1$$\(N = 5\) の場合：\(\Delta\theta = \pi/10 = 18°\)、\(\cos 18° \fallingdotseq 0.9511\)
$$I = I_1 \cos^{10} 18° \fallingdotseq I_1 \times 0.9511^{10} \fallingdotseq I_1 \times 0.605$$\(N = 10\) の場合：\(\Delta\theta = 9°\)、\(\cos 9° \fallingdotseq 0.9877\)
$$I = I_1 \cos^{20} 9° \fallingdotseq I_1 \times 0.9877^{20} \fallingdotseq I_1 \times 0.782$$\(N\) が大きいほど \(I \to I_1\) に近づくことが数値から確認できます。
う：\(I_1 \cos^2(\pi/4) \cdot \cos^2(\pi/4) = I_1/4\)
え：\(I_1 \cos^{2N}\!\left(\dfrac{\pi}{2N}\right)\)
お：\(N = 3\) のとき \(I_1 \cos^6(\pi/6) = \dfrac{27}{64}\,I_1\)
\(N \to \infty\) のとき \(\pi/(2N) \to 0\) なので \(\cos(\pi/(2N)) \to 1 - \pi^2/(8N^2)\)。よって
$$\cos^{2N}\!\frac{\pi}{2N} = \left(1 - \frac{\pi^2}{8N^2} + \cdots\right)^{2N} \to e^{-\pi^2/(4N)} \to 1$$つまり偏光板を無限に細かく挿入すると、直交した 2 枚の偏光板の間でも光が 100% 通過する。これは量子力学の「量子ゼノン効果」（頻繁な観測が系の変化を抑制する）と同じ数学的構造を持ちます。
直交偏光板 2 枚だけでは光は通らない（\(\cos^2 90° = 0\)）が、間に中間角度の偏光板を挿入すると光が通るようになる。枚数を増やすほど \(\cos^{2N}(\pi/2N) \to 1\) で透過率が上がるのが本問のキモ。
設定：偏光板 A（角度 0）と偏光板 B（角度 \(\pi/2\)）の間に、光の進行方向の厚さ \(d\) の複屈折物体（透明物体）を挿入します。x 軸方向の屈折率が \(n_x\)、y 軸方向の屈折率が \(n_y\) で、\(n_x \neq n_y\) です。
偏光板 A を通過した光：A の角度を \(\theta_a = 0\) とすると、A を通過した光は x 方向の直線偏光です。しかし問題文では A の角度を \(\pi/4\) に設定し B も \(\pi/4\) に設定して消光条件を調べます。
光路差と位相差：複屈折物体中で、x 方向成分は屈折率 \(n_x\)、y 方向成分は屈折率 \(n_y\) で伝搬します。厚さ \(d\) を通過した後の光路差は
$$\Delta = (n_x - n_y) \cdot d$$これらの光路差 \(\Delta\) は位相差として
$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}(n_x - n_y)d$$け：x 方向成分と y 方向成分の光路差は
$$\text{x 方向の光路} - \text{y 方向の光路} = n_x d - n_y d = (n_x - n_y)d$$消光条件：偏光板 A の角度 \(\theta_a = 0\)、B の角度 \(\theta_b = \pi/4\) のとき、波長 \(\lambda_1\) の光の信号強度が 0 になる条件を考えます。
A を通過した光（x 方向偏光）は複屈折物体内で x 成分のまま伝搬しますが、光路差は生じません（y 成分がないため）。そこで問題では A の透過軸と透過軸のなす角度を \(\pi/4\) に設定しています。
A（角度 0）を通過した直後の電場を x, y 成分に分解すると、透過軸方向に偏光しているので y 成分は 0 です。問題設定では偏光板 A の角度が \(\theta_a = \pi/4\)（問題文に「偏光板 A の角度を 0, 偏光板 B の角度を \(\pi/4\)」とあるが、実質的には透過軸と複屈折物体の軸のなす角が 45° の配置）のときを扱います。
こ：透明物体を通過した後の x 方向成分は位相がそのまま、y 方向成分は逆位相（位相 \(\pi\) シフト、すなわち符号反転）になります。これら 2 成分をベクトルとして合成すると、偏光方向が y 軸に対して \(\pi/4\) から \(3\pi/4\) に回転、つまり元の方向から \(\pi/2\) 回転します。偏光板 B の透過軸と直交すれば消光します。
最小厚さ \(d_0\)：消光条件は x, y 成分の位相差が \(\pi\)（光路差が \(\lambda/2\)）のとき：
