長いソレノイド（コイル）の自己インダクタンス・蓄えられる磁気エネルギーを求め、つづいて伸縮自在の膜でできたコイルを使い、半径や長さを変えたときのエネルギー収支から「磁場が作り出す圧力（磁気圧）」を導く問題です。微小変化の近似式を使い、$\Delta t$ の2次以上を無視するのがポイントです。
磁束密度（イ）：長さ $d$ に $N$ 回巻いてあるので、巻き数密度（単位長さあたりの巻き数）は $n=\dfrac{N}{d}$。十分長いソレノイド内部の磁束密度は $B=\mu n I$ だから、
$$B = \mu n I = \frac{\mu N I}{d} \qquad\cdots\text{（イ）}$$誘導起電力（ロ）と自己インダクタンス（ハ）：電流が一巻きを貫く磁束は $\Phi = B\cdot\pi r^2$。コイル全体（$N$ 巻き）の磁束鎖交数は $N\Phi$。電流を $I\to I+\Delta I$ と変化させると、ファラデーの法則より起電力は
$$V = -\,\frac{\Delta(N\Phi)}{\Delta t} = -\,N\cdot\pi r^2\cdot\frac{\Delta B}{\Delta t} = -\,\frac{\mu N^2 \pi r^2}{d}\cdot\frac{\Delta I}{\Delta t}$$よって起電力の係数（電流の上流側の電位が高いときを正）は
$$\boxed{-\,\frac{\mu N^2 \pi r^2}{d}}\times\frac{\Delta I}{\Delta t} \qquad\cdots\text{（ロ）}$$自己インダクタンス $L$ は $V=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ と比較して、
$$L = \frac{\mu N^2 \pi r^2}{d} \qquad\cdots\text{（ハ）}$$外部電源がした仕事（ニ）：外部電源は逆起電力 $L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ に逆らって電流 $I$ を流す。時間 $\Delta t$ の間にした仕事は
$$W = \left(L\frac{\Delta I}{\Delta t}\right)\cdot I\cdot \Delta t = LI\,\Delta I = \frac{\mu N^2 \pi r^2 I}{d}\,\Delta I$$すなわち $\Delta I$ にかかる係数は
$$\boxed{\,LI = \frac{\mu N^2 \pi r^2 I}{d}\,}\times\Delta I \qquad\cdots\text{（ニ）}$$蓄えられるエネルギー（ホ）：$I=0$ から $I$ まで電流を流すのに必要な仕事の総和がコイルに蓄えられるので、
$$U = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{\mu N^2 \pi r^2 I^2}{2d} \qquad\cdots\text{（ホ）}$$確認：電流が $I\to I+\Delta I$ になるときのエネルギー増加は、近似式 $(i)\ (x+\Delta x)^2-x^2\fallingdotseq 2x\Delta x$ より
$$\Delta U = \frac{1}{2}L\left[(I+\Delta I)^2-I^2\right]\fallingdotseq \frac{1}{2}L\cdot 2I\,\Delta I = LI\,\Delta I$$これは（ニ）の外部電源の仕事と一致する。つまり外部電源が行った仕事がそのままコイルのエネルギーとして蓄積される。
長いソレノイドの自己インダクタンスは、巻き数密度 $n=N/d$ と内部体積 $V_{\rm 内}=\pi r^2 d$ を使って
$$L = \mu n^2 V_{\rm 内} = \mu\left(\frac{N}{d}\right)^2(\pi r^2 d) = \frac{\mu N^2 \pi r^2}{d}$$と書けます。本文の結果と完全に一致します。また、磁気エネルギーをエネルギー密度 $u=\dfrac{B^2}{2\mu}$ で書くと
$$U = u\cdot V_{\rm 内} = \frac{B^2}{2\mu}\cdot \pi r^2 d = \frac{1}{2}\cdot\frac{\mu N^2\pi r^2}{d}\cdot I^2 = \frac12 LI^2$$となり、後半で登場する「磁気圧 $\dfrac{B^2}{2\mu}$」と同じ量が顔を出します。
