解法の指針

質量 $M$ の斜面台（角度 $\theta$）上を滑る物体 $A$（質量 $m$）の運動、向き合う2台の斜面間の運動、さらに水平面上の弾性衝突と円運動を組み合わせた力学の総合問題です。

問題の構成

• (1)(a)：斜面台が固定、摩擦なし → 物体 A の加速度、床到達時間、水平速度
• (1)(b)：斜面台が自由（摩擦あり）→ 物体 A の速度と台の速度の関係
• (1)(c)：斜面台が自由（摩擦なし）→ 運動量保存とエネルギー保存から速度を導出
• 問1：向かい合う2つの斜面台を通過したときの最大高さ $h'$
• 問2：水平面上で物体 A と物体 C の弾性衝突 → 衝突後速度
• 問3：衝突後に物体 A が斜面台を登る最大高さ $H$
• 問4：完全非弾性衝突と合体後の円運動軌道

設問(1)(a)：固定斜面・摩擦なし

力の分解：物体 A に作用する力は重力 $mg$（鉛直下向き）と垂直抗力 $N$（斜面に垂直）。斜面方向の運動方程式は

$$ma = mg\sin\theta$$

よって斜面方向の加速度は $a = g\sin\theta$ です。

(ア) 鉛直方向の加速度成分：斜面に沿う加速度 $g\sin\theta$ の鉛直成分は

$$a_y = g\sin\theta \times \sin\theta = g\sin^2\theta$$

(イ) 斜面の高さ $h$、斜面の長さ $L = h/\sin\theta$ を滑り降りる時間：

等加速度運動 $L = \frac{1}{2}at^2$ より

$$\frac{h}{\sin\theta} = \frac{1}{2}g\sin\theta \cdot t^2$$ $$t = \sqrt{\frac{2h}{g\sin^2\theta}}$$

(ウ) 水平面に到達した速度：エネルギー保存則より、高さ $h$ を降下すると

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh}$$

斜面方向の速さ $v_\text{slope} = \sqrt{2gh}$ の水平成分は $v_x = v_\text{slope} \cos\theta = \sqrt{2gh}\cos\theta$ です。

数値例：$m = 2.0$ kg, $h = 1.2$ m, $\theta = 30°$ とすると

$a = 9.8 \times \sin 30° = 4.9$ m/s², $L = 1.2/\sin 30° = 2.4$ m

$t = \sqrt{2 \times 2.4 / 4.9} = \sqrt{0.980} \fallingdotseq 0.99$ s

$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1.2} = \sqrt{23.5} \fallingdotseq 4.85$ m/s, $v_x = 4.85 \times \cos 30° \fallingdotseq 4.20$ m/s

別解：運動方程式を鉛直・水平に分解する方法

斜面に沿う座標ではなく、水平 $x$・鉛直 $y$ の直交座標で運動方程式を立てることもできます。垂直抗力 $N$ の $x$ 成分は $N\sin\theta$、$y$ 成分は $N\cos\theta$ です。

$$ma_x = N\sin\theta, \quad ma_y = mg - N\cos\theta$$

拘束条件 $a_x / a_y = \cos\theta / \sin\theta$（斜面に沿う）を使って $N$ を消去すると、同じ結果 $a_y = g\sin^2\theta$ が得られます。

設問(1)(b)(c) & 問1：自由な斜面台・運動量保存

(b) 斜面台が自由・摩擦あり：物体 A が斜面を降りた後の速度を $u_1$、斜面台の速度を $V_\text{台}$ とします。水平方向に外力がないので、運動量保存則（水平方向）より

$$mu_1 + MV_\text{台} = 0 \quad \Rightarrow \quad V_\text{台} = -\frac{m}{M}u_1$$

つまり (エ) $x = -m/M$ です（台は物体と反対方向に動く）。

(c) 斜面台が自由・摩擦なし：高さ $h$ からエネルギー保存と運動量保存を連立します。

$$mu_A + MV_M = 0 \quad \cdots (i)$$ $$\frac{1}{2}mu_A^2 + \frac{1}{2}MV_M^2 = mgh \quad \cdots (ii)$$

(i) より $V_M = -\frac{m}{M}u_A$ を (ii) に代入：

$$\frac{1}{2}mu_A^2\left(1 + \frac{m}{M}\right) = mgh$$ $$u_A^2 = \frac{2Mgh}{m + M}$$

