解法の指針

非一様磁場中および外力存在下での荷電粒子の運動を扱う問題です。ローレンツ力による円運動の基本から出発し、磁場が位置によって異なる場合に生じる磁場勾配ドリフト、さらに外力が加わった場合のドリフト運動を考察します。

(1) 導線の磁場とコイルの誘導電流

\(y\) 軸上に置かれた十分に長い直線状の導線に、\(y\) 軸の正の向きに強さ \(I\) の定常電流が流れている。真空の透磁率を \(\mu_0\) とする。

この電流が \(y\) 軸から距離 \(r\) 離れた点につくる磁束密度の大きさは：

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

空欄 ア の答え：\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)

\(xy\) 平面上の \(x > 0, y > 0\) の領域に、正方形の1巻きコイルを置く。各辺は \(x\) 軸あるいは \(y\) 軸に平行である。コイルの自己インダクタンスは無視できるものとする。コイルが \(y\) 軸の正の向きに一定の速度で動くとき、磁束の変化はゼロなので誘導電流は流れない（③流れない）。

コイルが \(x\) 軸の正の向きに一定の速度で動くとき、コイルを貫く磁束（紙面裏向き）は減少する。レンツの法則より磁束の減少を妨げる向き、すなわち紙面裏向きの磁束を増やす向き = ②図の2の向きに誘導電流が流れる。

補足：磁束の計算

コイルの左辺が \(x = a\)、右辺が \(x = a + \ell\) にあるとき、コイルを貫く磁束は：

$$\Phi = \int_a^{a+\ell} \frac{\mu_0 I}{2\pi x} \cdot \ell \, dx = \frac{\mu_0 I \ell}{2\pi} \ln\frac{a+\ell}{a}$$

コイルが \(x\) 方向に動くと \(a\) が増加し、\(\Phi\) は減少する。ファラデーの法則より \(\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}\) で起電力が生じる。

(2) 非一様磁場中の荷電粒子の運動 — 磁場勾配ドリフト

質量 \(m\)、電荷 \(q > 0\) の荷電粒子が \(z\) 軸の負の向きの磁場中を運動する。磁束密度の大きさは \(x_s > 0\) に対して：

$$B = \begin{cases} B_1 & (x < x_s) \\ B_2 & (x \geq x_s) \end{cases} \quad (B_1 > B_2)$$

ただし \(B_1, B_2\) は正の定数で、軌道は滑らかにつながり、速さは変化しないとする。

各領域での円運動の半径：

$$r_1 = \frac{mv_0}{qB_1}, \quad r_2 = \frac{mv_0}{qB_2}$$

\(B_1 > B_2\) より \(r_1 < r_2\) である。\(x < x_s\) の領域では回転半径が小さく、\(x \geq x_s\) の領域では回転半径が大きい。

数値例：\(m = 1.0 \times 10^{-26}\) kg、\(q = 1.6 \times 10^{-19}\) C、\(v_0 = 5.0 \times 10^5\) m/s、\(B_1 = 0.20\) T、\(B_2 = 0.10\) T のとき：

$$r_1 = \frac{1.0 \times 10^{-26} \times 5.0 \times 10^5}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.20} = \frac{5.0 \times 10^{-21}}{3.2 \times 10^{-20}} = 0.156 \text{ m}$$ $$r_2 = \frac{1.0 \times 10^{-26} \times 5.0 \times 10^5}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.10} = \frac{5.0 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-20}} = 0.313 \text{ m}$$

時刻 \(t = 0\) で \(x = x_s, y = 0, z = 0\) にある荷電粒子が \(x\) 軸の正の向きに速さ \(v_0\) で等速円運動を始める場合：

空欄 ニ（\(x \geq x_s\) での円軌道の半径）：

$$\boxed{\frac{mv_0}{qB_2}}$$

\(t > 0\) で初めて \(x = x_s\) に到達するまでの時間 \(T_1\) は半円分の時間：

$$T_1 = \frac{\pi m}{qB_2}$$

空欄 ホ：\(\displaystyle T_1 = \frac{\pi m}{qB_2}\)

