斜面台（くさび）上の物体の運動、磁場中の荷電粒子の円運動、そしてそれらの衝突を組み合わせた総合問題です。力学とローレンツ力の融合問題であり、京大らしい構成力が問われます。
物体 A にはたらく力：重力 \(mg\)（鉛直下向き）と垂直抗力 \(N\)（斜面に垂直）のみ。摩擦なしなので斜面に沿った力は重力の斜面成分 \(mg\sin\theta\) だけです。
【ア】合力の鉛直方向成分：
斜面に沿った合力は \(mg\sin\theta\)（斜面下方向）。この力の鉛直成分は：
$$F_{\text{鉛直}} = mg\sin\theta \times \sin\theta = mg\sin^2\theta$$上向きを正とすると、鉛直下向きなので：
【イ】斜面に置かれてから床に到達するまでの時間：
斜面に沿った加速度は \(a = g\sin\theta\)。斜面の長さは \(\dfrac{h}{\sin\theta}\) なので：
$$\frac{h}{\sin\theta} = \frac{1}{2}g\sin\theta \cdot t^2$$ $$t^2 = \frac{2h}{g\sin^2\theta}$$【ウ】床に到達後の水平速度：
エネルギー保存則より、高さ \(h\) を落下する間に得る速さ \(v\) は：
$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh}$$この速さは斜面に沿った方向。斜面から離れて水平に移動するとき、水平方向の速度成分は：
$$v_x = v\cos\theta = \sqrt{2gh}\cos\theta$$ただし、問題文の条件「斜面から水平に移行する微小な部分は滑らかに水平な床に接続している」より、斜面を離れた直後の水平速度は斜面下端での速度の水平成分です。
斜面の最下端で物体は水平面に滑らかに移行します。この移行で鉛直方向の速度成分 \(v\sin\theta\) は床からの垂直抗力によって瞬間的に打ち消されます（微小部分が滑らかに接続しているため）。水平成分 \(v\cos\theta\) のみが残ります。
斜面に沿った加速度 \(g\sin\theta\) の鉛直成分は \(g\sin^2\theta\) であり、\(g\) そのものではない。斜面の垂直抗力が重力の一部を支えているため、鉛直加速度は自由落下より小さい。
状況：斜面台（質量 \(M\)）が床に固定されておらず、物体 A（質量 \(m\)）と斜面の間に一定の動摩擦力がはたらく。物体 A は斜面をすべり落ちたのち、床の上で速度 \(v_0\) の水平運動をおこなった。
【エ】物体 A が離れたあとの斜面台の速度：
系全体（物体 A + 斜面台）には水平方向に外力がはたらかない（床との摩擦なし）ので、水平方向の運動量が保存します。初期状態で系は静止しているので：
$$mv_0 + Mv_1 = 0$$右向きを正として、物体 A が左に速度 \(v_0\) で動くなら：
（物体 A と逆向き、すなわち右向き）
動摩擦力は物体 A と斜面台の間の内力（作用・反作用の関係）です。系全体で見れば、水平方向に外力がはたらかないため運動量は保存します。摩擦はエネルギーを熱に変えますが、運動量には影響しません。
内力（摩擦力）は系内の運動量のやりとりに過ぎない。系全体の水平方向の運動量は初期値（ゼロ）のまま保存される。これは摩擦の有無によらない普遍的な性質。
【オ】斜面台の速度、【カ】物体 A の水平速度：
摩擦なし・斜面台自由の場合、水平方向の運動量保存と力学的エネルギー保存の2式を使います。
運動量保存（水平方向）：初期状態で系は静止。右向きを正とすると：
$$m \times (-u) + M \times V_{\text{台}} = 0$$ここで物体 A の水平速度（左向き）を \(u\)、斜面台の速度（右向き）を \(V_{\text{台}}\) とすると：
$$V_{\text{台}} = \frac{m}{M}u \quad \cdots \text{【オ】}$$エネルギー保存：
$$mgh = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}MV_{\text{台}}^2$$運動量保存の式を代入すると：
$$mgh = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}M\left(\frac{m}{M}u\right)^2 = \frac{1}{2}mu^2\left(1 + \frac{m}{M}\right)$$ $$u^2 = \frac{2Mgh}{M + m}$$【オ】斜面台の速度：\(V_{\text{台}} = \dfrac{m}{M}u = \dfrac{m}{M}\sqrt{\dfrac{2Mgh}{M+m}}\)（物体 A と逆向き）
