なめらかな水平面上でばね（自然長 $L$、ばね定数 $k$）に繋がれた質量 $M$ の小球の運動を扱う力学の総合問題です。(a) では直線上の単振動、(b) では鉛直面内の円運動に発展します。
運動方程式の立式：自然長 $L$ の位置を原点にとり、ばねの伸び方向を正とすると、小球に働く力はばねの復元力のみです。
$$ M\ddot{x} = -kx $$これは角振動数 $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{M}}$ の単振動の式です。
周期：
$$ T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} $$初期条件 $x(0) = d$, $\dot{x}(0) = 0$ の解：
$$ x(t) = d\cos\!\left(\sqrt{\frac{k}{M}}\,t\right) $$最大速度：平衡点 $x = 0$ を通過するとき速さが最大になります。エネルギー保存則から
$$ \frac{1}{2}kd^2 = \frac{1}{2}Mv_{\max}^2 $$ $$ v_{\max} = d\sqrt{\frac{k}{M}} $$数値例：$M = 0.50$ kg, $k = 200$ N/m, $d = 0.040$ m（= 4.0 cm）のとき
$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20$ rad/s
$T = \dfrac{2\pi}{20} = 0.31$ s
$v_{\max} = 0.040 \times 20 = 0.80$ m/s
弾性エネルギー $U = \dfrac{1}{2} \times 200 \times 0.040^2 = 0.16$ J → すべて運動エネルギー $K = \dfrac{1}{2} \times 0.50 \times 0.80^2 = 0.16$ J に変換（一致を確認）。
一般解は $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)$ です。初期条件で $A = d$, $\varphi = 0$ が決まります。
$v(t) = -A\omega_0 \sin(\omega_0 t + \varphi)$ なので、位置が最大のとき速度は $0$、位置が $0$ のとき速度は最大。これがエネルギー保存則 $U + K = \text{一定}$ と対応します。
運動方程式 $M\ddot{x} = -kx$ の両辺に $\dot{x}$ を掛けると
$$ M\dot{x}\ddot{x} = -kx\dot{x} $$ $$ \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}M\dot{x}^2\right) = \frac{d}{dt}\!\left(-\frac{1}{2}kx^2\right) $$積分すると $\dfrac{1}{2}M\dot{x}^2 + \dfrac{1}{2}kx^2 = \text{const}$ を得ます。$t = 0$ で $x = d$, $\dot{x} = 0$ を代入すると $\text{const} = \dfrac{1}{2}kd^2$ となり、エネルギー保存則が導けます。
単振動の周期 $T = 2\pi\sqrt{M/k}$ は振幅 $d$ によらない（等時性）。最大速度は $v_{\max} = d\omega_0$ で振幅に比例する。エネルギー保存 $\dfrac{1}{2}kd^2 = \dfrac{1}{2}Mv_{\max}^2$ で確認できる。
最高点での力のつりあい（向心方向）：最高点では重力と張力が同じ向き（中心向き）に作用します。
$$ T_{\text{top}} + Mg = \frac{Mv_{\text{top}}^2}{R} $$最下点でのエネルギーを基準にエネルギー保存：最下点の速さ $v_{\text{bottom}}$、最高点の速さ $v_{\text{top}}$ として
$$ \frac{1}{2}Mv_{\text{bottom}}^2 = \frac{1}{2}Mv_{\text{top}}^2 + Mg(2R) $$角速度 $\omega$ を用いた表現：等速円運動（ばねの弾性力が向心力を担う水平面の場合）なら $v = \omega R$ です。一般の鉛直面内円運動では速さが一定でないため、各点で個別にエネルギー保存を適用します。
$$ \frac{1}{2}M\omega^2 R^2 = \frac{1}{2}Mv_{\text{top}}^2 + 2MgR $$ここで $\omega$ は最下点での角速度です。整理すると
$$ v_{\text{top}}^2 = \omega^2 R^2 - 4gR $$最高点で糸がたるまない条件：$T_{\text{top}} \geq 0$ より
$$ \frac{Mv_{\text{top}}^2}{R} \geq Mg $$ $$ v_{\text{top}}^2 \geq gR $$エネルギー保存と組み合わせると
$$ \omega^2 R^2 - 4gR \geq gR $$ $$ \omega \geq \sqrt{\frac{5g}{R}} $$数値例：$R = 0.50$ m, $g = 9.8$ m/s², $M = 0.50$ kg のとき
$\omega_{\min} = \sqrt{\dfrac{5 \times 9.8}{0.50}} = \sqrt{98} = 9.9$ rad/s
$v_{\text{bottom}} = \omega_{\min} R = 9.9 \times 0.50 = 4.95 \fallingdotseq 5.0$ m/s
最下点での運動エネルギー $K = \dfrac{1}{2} \times 0.50 \times 5.0^2 = 6.25$ J
最高点での位置エネルギー増加 $\Delta U = 0.50 \times 9.8 \times 1.0 = 4.9$ J
最高点での運動エネルギー $K_{\text{top}} = 6.25 - 4.9 = 1.35$ J
$v_{\text{top}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1.35}{0.50}} = \sqrt{5.4} = 2.3$ m/s（$\fallingdotseq \sqrt{gR} = \sqrt{4.9} = 2.2$ m/s と整合）
ばねで小球を加速して円運動させる場合、ばねの自然長からの伸び $d$ で蓄えた弾性エネルギーが初期エネルギーとなります。
$$ \frac{1}{2}kd^2 = \frac{1}{2}Mv_{\text{bottom}}^2 $$最高点で糸がたるまない条件 $v_{\text{bottom}}^2 \geq 5gR$ と組み合わせると
$$ \frac{1}{2}kd^2 \geq \frac{5}{2}MgR $$ $$ d \geq \sqrt{\frac{5MgR}{k}} $$数値例：$k = 200$ N/m, $M = 0.50$ kg, $R = 0.50$ m なら $d \geq \sqrt{\dfrac{5 \times 0.50 \times 9.8 \times 0.50}{200}} = \sqrt{0.06125} = 0.25$ m（= 25 cm）。
糸の張力は常に運動方向に垂直なので仕事をしません。仕事をするのは重力だけです。したがって力学的エネルギーは保存されますが、高さの変化に伴い運動エネルギーと位置エネルギーが相互変換するため、速さは位置によって変化します。
最下点で最速、最高点で最遅となるのは、位置エネルギーの高低が運動エネルギーの大小に直結するからです。
鉛直面内の円運動では「最高点で $T_{\text{top}} \geq 0$」が最も厳しい条件になる。$v_{\text{top}}^2 \geq gR$ を覚え、エネルギー保存で最下点の速さに結びつけよう。最下点の条件は $v_{\text{bottom}}^2 \geq 5gR$。