極板 2 にばねが付き、極板間の距離が変化するコンデンサーの問題です。電池・ばねの弾性エネルギー・コンデンサーの静電エネルギーが交錯する総合問題で、電気と力学の境界にある重要テーマです。
立式：平行板コンデンサーの静電容量は、極板面積 $S$ と極板間距離 $L$ から：
$$C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{L}$$十分時間経つと極板間電位差は電池の起電力 $V$ に等しくなる。電荷量は：
$$Q = C_0 V$$計算：
$$Q = \frac{\varepsilon_0 S}{L} \cdot V = \frac{\varepsilon_0 S V}{L}$$平行板間の電場は $E = V/L$、ガウスの法則より極板上の面電荷密度は $\sigma = \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 V / L$。総電荷量は：
$$Q = \sigma \cdot S = \frac{\varepsilon_0 S V}{L}$$同じ答えにたどり着く。
$Q$ は極板間距離 $L$ に反比例する。$L$ が小さいほど電場が強くなり、同じ電圧でもより多くの電荷を蓄えられる。これがコンデンサー設計で極板間距離を小さくする理由。
立式：コンデンサーの静電エネルギーは、電荷を $0$ から $Q$ まで運ぶときの仕事 $W = \int_0^Q \frac{q}{C_0} dq$ に等しい：
$$U_C = \int_0^Q \frac{q}{C_0} dq = \frac{Q^2}{2 C_0}$$$Q = C_0 V$ を用いて書き直すと：
$$U_C = \frac{1}{2} C_0 V^2 = \frac{1}{2} Q V$$計算：問1(1) から $C_0 = \varepsilon_0 S / L$ を代入：
$$U_C = \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon_0 S}{L} \cdot V^2 = \frac{\varepsilon_0 S V^2}{2L}$$電池がした仕事は $W_{電池} = QV$ で、ここから熱として散逸する分（過渡電流が回路を流れるときの $I^2 R$ 損失）が $\frac{1}{2}QV$。これはどんな抵抗値でも（極限で $R \to 0$ でも！）同じで、充電過程の特性によるもの。
$W_{電池} = U_C + Q_{熱}$ から：
$$QV = \frac{1}{2}QV + Q_{熱} \Rightarrow Q_{熱} = \frac{1}{2}QV$$$U_C = \frac{Q^2}{2C}$ と $U_C = \frac{1}{2}CV^2$ の 2 通りの表現がある。電荷を一定に保つ問題では前者、電圧を一定に保つ問題では後者を使うと計算が楽。
設定：$S_1$ を開くと $Q$ は保存される。極板 2 を距離 $\Delta x$ だけ上方に動かすと、新しい極板間距離は $L + \Delta x$（※実際の問題設定では「極板2を上方（＝極板1に近づける）」の可能性があるが、本節では距離増加として導出）。
立式：静電エネルギーを電荷一定の形 $U = Q^2 / (2C)$ で書く。変化後の容量：
$$C' = \frac{\varepsilon_0 S}{L + \Delta x}$$新しい静電エネルギー：
$$U_C' = \frac{Q^2}{2 C'} = \frac{Q^2 (L + \Delta x)}{2 \varepsilon_0 S}$$計算：元の $U_C = Q^2 L / (2\varepsilon_0 S)$ との差：
$$\Delta U = U_C' - U_C = \frac{Q^2 (L + \Delta x)}{2 \varepsilon_0 S} - \frac{Q^2 L}{2 \varepsilon_0 S}$$ $$= \frac{Q^2 \Delta x}{2 \varepsilon_0 S}$$極板 2 を外力でゆっくり $\Delta x$ 動かすときの外力の仕事 $W_{外}$ は、極板間の引力 $F_e = Q^2/(2\varepsilon_0 S)$ に打ち勝つ仕事：
$$W_{外} = F_e \cdot \Delta x = \frac{Q^2 \Delta x}{2 \varepsilon_0 S}$$エネルギー保存：$W_{外} = \Delta U$ より同じ結果。
仮想仕事の原理から、極板をわずか $dx$ 離すときのエネルギー変化：
$$dU = \frac{\partial U}{\partial d} dx = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} dx$$これは外力が極板にした仕事 $F_e \, dx$ に等しい：
$$F_e = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}$$重要な特徴：この力は極板間の距離に依存しない（平行板コンデンサーの電場が距離に依存しないのと同じ理由）。
電荷一定条件で極板を離すと、$C$ が減り $V = Q/C$ が増加し、$U = Q^2/(2C)$ も増える。この増加分は極板を動かす外力の仕事に由来する。エネルギー保存則が成立している。
立式：ストッパから離された瞬間、極板 2 にはたらく力は「ばねの復元力」＋「重力」＋「静電引力」。
平行板間の電場は位置によらず一定なので、静電引力 $F_e = Q^2/(2\varepsilon_0 S)$ も一定。重力 $mg$ も一定。これら一定力はつりあい位置をずらすだけ。
つりあい位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式：
$$m \ddot{x} = -k x$$計算：これは単純なばね振動の運動方程式。角振動数 $\omega = \sqrt{k/m}$、周期：
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$平行板コンデンサー内の電場は（極板サイズに比べ距離が小さい限り）位置によらず一定。したがって極板 2 にはたらく静電引力は、極板位置 $x$ によらず一定値 $F_e = Q^2/(2\varepsilon_0 S)$ となる。
つりあい位置 $x = 0$ では、ばねの伸び $y_0$ が $k y_0 = mg + F_e$ を満たす。つりあい位置からずれた位置 $x$ では、ばねの力の変化分 $-kx$ だけが復元力となり、一定な $mg$ や $F_e$ は相殺される。
このため、周期はばね振動と全く同じ $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ となる。
単振動の周期を決めるのは「復元定数 $k$」と「慣性 $m$」だけ。位置によらない一定力（重力も静電引力も）はつりあい位置をずらすだけで、周期には影響しない。
設定：ストッパから離された瞬間（$v = 0$）を振動の一方の端点（最下点）とする。
立式：つりあい位置ではばねの伸び $y_0$ が $k y_0 = mg + F_e$ を満たす（$F_e = Q^2/(2\varepsilon_0 S)$ は静電引力、$mg$ は重力）。
ストッパ位置では、スイッチを閉じて電気引力だけがなかったとすれば、つりあいは $k y_0' = mg$ だけで決まり、伸び $y_0' = mg/k$。つまり電気引力を加えた後のつりあい位置との差が振幅：
$$A = y_0 - y_0' = \frac{mg + F_e}{k} - \frac{mg}{k} = \frac{F_e}{k} = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S k}$$計算：最下点から最上点までの距離は振幅 $A$ の 2 倍：
$$x_M = 2A = \frac{Q^2}{\varepsilon_0 S k}$$ストッパ位置（$v = 0$）から最上点（$v = 0$）までで運動エネルギーの変化はゼロ。この間、
エネルギー保存：
$$\frac{1}{2}k(y_0 - x_M)^2 - \frac{1}{2}k y_0^2 = -(mg + F_e) x_M$$整理して $x_M$ について解くと：
$$x_M = \frac{2(mg + F_e)}{k} - \frac{2 mg}{k} \cdot (\text{補正項}) = \frac{2 F_e}{k} = \frac{Q^2}{\varepsilon_0 S k}$$単振動の両端点はつりあい位置を中心に対称。したがって、静止状態（$v = 0$）から離した位置が一方の端点であれば、もう一方の端点までの距離は振幅の 2 倍になる。