【カ】物体 A の水平速度：\(u = \sqrt{\dfrac{2Mgh}{M+m}}\)
固定台の場合：\(v = \sqrt{2gh}\cos\theta\)
自由台（摩擦なし）の場合：\(u = \sqrt{\dfrac{2Mgh}{M+m}}\)
\(M \to \infty\) のとき \(u \to \sqrt{2gh}\) となり、固定台で斜面全速度を水平に投影した値に近づく（ただし \(\cos\theta\) の因子は台が動くかどうかで状況が異なる）。台が動ける場合、エネルギーの一部が台の運動エネルギーに分配されるため、物体 A の速度は小さくなります。
台が自由に動ける場合、「運動量保存」と「エネルギー保存」の2式の連立が基本。台が動く分だけ物体の速さは固定台の場合より小さくなる。
設定：左右に同じ斜面台（質量 \(M\)、角度 \(\theta\)）を向かい合わせに配置。物体 A（質量 \(m\)）を左の斜面台の高さ \(h\) の位置から静かに置く。摩擦なし。
物体 A が右の斜面台を最大高さ \(h'\) まで登り、最高点で物体 A と右の斜面台が一体となって動く瞬間を考えます。このとき運動量保存とエネルギー保存を適用します。
最高点での運動量保存：
最高点では物体 A と右の斜面台は同じ速度 \(v'\) で動きます（斜面に沿った相対速度がゼロ）。一方、左の斜面台は別の速度で動いています。
系全体の水平運動量は常にゼロなので、左の斜面台の速度を \(V_L\) とすると：
$$(m + M)v' + MV_L = 0$$エネルギー保存：
$$mgh = mgh' + \frac{1}{2}(m + M)v'^2 + \frac{1}{2}MV_L^2$$高さ \(h'\) を最大にする条件を求めるため、\(V_L\) を運動量保存から消去して整理すると：
$$mgh = mgh' + \frac{1}{2}(m + M)v'^2\left(1 + \frac{m + M}{M}\right)$$しかし、問題をより丁寧に考えると：左の斜面台は物体が離れた後は等速で動き続けます。物体が右の斜面を登る過程では、物体 + 右の斜面台の系の運動量が保存に関与します。
全体の運動量保存から、最終的に：
$$h' = \frac{M^2 h}{(m + M)^2} \times \frac{m + M}{M} \times \frac{2M}{m + 2M}$$これを整理すると（導出が複雑なので詳細は別解参照）：
最終的に、対称な2斜面台で \(\theta\) が同じ場合：
$$h' = \frac{2M^2 h}{(M+m)(2M+m)}$$ステップ1：物体 A が左の斜面台を離れるとき
(1)(c) の結果から、物体 A の水平速度を \(u\)（左向き）、左斜面台の速度を \(V_1 = \frac{m}{M}u\)（右向き）。
$$u = \sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}}$$ステップ2：物体 A が右の斜面台に乗り、最高点に達する
右の斜面台に乗る直前の物体 A の速度は \(u\)（左向き）。右の斜面台は初め静止。
物体 A + 右斜面台の系の運動量保存（左向きを正）：
$$mu = (m + M)v'$$ $$v' = \frac{mu}{m + M}$$エネルギー保存（物体 A + 右斜面台）：
$$\frac{1}{2}mu^2 = mgh' + \frac{1}{2}(m + M)v'^2$$ $$mgh' = \frac{1}{2}mu^2 - \frac{1}{2}(m + M)\frac{m^2 u^2}{(m+M)^2}$$ $$= \frac{1}{2}mu^2\left(1 - \frac{m}{m+M}\right) = \frac{1}{2}mu^2 \cdot \frac{M}{m+M}$$\(u^2 = \frac{2Mgh}{M+m}\) を代入：
$$mgh' = \frac{1}{2}m \cdot \frac{2Mgh}{M+m} \cdot \frac{M}{m+M} = \frac{M^2 mgh}{(M+m)^2}$$ $$h' = \frac{M^2 h}{(M+m)^2}$$段階的に考えると見通しが良い。左の斜面台を降りる過程と、右の斜面台を登る過程を分けて、それぞれで運動量保存 + エネルギー保存を適用する。\(h' < h\) は、エネルギーの一部が斜面台の運動エネルギーとして分散するためである。
【ク】磁場から受ける力の大きさ：
速さ \(V\) で磁束密度 \(B\) の磁場中を運動する電荷 \(q\) の荷電粒子が受けるローレンツ力は：
【コ】\(V\) と \(R\) の関係：
ローレンツ力が向心力となるので：
$$qVB = \frac{mV^2}{R}$$整理すると：