長いソレノイドの基本量は $B=\mu n I$、一巻きの磁束 $\Phi=B\pi r^2$、自己インダクタンス $L=\mu n^2 V_{\rm 内}$、エネルギー $U=\dfrac12 LI^2$。外部電源がした仕事 $LI\,\Delta I$ がそのまま磁気エネルギーの増加 $\Delta U$ になる。
磁束密度（イ・再掲）：長さ $d$ と巻き数 $N$ は変わらないので巻き数密度 $n=N/d$ は一定。よって
$$B = \frac{\mu N I}{d}\ (\text{一定}) \qquad\cdots\text{（イ）}$$磁束の増加（ヘ）：半径が $r\to r+v\Delta t$ になると、一巻きを貫く磁束は $\Phi=B\,\pi r^2$ から増える。近似式 $(i)$ で $(\Delta t)^2$ を無視すると
$$\Delta\Phi = B\,\pi\left[(r+v\Delta t)^2-r^2\right]\fallingdotseq B\,\pi\cdot 2r\,v\Delta t = 2\pi r v B\,\Delta t$$よって $\Delta\Phi = (\,2\pi r v B\,)\times\Delta t$、すなわち
$$\boxed{2\pi r v B}\times\Delta t \qquad\cdots\text{（ヘ）}$$誘導起電力（ト）：$N$ 巻きあるので起電力は
$$V = -\,N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -\,2\pi N r v B \qquad\cdots\text{（ト）}$$外部電源の仕事（チ）：外部電源は逆起電力 $|V|=2\pi N r v B$ に逆らって電流 $I$ を流すので、時間 $\Delta t$ の仕事は
$$W_{\text{電源}} = |V|\cdot I\cdot\Delta t = (\,2\pi N r v B I\,)\times\Delta t \qquad\cdots\text{（チ）}$$コイルのエネルギー増加（リ）：$U=\dfrac12 LI^2$ で $I$ 一定、$L=\dfrac{\mu N^2\pi r^2}{d}$ の $r$ が増える。$(i)$ より
$$\Delta U = \frac{1}{2}I^2\Delta L = \frac{1}{2}I^2\cdot\frac{\mu N^2\pi}{d}\left[(r+v\Delta t)^2-r^2\right]\fallingdotseq \frac{\mu N^2\pi r v I^2}{d}\,\Delta t$$ $$\Rightarrow\quad \boxed{\frac{\mu N^2\pi r v I^2}{d}}\times\Delta t \qquad\cdots\text{（リ）}$$ここで（チ）と比べると $W_{\text{電源}}=2\,\Delta U$。外部電源の仕事の半分だけがコイルのエネルギーになり、残り半分は膜を押し広げる仕事に使われている。
体積の増加（ヌ）：内部の体積は $V_{\rm 内}=\pi r^2 d$。半径が増えると $(i)$ より
$$\Delta V_{\rm 内} = \pi d\left[(r+v\Delta t)^2-r^2\right]\fallingdotseq 2\pi r v d\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad \boxed{2\pi r v d}\times\Delta t \qquad\cdots\text{（ヌ）}$$圧力差が膜にする仕事（ル）：膜が外向きに $\Delta V_{\rm 内}$ だけ広がるとき、内部気体は膜を押して仕事 $+p_{\rm 内}\Delta V_{\rm 内}$ をし、外部気体は膜に押し返されて $-p_{\rm 外}\Delta V_{\rm 内}$ の仕事をする。$\delta p=p_{\rm 外}-p_{\rm 内}$ なので、気体の圧力差が膜にする仕事は
$$W_{\text{圧力}} = (p_{\rm 内}-p_{\rm 外})\,\Delta V_{\rm 内} = -\,\delta p\,\Delta V_{\rm 内} = (\,-2\pi r v d\,\delta p\,)\times\Delta t$$ $$\Rightarrow\quad \boxed{-\,2\pi r v d\,\delta p}\times\Delta t \qquad\cdots\text{（ル）}$$圧力差 $\delta p$ の決定（ヲ）：エネルギー収支は「コイルのエネルギー増加 ＝ 外部電源の仕事 ＋ 圧力差が膜にした仕事」だから