ドリフトの方向と大きさ：

粒子は \(x > x_s\) で半径 \(r_2\) の半円、\(x < x_s\) で半径 \(r_1\) の半円を描く。1周期 \(T = T_1 + T_2\) で \(y\) 方向に \(2(r_2 - r_1)\) だけずれる。これがドリフトである。

ドリフトを表すベクトルの大きさ：

$$|\vec{d}| = 2(r_2 - r_1) = 2mv_0\left(\frac{1}{qB_2} - \frac{1}{qB_1}\right) = \frac{2mv_0(B_1 - B_2)}{qB_1 B_2}$$

ドリフトの平均の速さは、ドリフトを表すベクトルの大きさを周期で割ることにより求められ：

$$v_d = \frac{|\vec{d}|}{T} = \frac{2mv_0(B_1 - B_2)}{qB_1 B_2} \cdot \frac{1}{\pi m\left(\frac{1}{qB_1} + \frac{1}{qB_2}\right)}$$ $$= \frac{2mv_0(B_1 - B_2)}{qB_1 B_2} \cdot \frac{qB_1 B_2}{\pi m(B_1 + B_2)} = \frac{2v_0(B_1 - B_2)}{\pi(B_1 + B_2)}$$

空欄 ヘ・ト：\(m, v_0, B_1, B_2, x_s\) のうち必要なものを用いて

$$v_d = \frac{2v_0(B_1 - B_2)}{\pi(B_1 + B_2)}$$

一般に、非一様な磁場がある場合にこのようなドリフトが生じ、これは磁場勾配ドリフトとよばれる。

補足：ドリフト速度が質量・電荷に依存しない理由

ドリフトの平均速度の式 \(v_d = \frac{2v_0(B_1-B_2)}{\pi(B_1+B_2)}\) には \(m\) も \(q\) も含まれない。これは、半径 \(r \propto m/q\) と周期 \(T \propto m/q\) が同じ比率で変化するため、ドリフト = 変位/周期 で \(m/q\) がキャンセルするためである。

問1 — 軌道の選択と問2 — 斜め入射のドリフト

問1の解答：

\(t = 0\) で \(x = x_s\) から \(+x\) 方向に出発した正電荷 \(q\) は、磁場 \(\otimes B\) 中でローレンツ力 \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\) により \(+y\) 方向に曲げられる。

\(x \geq x_s\) では半径 \(r_2\)（大きい）の半円を描き、\(x < x_s\) では半径 \(r_1\)（小さい）の半円を描く。ドリフト方向は \(+y\)。

$$\text{問1の答え：図4の \textbf{②}}$$

問2の解答：

図3のように、\(t=0\) で粒子が \(x = x_s\) にあり、\(xy\) 平面内で \(x\) 軸に対する角度が \(\frac{\pi}{4}\) の方向に速さ \(v_0\) で運動を始める場合を考える。

\(t > 0\) で2回目に \(x = x_s\) に達するまでの軌道は、最初に \(x > x_s\) の領域で大きな円弧を描き（初期速度の \(y\) 成分があるため完全な半円ではない）、次に \(x < x_s\) で小さな円弧を描いて \(x_s\) に戻る。

$$\text{問2の答え：図4の \textbf{⑥}}$$

別解：ドリフト方向の判定法

磁場勾配ドリフトの方向は、磁場が減少する方向（\(+x\)）と磁場の向き（\(-z\)）の外積で決まる：

$$\vec{v}_d \propto \vec{\nabla}B \times \vec{B}$$

\(\vec{\nabla}B\) は \(+x\) 方向（\(B\) が減少する向き）だが、ドリフト方向は粒子の回転方向にも依存する。正電荷の場合、\(B_1 > B_2\) のとき \(r_1 < r_2\) で、\(+y\) 方向にドリフトする。