円運動の周期は \(T = \frac{2\pi R}{V} = \frac{2\pi m}{qB}\) となり、速さや半径に依存しない。これがサイクロトロンの原理です。角振動数は \(\omega = \frac{qB}{m}\) で、\(V = \omega R\) が成り立ちます。
ローレンツ力 \(F = qvB\) は速度に垂直なため仕事をしない。よって荷電粒子は等速円運動をする。\(V = \frac{qBR}{m}\) は半径に比例し、速いほど大きな円を描く。
設定：物体 A（質量 \(m\)）が速さ \(u\) で右向きに、物体 C（質量 \(m\)）が速さ \(V\) で左向きに、点 P で正面衝突（弾性衝突、\(e = 1\)）。衝突直後の物体 A の速さを \(v_1\)、物体 C の速さを \(V_1\) とします。
運動量保存（右向き正）：
$$mu + m(-V) = mv_1 + mV_1$$ $$u - V = v_1 + V_1 \quad \cdots (i)$$ここで衝突後の速度の向きに注意：\(v_1\) は物体 A の速度（右向き正）、\(V_1\) は物体 C の速度（右向き正）。
反発係数の式（\(e = 1\)）：
$$e = \frac{V_1 - v_1}{u - (-V)} = \frac{V_1 - v_1}{u + V} = 1$$ $$V_1 - v_1 = u + V \quad \cdots (ii)$$連立：(i) + (ii) より：
$$2V_1 = 2u \quad \Rightarrow \quad V_1 = u$$(i) - (ii) より：
$$2v_1 = -2V \quad \Rightarrow \quad v_1 = -V$$すなわち、同じ質量の弾性衝突では速度が交換されます。
衝突直後の物体 A の速さ：\(v_1 = V\)（左向き = 衝突前の C の速さ）
衝突直後の物体 C の速さ：\(V_1 = u\)（右向き = 衝突前の A の速さ）
導出過程：運動量保存 \(u - V = v_1 + V_1\) と反発係数 \(V_1 - v_1 = u + V\) を連立して \(v_1 = -V,\; V_1 = u\)。
弾性衝突なのでエネルギー保存も成り立ちます：
$$\frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mV^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mV_1^2$$ $$u^2 + V^2 = v_1^2 + V_1^2 \quad \cdots (iii)$$運動量保存 (i) から \(V_1 = u - V - v_1\) を (iii) に代入しても同じ結果が得られます。同じ質量の弾性衝突では常に「速度が交換される」というのは重要な定理です。
同じ質量どうしの弾性正面衝突では、速度が完全に交換される。これは「ニュートンのゆりかご」で知られる現象と同じ原理。運動量保存 + 反発係数の2式から機械的に導出できる。
設定：衝突後、物体 A は速さ \(V\)（= \(\frac{qBR}{m}\)）で左向きに動く。左に進んで斜面台（質量 \(M\)）に乗り、斜面を最大高さ \(H\) まで登る。斜面台と床の摩擦はなし。
運動量保存（物体 A + 斜面台）：
物体 A が最高点に達したとき、斜面に沿った相対速度がゼロになり、A と台は同じ速度 \(v'\) で動きます：
$$mV = (m + M)v'$$ $$v' = \frac{mV}{m + M}$$エネルギー保存：
$$\frac{1}{2}mV^2 = mgH + \frac{1}{2}(m + M)v'^2$$ $$mgH = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{1}{2}(m+M)\frac{m^2V^2}{(m+M)^2}$$ $$= \frac{1}{2}mV^2\left(1 - \frac{m}{m+M}\right) = \frac{1}{2}mV^2 \cdot \frac{M}{m+M}$$\(V = \frac{qBR}{m}\) を代入して：
$$H = \frac{V^2}{2g} \cdot \frac{M}{m+M} = \frac{M}{2g(m+M)} \cdot \frac{q^2B^2R^2}{m^2}$$（\(m, M, g, u, V\) または \(m, M, g, q, B, R\) で表せる）
例えば \(m = 0.10\) kg, \(M = 0.50\) kg, \(V = 3.0\) m/s, \(g = 9.8\) m/s² の場合：
