剛体棒に取り付けたおもりによる単振り子、ばね付き振り子、そして2つの振り子をばねで結んだ連成振動を扱います。微小振動近似 $\sin\theta \fallingdotseq \theta$, $\cos\theta \fallingdotseq 1$ が鍵です。
空欄[ア]：運動方程式
おもりの円周方向（右向き正）の加速度 $a$ は $L\ddot{\theta}$（$\ddot{\theta} = $ 角加速度）。重力の円周方向成分は $-mg\sin\theta$。微小角 $|\theta| \ll 1$ で $\sin\theta \fallingdotseq \theta$ より、
$$ma = -mg\sin\theta \fallingdotseq -mg\theta$$ $$mL\ddot{\theta} = -mg\theta \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta} = -\frac{g}{L}\theta$$空欄[イ]：角振動数
上式は角振動数 $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ の単振動です。
空欄[ウ]：$\theta = 0$ 通過時の速度と力学的エネルギー
振り子の最下点（$\theta = 0$）での速度を $v_0$ とすると、高さの変化は $L(1 - \cos\theta_0)$ です。$\cos\theta \fallingdotseq 1 - \frac{\theta^2}{2}$ より、
$$mgh = mgL\left(1 - \cos\theta_0\right) \fallingdotseq mgL \cdot \frac{\theta_0^2}{2}$$エネルギー保存 $\frac{1}{2}mv_0^2 = mgL\frac{\theta_0^2}{2}$ から、
$$v_0 = \sqrt{gL}\,\theta_0 = \omega L\,\theta_0$$空欄[エ]：$v_0$ からの力学的エネルギー
$$E = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mgL\theta_0^2$$空欄[オ]：振幅
円周方向の変位 $x = L\theta$ の振幅は $x_0 = L\theta_0$ です。
$\theta = 10° = 0.175$ rad のとき：
$$\cos(10°) = 0.9848, \quad 1 - \frac{0.175^2}{2} = 0.9847$$誤差は $0.01\%$ 以下。$\theta = 30°$ でも誤差 $1.2\%$ なので、入試レベルでは十分です。
棒振り子の運動方程式を立てるときは「円周方向の加速度 $= L\ddot{\theta}$」を使い、$\sin\theta \fallingdotseq \theta$ で線形化する。角振動数 $\omega = \sqrt{g/L}$ は質量に依存しない。
空欄[カ]：ばねの伸び $s_1$（図5）
ばねの固定点Sから距離 $d$ の位置に取り付けられています。おもりの円周方向変位 $x$ のとき、ばねの端は水平に $\frac{d}{L}x$ だけ変位します（微小角では取付点の変位は $d\sin\theta \fallingdotseq d\theta = d \cdot \frac{x}{L} = \frac{dx}{L}$）。ばねの伸びは、
$$s_1 = \frac{d}{L}\,x$$空欄[キ]：ばねからおもりに作用する力 $F$
ばねの復元力は $ks_1 = k\frac{d}{L}x$。この力がおもりに棒を通じて伝わる際、モーメントの比（$d:L$）で変換されるため、おもりの円周方向に働く力は、
$$F = k \cdot \frac{d}{L} \cdot \frac{d}{L} \cdot x = \frac{kd^2}{L^2}\,x$$（棒の点Sまわりのモーメントのつりあいから導出）
空欄[ク]：ばね付き振り子の角振動数
運動方程式は、
$$m\ddot{x} = -mg\frac{x}{L} - \frac{kd^2}{L^2}x = -\left(\frac{mg}{L} + \frac{kd^2}{L^2}\right)x$$角振動数は、
$$\omega' = \sqrt{\frac{g}{L} + \frac{kd^2}{mL^2}}$$連成振動の2つの固有モード（図3・図7）
2つの振り子A, Bをばね（ばね定数 $k$）で結んだとき、変位を $x_A$, $x_B$ とします。
空欄[ケ]：ばねの伸び $s_2$（図7）
ばねの取付点間の距離変化は $\frac{d}{L}(x_B - x_A)$（逆向きに動くと伸びる）。したがって、
$$s_2 = \frac{d}{L}(x_B - x_A)$$空欄[コ]・[サ]：A, Bの運動方程式
おもりCの加速度 $a_C$ とおもりDの加速度 $a_D$ について、
$$ma_C = -\frac{mg}{L}x_A + \frac{kd^2}{L^2}(x_B - x_A)$$ $$ma_D = -\frac{mg}{L}x_B - \frac{kd^2}{L^2}(x_B - x_A)$$空欄[シ]・[ス]・[セ]：固有モードの角振動数
$X_1 = \frac{x_A + x_B}{2}$（重心座標）、$X_2 = \frac{x_A - x_B}{2}$（相対座標）とすると、
$$\ddot{X_1} = -\frac{g}{L}X_1 \quad \Rightarrow \quad \omega_1 = \sqrt{\frac{g}{L}}$$ $$\ddot{X_2} = -\left(\frac{g}{L} + \frac{2kd^2}{mL^2}\right)X_2 \quad \Rightarrow \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{g}{L} + \frac{2kd^2}{mL^2}}$$$\omega_1$ が同相モード（ばね不変）、$\omega_2$ が逆相モード（ばね伸縮）です。$k = \frac{6mg}{L}$ のとき、
$$\omega_2 = \sqrt{\frac{g}{L} + \frac{12gd^2}{L^3}}$$問1：$x_A$, $x_B$ のグラフ（図4）
$t = 0$ でおもりBのみに初速度 $v_0$ を与えた場合、$x_A(0) = 0, x_B(0) = 0, \dot{x}_A(0) = 0, \dot{x}_B(0) = v_0$ です。ビート現象が起こり、エネルギーがAとBの間を行き来します。
問2：$\omega_2$ が $\omega_1$ のちょうど2倍になる条件
$k = \frac{6mg}{L}$ のとき（$d/L$ の値による）、$\omega_2 = 2\omega_1$ が成立します。ばねの伸び $s_2$ は $\omega_2$ の2倍の角振動数で振動し、図8のように周期的に増減を繰り返します。$\frac{d}{L}$ の値は、
$$\omega_2 = 2\omega_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{g}{L} + \frac{2kd^2}{mL^2} = 4 \cdot \frac{g}{L}$$ $$\frac{2kd^2}{mL^2} = \frac{3g}{L} \quad \Rightarrow \quad d^2 = \frac{3mgL}{2k}$$微小角で $T = \frac{1}{2}m(\dot{x}_A^2 + \dot{x}_B^2)$, $V = \frac{mg}{2L}(x_A^2 + x_B^2) + \frac{1}{2}k\left(\frac{d}{L}\right)^2(x_B - x_A)^2$ として、ラグランジュ方程式を立てても同じ結果が得られます。
$L = T - V$ をモード座標 $X_1, X_2$ で書き換えると、2つの独立な調和振動子に分離します。
$\omega_1$ と $\omega_2$ が近い場合、ビート周期 $T_{\text{beat}}$ は、
$$T_{\text{beat}} = \frac{2\pi}{|\omega_2 - \omega_1|}$$$\omega_2 = 2\omega_1$ のときは $T_{\text{beat}} = \frac{2\pi}{\omega_1} = T_1$（1振動周期でエネルギーが完全に移行する）。
連成振動は $X_1 = (x_A + x_B)/2$, $X_2 = (x_A - x_B)/2$ に座標変換すると独立な単振動に分離できる。同相モードではばねは伸縮しないので角振動数は単体と同じ $\sqrt{g/L}$。