$$\underbrace{\frac{\mu N^2\pi r v I^2}{d}}_{\text{リ}} = \underbrace{2\pi N r v B I}_{\text{チ}} + \underbrace{(-2\pi r v d\,\delta p)}_{\text{ル}}$$$B=\dfrac{\mu N I}{d}$ を代入すると（チ）$=2\pi r v\cdot\dfrac{\mu N^2 I^2}{d}=2\times$（リ）なので、
$$\text{（リ）} = 2\,\text{（リ）} - 2\pi r v d\,\delta p \quad\Rightarrow\quad 2\pi r v d\,\delta p = \text{（リ）} = \frac{\mu N^2\pi r v I^2}{d}$$ $$\delta p = \frac{\mu N^2 I^2}{2 d^2}$$$B=\dfrac{\mu N I}{d}$ より $\dfrac{\mu N^2 I^2}{d^2}=\dfrac{B^2}{\mu}$ なので、$\mu$ と $B$ だけで表すと
$$\boxed{\ \delta p = \frac{B^2}{2\mu}\ } \qquad\cdots\text{（ヲ）}$$電流が作る圧力の向き（ワ）：$\delta p = p_{\rm 外}-p_{\rm 内}=\dfrac{B^2}{2\mu}>0$ なので外部気体の圧力が内部より高い。膜がつり合っているのは、電流（磁場）が作る圧力が外向き＝コイルを膨らませる向きに働き、内外気体の差し引き内向きの圧力とつり合っているから。
磁場のエネルギー密度は $u=\dfrac{B^2}{2\mu}$。今回得た半径方向の圧力差 $\delta p=\dfrac{B^2}{2\mu}$ はこれと同じ形をしています。これは偶然ではなく、磁場が「磁力線に垂直な方向に $\dfrac{B^2}{2\mu}$ の圧力で押す」というマクスウェル応力の性質によるものです。
ソレノイドの側面（円筒の壁）では磁場が壁の面に平行（軸方向）なので、磁力線に垂直な向き＝半径方向に外向きの圧力 $\dfrac{B^2}{2\mu}$ がかかり、コイルを膨らませようとします。
$I$ 一定で $L$ が変わるとき、外部電源の仕事 $W_{\text{電源}}=I\,\Delta(LI)=I^2\Delta L$、コイルのエネルギー増加 $\Delta U=\dfrac12 I^2\Delta L$。つねに $W_{\text{電源}}=2\Delta U$ が成り立ちます。
差 $W_{\text{電源}}-\Delta U=\dfrac12 I^2\Delta L$ が「磁場が膜にする力学的仕事」です。半径方向では $\Delta L=\dfrac{\mu N^2\pi}{d}\cdot 2r v\Delta t$ なので、力学的仕事 $=\dfrac12 I^2\Delta L=\dfrac{\mu N^2\pi r v I^2}{d}\Delta t$。これを体積増加 $\Delta V_{\rm 内}=2\pi r v d\,\Delta t$ で割れば、単位体積あたりの仕事＝圧力 $\dfrac{B^2}{2\mu}$ が直接得られます。
$I$ 一定で形が変わるときは $W_{\text{電源}}=2\Delta U$ が成り立ち、その差 $\Delta U$ が「磁場が膜にする仕事」になる。半径方向の磁気圧は $\dfrac{B^2}{2\mu}$（外向き）。エネルギー密度と同じ形なのがポイント。
(3) 外部電源の仕事（カ）：半径 $r$ を固定し、長さだけが $d\to d+v\Delta t$ に伸びる。巻き数密度が減るので自己インダクタンス $L=\dfrac{\mu N^2\pi r^2}{(\text{長さ})}$ も減る。$I$ 一定のとき外部電源の仕事は磁束鎖交数 $LI$ の変化に等しく、$W_{\text{電源}}=I\,\Delta(LI)=I^2\Delta L$。近似式 $(ii)\ \dfrac{1}{x+\Delta x}-\dfrac1x\fallingdotseq -\dfrac{\Delta x}{x^2}$ より
$$\Delta L = \mu N^2\pi r^2\left(\frac{1}{d+v\Delta t}-\frac{1}{d}\right)\fallingdotseq \mu N^2\pi r^2\cdot\left(-\frac{v\Delta t}{d^2}\right) = -\,\frac{\mu N^2\pi r^2 v}{d^2}\,\Delta t$$よって外部電源の仕事は
