天井に固定された電極 1 と、ばね（ばね定数 $k$）で床につながれた電極 2 がつくる平行板コンデンサーの問題です。極板は一辺 $L$ の正方形（面積 $L^2$）、初期の極板間距離は $d$。鉛直上向きを $x$ 軸の正、初期状態の電極 2 の位置を原点 $x=0$ とします。真空の誘電率は $\varepsilon_0$。「電気（コンデンサー）」と「力学（ばね・重力・単振動）」が一体化した九大らしい総合問題です。
立式：極板面積は $L^2$、極板間距離は $d$ なので、平行板コンデンサーの容量は
$$C_0 = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d}$$$S_1$ を閉じて十分時間が経つと、極板間電位差は電池の起電力 $V$ に等しくなる。したがって蓄えられる電荷は
$$Q = C_0 V$$代入・計算：$C_0=\dfrac{\varepsilon_0 L^2}{d}$ を代入して
$$Q = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d}\cdot V = \frac{\varepsilon_0 L^2 V}{d}$$一様な極板間電界は $E=\dfrac{V}{d}$。ガウスの法則より極板表面の面電荷密度は $\sigma=\varepsilon_0 E=\dfrac{\varepsilon_0 V}{d}$。総電荷は面積 $L^2$ を掛けて
$$Q=\sigma\cdot L^2=\frac{\varepsilon_0 V}{d}\cdot L^2=\frac{\varepsilon_0 L^2 V}{d}$$容量の式を経由しなくても同じ結果になる。
面積は「一辺 $L$ の正方形」なので $S=L^2$。ここを $L$ のまま使うと以降すべての式がずれる。容量は $C_0=\dfrac{\varepsilon_0 L^2}{d}$、電荷は距離 $d$ に反比例することを押さえる。
立式：電荷を $0$ から $Q$ まで運ぶ仕事が静電エネルギーになる。運ぶ途中の電位差は $\dfrac{q}{C_0}$ だから
$$U_C=\int_0^Q \frac{q}{C_0}\,dq=\frac{Q^2}{2C_0}$$（グラフでは「電荷 $q$ ─ 電位差 $q/C_0$」直線の下の三角形の面積に相当。）
代入・計算：問1(1) の $C_0=\dfrac{\varepsilon_0 L^2}{d}$ を代入して
$$U_C=\frac{Q^2}{2C_0}=\frac{Q^2}{2}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 L^2}=\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L^2}$$両者は $Q=C V$ で結ばれる同じ量。電荷 $Q$ を一定に保つ操作（$S_1$ を開いた後の問2・問3・問4）では $U=\dfrac{Q^2}{2C}$ が便利で、$C$ が変わると $U$ が距離に比例して素直に変化する。一方 電圧 $V$ を一定に保つ操作では $U=\dfrac12 CV^2$ が便利。この問題では指定記号が $L,d,Q,\varepsilon_0,k$ なので $\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L^2}$ の形で答える。
問4 で使う $U_C$ は「最初に（$x=0$ で）蓄えたエネルギー」$\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L^2}$。距離が $d$ の形で入っている点を覚えておくと後半がスムーズ。
設定：$S_1$ を開いたので電荷は $Q$ で一定。電極 1 を水平のまま上へ $\Delta x$ だけゆっくり動かすと、極板間距離は $d\to d+\Delta x$ に増える。
立式：電荷一定の形 $U=\dfrac{Q^2}{2C}$ を使う。移動後の容量は
$$C'=\frac{\varepsilon_0 L^2}{d+\Delta x}$$よって移動後の静電エネルギーは
$$U_C'=\frac{Q^2}{2C'}=\frac{Q^2(d+\Delta x)}{2\varepsilon_0 L^2}$$計算：初期値 $U_C=\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L^2}$ との差をとると
$$\Delta U_C=U_C'-U_C=\frac{Q^2(d+\Delta x)}{2\varepsilon_0 L^2}-\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L^2}=\frac{Q^2\,\Delta x}{2\varepsilon_0 L^2}$$「距離を増やす → $C$ が減る → $Q$ 一定なら $V=Q/C$ が上がる → $U=\frac12 QV$ が増える」と、$Q$ 一定を軸に一本道でたどれば符号を間違えない。逆に $V$ 一定（電池つなぎっぱなし）なら $U=\frac12 CV^2$ で $C$ が減ると $U$ は減る——条件で逆になる点に注意。
$U=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}\times(\text{距離})$。電荷一定なら静電エネルギーは極板間距離に正比例する。$\Delta U_C$ が $\Delta x$ に比例するのはこのため。