問1：向かい合う2台の斜面間の最大高さ $h'$

物体 A が左斜面を降り速度 $u_A$ を得て、右の斜面台（静止、質量 $M$）に乗り上げます。この際も水平方向の運動量保存とエネルギー保存が成り立ちます。

最大高さに達した瞬間は A と台が同じ水平速度 $v_c$ で動くとき：

$$mu_A = (m + M)v_c \quad \Rightarrow \quad v_c = \frac{m}{m+M}u_A$$ $$mgh' = \frac{1}{2}mu_A^2 - \frac{1}{2}(m+M)v_c^2$$ $$= \frac{1}{2}mu_A^2\left(1 - \frac{m}{m+M}\right) = \frac{1}{2}mu_A^2 \cdot \frac{M}{m+M}$$

$u_A^2 = \frac{2Mgh}{m+M}$ を代入すると

$$mgh' = \frac{1}{2}m \cdot \frac{2Mgh}{m+M} \cdot \frac{M}{m+M} = \frac{mghM^2}{(m+M)^2}$$ $$\boxed{h' = \frac{M^2}{(m+M)^2}\,h}$$

数値例：$m = 1.0$ kg, $M = 3.0$ kg, $h = 2.0$ m とすると

$u_A = \sqrt{2 \times 3.0 \times 9.8 \times 2.0 / 4.0} = \sqrt{29.4} \fallingdotseq 5.42$ m/s

$h' = (3.0/4.0)^2 \times 2.0 = 0.5625 \times 2.0 = 1.125$ m

元の高さ $2.0$ m から $1.125$ m に減少。台にエネルギーが移ったことがわかります。

補足：$m \ll M$ と $m \gg M$ の極限

$m \ll M$ のとき $h' \fallingdotseq h$：台がほぼ動かないので、固定斜面と同じ。物体 A はほぼ元の高さまで登れます。

$m \gg M$ のとき $h' \fallingdotseq 0$：軽い台は簡単に弾き飛ばされ、A 自身はほとんど登れません。

$m = M$ のとき $h' = h/4$：対称的な質量では高さが $1/4$ になります。

別解：反発係数の観点からの解釈

物体 A が斜面台に「衝突」する過程を反発係数 $e = 1$（摩擦なし）の衝突とみなすと、A の衝突後速度は

$$u_A' = \frac{m - M}{m + M}u_A$$

最大高さは $h' = u_A'^2 / (2g) \cdot (m+M)/M$（エネルギー保存で補正）として同じ結果が得られます。この見方は、弾性衝突の公式との統一的理解に有効です。

問2：弾性衝突（物体 A と物体 C）

設定：物体 A（質量 $m$、速度 $u$、右向き正）と物体 C（質量 $m$、速度 $-V$、左向き）が点 P で弾性衝突します。

運動量保存則：

$$mu + m(-V) = mu_1 + mV_1$$ $$u - V = u_1 + V_1 \quad \cdots (1)$$

運動エネルギー保存（弾性衝突 $e=1$）：

$$\frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mV^2 = \frac{1}{2}mu_1^2 + \frac{1}{2}mV_1^2$$ $$u^2 + V^2 = u_1^2 + V_1^2 \quad \cdots (2)$$

(2) − (1)² を利用するより、同質量の弾性衝突では速度が交換されることを用います：

$$(2) \Rightarrow (u - u_1)(u + u_1) = (V_1 - V)(V_1 + V)$$

(1) より $u - u_1 = V_1 - (-V) = V_1 + V$ なので

$$u + u_1 = V_1 + V \quad \text{(ただし } u - u_1 \ne 0\text{)}$$

(1) と連立して

$$u_1 = -V, \quad V_1 = u$$

数値例：$u = 5.0$ m/s, $V = 3.0$ m/s とすると

衝突前の全運動量：$m(5.0 - 3.0) = 2.0m$ kg·m/s

衝突後：$u_1 = -3.0$ m/s（左向き）、$V_1 = 5.0$ m/s（右向き）

衝突後の全運動量：$m(-3.0 + 5.0) = 2.0m$ kg·m/s ✓

運動エネルギー：衝突前 $\frac{1}{2}m(25 + 9) = 17m$ J、衝突後 $\frac{1}{2}m(9 + 25) = 17m$ J ✓

別解：反発係数 $e = 1$ を直接使う方法

弾性衝突の反発係数の定義：

$$e = \frac{V_1 - u_1}{u - (-V)} = \frac{V_1 - u_1}{u + V} = 1$$ $$V_1 - u_1 = u + V \quad \cdots (3)$$