(3) 一様磁場＋外力 — 外力ドリフト

一様な磁場 \(\otimes B_0\) 中で、\(x\) 軸の正の向きに大きさ \(F\) の一様な外力が荷電粒子にはたらく場合を考える。

ローレンツ力に対して外力が十分に弱いとき、粒子の運動は等速円運動からのずれはわずかである。(2) と同様に、\(x < x_s\) の領域と \(x \geq x_s\) の領域に分け、異なる速さで等速円運動するモデルで考える。

\(x\) が最小値 \(x_{\min}\) となる位置での速さを \(v_1\)、\(x\) が最大値 \(x_{\max}\) となる位置での速さを \(v_2\) とする。外力がした仕事 \(F(x_{\max} - x_{\min})\) は正であるから \(v_2 > v_1\) である。

粒子の速さは \(v_1\) に比べて：①大きくなる。その後 \(v_1\) に戻る。

各領域における円軌道の半径をそれぞれ \(\rho_1, \rho_2\) とする。粒子が \(x\) 軸方向に \(x = x_1 + \rho_1\) の間を移動する。\(\rho_1\) と \(\rho_2\) の違いによる運動エネルギーの差を \(F(\rho_1 + \rho_2)\) と等しいとすると：

$$\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = F(\rho_1 + \rho_2)$$

空欄 ヲ：\(\displaystyle F(\rho_1 + \rho_2)\)

ドリフトの平均速度は、\(m, q, F, B_0, x_s\) のうち必要なものを用いて：

$$v_d = \frac{F}{qB_0}$$

空欄 ワ：\(\displaystyle \frac{F}{qB_0}\)

問3：一様な外力が強さ \(E\) の電場による力の場合、\(F = qE\) として：

$$v_d = \frac{qE}{qB_0} = \frac{E}{B_0}$$

電荷が \(2q\) の粒子では \(F = 2qE\) となるが：

$$v_d = \frac{2qE}{2qB_0} = \frac{E}{B_0}$$

ドリフト速度は電荷によらず同じ値 \(E/B_0\) である。同じグラフに電荷 \(q\) と \(2q\) の軌道を描き、ドリフト速度が同じであることを示す。

さらに、電荷が \(2q\) の場合は \(F = 2qE\) で力が大きいが、回転半径が \(\rho = mv/(qB)\) で電荷に反比例するため半径は半分になる。ドリフトの大きさ \(2(\rho_2 - \rho_1)\) も半分になるが、周期 \(T = 2\pi m/(qB)\) も半分になるため、\(v_d = \Delta y / T\) は変わらない。

別解：ドリフト速度の一般公式からの導出

外力 \(\vec{F}\) が一様磁場 \(\vec{B}\) に垂直にはたらくとき、ドリフト速度の一般公式は：

$$\vec{v}_d = \frac{\vec{F} \times \vec{B}}{qB^2}$$

\(\vec{F} = F\hat{x}\), \(\vec{B} = -B_0\hat{z}\) のとき：

$$\vec{v}_d = \frac{F\hat{x} \times (-B_0\hat{z})}{qB_0^2} = \frac{-FB_0(\hat{x}\times\hat{z})}{qB_0^2} = \frac{F}{qB_0}\hat{y} \cdot (-1)$$

符号と方向を整理すると \(v_d = F/(qB_0)\) で \(-y\) 方向。電場力 \(F = qE\) を代入すると \(v_d = E/B_0\) で電荷によらない。

これは\(\vec{E} \times \vec{B}\) ドリフトと呼ばれ、プラズマ物理の基本的な現象である。

補足：このモデルは定数倍の精度

問題文にも「正確なドリフトの速さは ワ の定数倍であり、このような簡単なモデルでも、ドリフトの特性を得ることができる」とある。実際、厳密な計算では磁場勾配ドリフトの速度は：

$$v_d = \frac{mv_\perp^2}{2qB} \cdot \frac{|\nabla B|}{B}$$

2領域モデルでは定数係数が異なるが、\(v_0, B_1, B_2\) への依存性は正しく再現される。