$$H = \frac{0.50 \times 3.0^2}{2 \times 9.8 \times (0.10 + 0.50)} = \frac{0.50 \times 9.0}{2 \times 9.8 \times 0.60} = \frac{4.5}{11.76} \fallingdotseq 0.38 \text{ m}$$自由落下で \(H = \frac{V^2}{2g} = \frac{9.0}{19.6} \fallingdotseq 0.46\) m に比べて小さい。台にエネルギーが移るため。
自由な斜面台に物体が乗る場合、最高点では「物体と台が同速度」になることが鍵。この条件で運動量保存を使い、エネルギー保存と合わせて \(H\) を求める。
【シ】衝突直後の物体 F の速度：
運動量保存（右向きを正）：
$$mu + m(-V) = 2m \cdot v_F$$ $$v_F = \frac{u - V}{2}$$\(u > V\) なら右向き、\(u < V\) なら左向きです。
【ス】運動エネルギーの比較：
衝突前の運動エネルギー：
$$K_{\text{前}} = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mV^2$$衝突後の運動エネルギー：
$$K_{\text{後}} = \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{u-V}{2}\right)^2 = \frac{m(u-V)^2}{4}$$差を計算：
$$K_{\text{前}} - K_{\text{後}} = \frac{m}{2}(u^2 + V^2) - \frac{m(u-V)^2}{4}$$ $$= \frac{m}{4}\left[2(u^2 + V^2) - (u-V)^2\right] = \frac{m}{4}\left[2u^2 + 2V^2 - u^2 + 2uV - V^2\right]$$ $$= \frac{m}{4}(u^2 + 2uV + V^2) = \frac{m(u+V)^2}{4}$$これは常に正なので、衝突後の運動エネルギーは減少します。
衝突後の運動エネルギーは、衝突前の物体 A と物体 C の運動エネルギーの和と比較して、②減少する。
減少量は \(\dfrac{m(u+V)^2}{4}\)。
問4：\(u = \frac{3}{2}V\) のときの物体 F の軌道
\(u = \frac{3}{2}V\) を代入すると：
$$v_F = \frac{\frac{3}{2}V - V}{2} = \frac{V}{4} \quad \text{（右向き）}$$物体 F の質量は \(2m\)、電荷は \(q\)（物体 C の電荷）。磁場 \(B\) 中での円運動の半径：
$$R' = \frac{2m \cdot v_F}{qB} = \frac{2m \cdot \frac{V}{4}}{qB} = \frac{mV}{2qB}$$元の物体 C の半径 \(R = \frac{mV}{qB}\) と比較すると：
$$R' = \frac{R}{2}$$物体 F は点 P から速度 \(\frac{V}{4}\)（右向き）で出発し、正電荷なので磁場（紙面裏向き）中で時計回りに半径 \(\frac{R}{2}\) の円運動をします。
物体 F は点 P を出発点として、半径 \(\dfrac{R}{2}\) の円軌道を時計回りに描く。円の中心は P の真下（紙面で下方向）に \(\dfrac{R}{2}\) の位置。
正電荷 \(q\) が右向きに速度 \(v_F\) で運動し、磁場 \(B\) が紙面裏向き（\(\otimes\)）のとき：
$$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$$右向き \(\times\) 紙面裏向き = 下向き（フレミング左手の法則）
したがってローレンツ力は下向き。これが向心力なので、円の中心は P の下にあり、物体は時計回りに回転します。これは元の物体 C の回転方向と同じです。
\(u = V\) の場合：\(v_F = 0\) → 物体 F は静止（円運動しない）
\(u = 2V\) の場合：\(v_F = \frac{V}{2}\)、\(R' = \frac{mV}{qB} = R\) → 元と同じ半径の円運動
\(u < V\) の場合：\(v_F < 0\)（左向き）→ 円の中心は P の上にあり、反時計回りの円運動
完全非弾性衝突では運動エネルギーは必ず減少する（内部エネルギーに変換）。合体後の荷電物体の円運動半径は \(R' = \frac{2mv_F}{qB}\) で決まり、速度が変わると半径も変わる。軌道を描く際は、初速度の向きからローレンツ力の向きを判定し、円の中心位置と回転方向を決定する。