$$W_{\text{電源}} = I^2\Delta L = -\,\frac{\mu N^2\pi r^2 I^2 v}{d^2}\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad \boxed{-\,\frac{\mu N^2\pi r^2 I^2 v}{d^2}}\times\Delta t \qquad\cdots\text{（カ）}$$符号が負なのは、$L$ が減るため磁束鎖交数が減り、外部電源はむしろエネルギーを受け取る側になるからである。
コイルのエネルギー増加は
$$\Delta U = \frac{1}{2}I^2\Delta L = -\,\frac{\mu N^2\pi r^2 I^2 v}{2d^2}\,\Delta t = \frac{1}{2}W_{\text{電源}}$$体積は $V_{\rm 内}=\pi r^2\cdot(\text{長さ})$ で、長さが伸びると端面が外向きに動くので
$$\Delta V_{\rm 内} = \pi r^2\cdot v\Delta t \ (>0)$$エネルギー収支「$\Delta U = W_{\text{電源}} + W_{\text{圧力}}$」より、圧力差が膜（端面）にする仕事は
$$W_{\text{圧力}} = \Delta U - W_{\text{電源}} = \Delta U - 2\Delta U = -\,\Delta U = +\,\frac{\mu N^2\pi r^2 I^2 v}{2d^2}\,\Delta t$$一方、(2) と同じく $W_{\text{圧力}} = -\,\delta p\,\Delta V_{\rm 内} = -\,\delta p\cdot\pi r^2 v\,\Delta t$。両者を等しいとおくと
$$-\,\delta p\cdot\pi r^2 v\,\Delta t = \frac{\mu N^2\pi r^2 I^2 v}{2d^2}\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad \delta p = -\,\frac{\mu N^2 I^2}{2d^2}$$$B=\dfrac{\mu N I}{d}$ より $\dfrac{\mu N^2 I^2}{d^2}=\dfrac{B^2}{\mu}$ なので、
$$\boxed{\ \delta p = -\,\frac{B^2}{2\mu}\ }$$問1で $\delta p = p_{\rm 外}-p_{\rm 内}=-\dfrac{B^2}{2\mu}<0$、すなわち内部気体の圧力が外部より高い。膜がつり合うためには、電流（磁場）が端面を内向き＝コイルを軸方向に縮めようとする向きに押している必要がある。よって
コイルの各一巻きには、すべて同じ向き（同じ周回方向）に電流が流れている。平行で向きの等しい2本の電流は互いに引き合う（アンペールの力）。したがって隣り合う巻きどうしが引き合い、コイル全体は軸方向に縮もうとする。これが端面に「縮めようとする圧力」として現れる。
磁場のマクスウェル応力は「磁力線に沿って張力 $\dfrac{B^2}{2\mu}$、磁力線に垂直に圧力 $\dfrac{B^2}{2\mu}$」という性質をもちます。
同じ磁気圧 $\dfrac{B^2}{2\mu}$ でも、面の向きによって「押す（外向き）」と「引く（内向き）」が入れ替わるのです。
たとえば $B=0.10$ T、真空に近い透磁率 $\mu\fallingdotseq 4\pi\times10^{-7}\ \text{N/A}^2$ とすると、磁気圧の大きさは
$$\frac{B^2}{2\mu} = \frac{(0.10)^2}{2\times 4\pi\times10^{-7}} \fallingdotseq \frac{0.010}{2.51\times10^{-6}} \fallingdotseq 4.0\times10^{3}\ \text{Pa}$$これは大気圧（約 $1.0\times10^5$ Pa）の約 4 % 程度。磁場が強くなるほど（$B^2$ に比例して）この圧力は急激に大きくなり、強磁場のコイルでは無視できない力になります。
長さを伸ばすと $B$ が弱まりエネルギーは減る（カは負）。軸方向の磁気圧は $-\dfrac{B^2}{2\mu}$（内向き）。物理的には「同方向の平行電流は引き合う」ため各巻きが引き寄せ合い、コイルを縮める。半径方向（外向き）と向きが逆になることに注意。