(1) $u_1 + V_1 = u - V$ と (3) $V_1 - u_1 = u + V$ を加えて

$$2V_1 = 2u \quad \Rightarrow \quad V_1 = u$$ $$u_1 = (u - V) - u = -V$$

同質量の弾性衝突では速度が入れ替わるのは一般的な結果です。

問3 & 問4：斜面を登る最大高さと合体後の円運動

問3：衝突後の物体 A の速度は $u_1 = -V$（左向き＝斜面台に向かう方向）。物体 A（質量 $m$）が斜面台（質量 $M$、静止）に乗り上げる状況は問1と同じ構造です。

水平運動量保存：最大高さでは A と台が同速度 $v_c$ で動くとき

$$m(-V) = (m + M)v_c \quad \Rightarrow \quad v_c = -\frac{mV}{m + M}$$

エネルギー保存：

$$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{1}{2}(m+M)v_c^2 + mgH$$ $$mgH = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{1}{2}(m+M)\frac{m^2V^2}{(m+M)^2}$$ $$= \frac{1}{2}mV^2\left(1 - \frac{m}{m+M}\right) = \frac{1}{2}mV^2 \cdot \frac{M}{m+M}$$ $$\boxed{H = \frac{MV^2}{2g(m+M)}}$$

数値例：$m = 1.0$ kg, $M = 3.0$ kg, $V = 4.0$ m/s とすると

$H = \frac{3.0 \times 16}{2 \times 9.8 \times 4.0} = \frac{48}{78.4} \fallingdotseq 0.612$ m

もし台が固定なら $H_\text{fixed} = V^2/(2g) = 16/19.6 \fallingdotseq 0.816$ m。台が動くと到達高さが減ることがわかります。

問4 (b)：完全非弾性衝突（合体）の場合

$u = 3V/2$ のとき、A（速度 $u = 3V/2$、右向き）と C（速度 $-V$、左向き）が合体して物体 F になります。

$$m \cdot \frac{3V}{2} + m(-V) = 2m \cdot v_F$$ $$v_F = \frac{3V/2 - V}{2} = \frac{V}{4}$$

(シ) $v_F > 0$ なので右向きです。

(ス) 衝突前の運動エネルギー：

$$K_\text{前} = \frac{1}{2}m\left(\frac{3V}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}mV^2 = \frac{9mV^2}{8} + \frac{mV^2}{2} = \frac{13mV^2}{8}$$

衝突後の運動エネルギー：

$$K_\text{後} = \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{V}{4}\right)^2 = \frac{mV^2}{16}$$

運動エネルギーの比：$K_\text{後}/K_\text{前} = \frac{1/16}{13/8} = \frac{1}{26}$

$K_\text{後} < K_\text{前}$（大部分が散逸）。

問4の軌道：物体 F は速度 $V/4$（右向き）で円運動の軌道に沿って動きます。物体 C がもともと半径 $R$ の円運動をしていたため、合体後の物体 F は $V/4$ の速さで円軌道を周回します。ただし、遠心力と重力のバランスから、円運動を維持できるかは速さに依存します。

補足：完全非弾性衝突のエネルギー損失

完全非弾性衝突ではエネルギー損失が最大です。損失量は

$$\Delta K = K_\text{前} - K_\text{後} = \frac{13mV^2}{8} - \frac{mV^2}{16} = \frac{25mV^2}{16}$$

損失率 $\Delta K / K_\text{前} = 25/26 \fallingdotseq 96.2\%$ と、ほとんどのエネルギーが熱・変形に変わります。

一般に、同質量の完全非弾性衝突（対向の場合）では

$$\frac{\Delta K}{K_\text{前}} = \frac{(u + V)^2}{2(u^2 + V^2)}$$

$u = V$ のとき損失率 $= 100\%$（完全停止）、$u \ne V$ のとき $< 100\%$ です。

補足：円運動との接続条件

物体 C は半径 $R$ の円運動軌道上の点 P を速度 $V$（左向き）で通過していました。円運動の向心力条件は

$$\frac{mv^2}{R} = N - mg \quad (\text{最下点の場合})$$

合体後の物体 F（質量 $2m$、速度 $V/4$）が同じ円軌道を維持するには

$$\frac{2m(V/4)^2}{R} = N' - 2mg$$

向心力が小さいため、軌道の最高点に到達できない可能性があります。最高点での条件 $v_\text{top}^2 \geq gR$ を満たすかどうかを確認する必要があります。