$$(n_x - n_y)d_0 = \frac{\lambda_1}{2}$$ $$d_0 = \frac{\lambda_1}{2(n_x - n_y)}$$数値例：波長 \(\lambda_1 = 550\) nm（緑色光）、屈折率差 \(|n_x - n_y| = 0.010\) のとき
$$d_0 = \frac{550 \times 10^{-9}}{2 \times 0.010} = \frac{550 \times 10^{-9}}{0.020} = 2.75 \times 10^{-5}\,\text{m} = 27.5\,\mu\text{m}$$問題文の記号 \(w\) を用いると（\(w \geq 0\) の整数）、光路差 \(\lambda_1\) と \(d_0\)、\(n_x\)、\(n_y\) を用いて
$$\boxed{d_0 = \frac{\lambda_1}{2|n_x - n_y|}}$$け：x 方向成分の光路 − y 方向成分の光路の差（0 以上）= \(|n_x - n_y| \cdot d\)
こ：透明物体を通過後、y 方向成分は逆位相（符号反転）→ 偏光面が \(\frac{3}{4}\pi\) の角度になる
さ：最小厚さ \(d_0 = \dfrac{\lambda_1}{2|n_x - n_y|}\)
偏光状態をジョーンズベクトルで表すと、A を通過後の偏光は \(\begin{pmatrix}\cos\theta_a \\ \sin\theta_a\end{pmatrix}\)。複屈折物体を通過すると位相差 \(\delta\) が加わり
$$\begin{pmatrix} E_x' \\ E_y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\delta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta_a \\ \sin\theta_a \end{pmatrix}$$B の透過軸方向（角度 \(\theta_b\)）への射影成分が 0 になる条件から消光条件が得られます。
複屈折物体は「偏光の方向を回転させる」装置。x, y の屈折率差 × 厚さ = 光路差が \(\lambda/2\) の奇数倍のとき、偏光面が 90° 回転する（1/2 波長板）。
解法：偏光板 A と B を同じ角度 \(\theta\) に設定し（A の角度 = B の角度 = \(\theta\)）、厚さ \(d_0\) の 1/2 波長板を挟んだ場合の信号強度を求めます。
A を通過した光は角度 \(\theta\) の直線偏光。これを透過軸（x 軸）と y 軸に分解すると
$$E_x = E_0\cos\theta, \quad E_y = E_0\sin\theta$$1/2 波長板を通過すると y 成分の位相が \(\pi\) ずれる（符号反転）ので
$$E_x' = E_0\cos\theta, \quad E_y' = -E_0\sin\theta$$合成すると偏光方向は角度 \(-\theta\)（x 軸に対して反対側）になります。
偏光板 B（角度 \(\theta\)）の透過軸とのなす角は \(\theta - (-\theta) = 2\theta\) なので
$$I = I_1\cos^2(2\theta) \quad \cdots \text{ではなく}$$正確には、偏光方向が \(-\theta\) のとき B の透過軸 \(\theta\) との角度は \(2\theta\) で、
$$I = I_1\sin^2(2\theta)$$（\(\theta = 0\) で \(I = 0\)、\(\theta = \pi/4\) で最大 \(I_1\) となるため \(\sin^2\) が正しい）
\(\theta = 0\) で \(I = 0\)（最小）、\(\theta = \pi/4\) で \(I = I_1\)（最大）、\(\theta = \pi/2\) で \(I = 0\)（最小）のグラフ。\(I(\theta) = I_1\sin^2(2\theta)\) の形状。
1/2 波長板は偏光方向を透過軸に対して反転させる効果がある。A と B が同角度 \(\theta\) なら、1/2 波長板で \(\theta \to -\theta\) に回転した偏光と B の角度 \(\theta\) の差は \(2\theta\)。
厚さ \(d = 20d_0\) の場合：\(d_0 = \lambda_1/(2|n_x - n_y|)\) なので
$$|n_x - n_y| \cdot d = |n_x - n_y| \cdot 20d_0 = 20 \cdot \frac{\lambda_1}{2} = 10\lambda_1$$波長 \(\lambda_1\) での位相差は
$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda_1} \cdot 10\lambda_1 = 20\pi$$これは \(\pi\) の偶数倍なので、偏光面の回転は元に戻り、消光しません。
し：信号強度は \(I_1\) の何倍かを求めます。位相差 \(20\pi\) は \(2\pi\) の整数（10）倍なので、偏光面は変化せず、B の透過軸との角度差は設定通り。設問(3) の配置（A が 0、B が \(\pi/4\)）では
$$\delta = 20\pi \implies \text{偏光方向の回転なし（偶数倍）}$$A を通過した光（x 方向偏光）はそのまま B の透過軸方向に射影：角度差は問題設定による。
問2：信号強度が 0 になる条件：異なる波長 \(\lambda_i\) で信号強度が 0 になるには、位相差が \(\pi\) の奇数倍であればよい：
$$\frac{2\pi}{\lambda_i} \cdot 10\lambda_1 = (2m + 1)\pi \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$$ $$\lambda_i = \frac{20\lambda_1}{2m + 1}$$\(\lambda_1\) に最も近い波長：\(m = 9\) のとき \(\lambda_i = 20\lambda_1/19\)、\(m = 10\) のとき \(\lambda_i = 20\lambda_1/21\)。
\(\lambda_1\) との差は
$$\Delta\lambda_1 = \frac{20\lambda_1}{19} - \lambda_1 = \frac{\lambda_1}{19}$$ $$\Delta\lambda_2 = \lambda_1 - \frac{20\lambda_1}{21} = \frac{\lambda_1}{21}$$最小の差は
$$\Delta\lambda_{\min} = \frac{\lambda_1}{21}$$一般に厚さ \(d = 2kd_0\)（\(k\) は整数）のとき、\(\lambda_1\) に最も近い消光波長との差の最小値は
$$\Delta\lambda_{\min} = \frac{\lambda_1}{2k + 1}$$\(k = 10\) の場合 \(\Delta\lambda_{\min} = \lambda_1/21\)。
数値例：\(\lambda_1 = 550\) nm のとき
$$\Delta\lambda_{\min} = \frac{550}{21} \fallingdotseq 26.2\,\text{nm}$$つまり、厚さ \(20d_0\) の複屈折物体を使うと、波長 550 nm と 523.8 nm の光を区別できる分解能を持ちます。厚さが 10 倍（\(200d_0\)）なら \(\Delta\lambda_{\min} \fallingdotseq 2.7\) nm にまで向上します。
し：厚さ \(20d_0\) で波長 \(\lambda_1\) の信号強度は \(0 \times I_1 = 0\)…ではなく、位相差 \(20\pi\)（偶数倍）なので偏光面が元に戻り、信号強度は元の（複屈折物体なしの）場合と同じ。
問2：信号強度が 0 になる波長 \(\lambda_i = \dfrac{20\lambda_1}{2m+1}\)
最小の波長差 \(\Delta\lambda = |\lambda_i - \lambda_1|\) の最小値は
$$\boxed{\Delta\lambda_{\min} = \frac{\lambda_1}{21}}$$（\(\lambda_i = 20\lambda_1/21 < \lambda_1\) のとき）
\(\lambda_1\) を用いて表すと \(\Delta\lambda = \lambda_1/21\)。導出過程は上記の通り。
厚い複屈折物体ほど隣接する消光波長の間隔 \(\Delta\lambda\) が狭くなります。これは回折格子で格子本数が増えると分解能が上がるのと同じ原理です。光電子分光法の設問(5)-(6) と合わせて「分光」のテーマが本問の裏の主題です。
厚さ \(d = n \cdot d_0\) のとき消光波長は \(\lambda_k = n\lambda_1/(n - 2k)\)（\(k\) は整数、\(n - 2k\) が奇数）。\(\lambda_1\) に最も近いものとの差は \(\lambda_1/(n+1)\) または \(\lambda_1/(n-1)\) で、最小は \(\lambda_1/(n+1)\)。
「消光波長の間隔は物体の厚さに反比例する」が本質。偏光観察で異なる媒質の屈折率差や厚みを調べる偏光顕微鏡の原理そのもの。結晶の性質や膜厚の測定に広く活用されている。