立式：外力の大きさ $F$ を引力の大きさに等しいとする。電極を $\Delta x$ 動かすときの外力の仕事 $F\,\Delta x$ が、問2(1) で求めた静電エネルギー増分 $\Delta U_C$ に等しい（電極 1 の質量は無視、ゆっくり動かすので運動エネルギーは生じない）：
$$F\,\Delta x=\Delta U_C=\frac{Q^2\,\Delta x}{2\varepsilon_0 L^2}$$計算：両辺を $\Delta x$ で割って
$$F=\frac{\Delta U_C}{\Delta x}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}$$片方の極板（電荷 $Q$）が受ける力は「相手の極板だけがつくる電界」による。1 枚の極板がつくる電界は $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{2\varepsilon_0 L^2}$（極板間の全電界 $\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}$ の半分）。よって
$$F=Q\times\frac{Q}{2\varepsilon_0 L^2}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}$$「全電界 $E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}$ に $Q$ を掛ける」と 2 倍になってしまうので注意。仮想仕事で求めれば自動的に正しい $\frac12$ が出る。
$F=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}$ は極板間距離を含まない＝距離によらず一定。$Q$ が固定されている限り、電極 2 がどこにあってもこの引力は変わらない。この「一定力」という性質が問3 の単振動を素直にする。
立式：時刻 $0$（$x=0$）で電極 2 にはたらく力（上向きを正）は、ばね力 $0$、重力 $-mg$、電気引力 $+F$。上昇し始めるには合力が正であればよい：
$$F-mg\gt 0$$代入：問2(2) の $F=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}$ を入れて
$$\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}-mg\gt 0$$計算：$Q^2$ について整理すると
$$Q^2\gt 2\varepsilon_0 L^2 m g\qquad\left(\text{すなわち } Q\gt L\sqrt{2\varepsilon_0 m g}\right)$$問題文より、初期状態は「ばねが自然長となる位置」で電極 2 を固定している。自然長ではばねは伸びも縮みもしていないので、ばねが電極 2 に及ぼす力は $0$。したがって外した瞬間の力のつりあいには重力と電気引力しか関与せず、条件は $F\gt mg$ とシンプルになる。もしばねが自然長でなければ、ここにばね力が加わって条件が変わる。
「動き出す条件」はその瞬間の合力の符号で判定する。ばねが自然長ならばね力は $0$。電気引力は距離によらず一定なので、$x=0$ でも上昇後でも同じ大きさである点が後の計算で効いてくる。
立式（エネルギー保存）：$x=0$（速度 $0$）から最上点 $x=x_M$（速度 $0$）まで、運動エネルギーの変化は $0$。この間に電気引力 $F$ が正の仕事、重力とばねが負の仕事をする。電気引力は一定なのでその仕事は $+F\,x_M$、重力の仕事は $-mg\,x_M$、ばねの弾性エネルギー増加は $\dfrac12 k x_M^2$（自然長 $x=0$ から $x_M$ まで）。エネルギー保存は
$$F\,x_M=mg\,x_M+\frac{1}{2}k x_M^2$$計算：$x_M\neq 0$ で割って
$$F=mg+\frac{1}{2}k x_M \;\Longrightarrow\; x_M=\frac{2(F-mg)}{k}$$$F=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}$ を代入して
$$x_M=\frac{2}{k}\!\left(\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}-mg\right)=\frac{Q^2}{\varepsilon_0 L^2 k}-\frac{2mg}{k}$$つりあい位置 $x_{\text{eq}}$ は合力 $0$：$-k x_{\text{eq}}+F-mg=0$ より
$$x_{\text{eq}}=\frac{F-mg}{k}=\frac{1}{k}\!\left(\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}-mg\right)$$$x=0$ で速度 $0$ から出発するので、$x=0$ は振動の一方の端点。振幅は $A=|x_{\text{eq}}-0|=x_{\text{eq}}$。もう一方の端点はつりあい位置に関して対称なので $x_M=2x_{\text{eq}}$：
$$x_M=2x_{\text{eq}}=\frac{Q^2}{\varepsilon_0 L^2 k}-\frac{2mg}{k}$$エネルギー保存と完全に一致する。$\dfrac{2mg}{k}$ の項を落とさないこと（重力を無視すると誤り）。
一定力（重力・電気引力）が乗った単振動では、つりあい位置がずれるだけ。静止状態から出発した点はかならず端点になり、反対側の端点までは「つりあい位置までの距離の 2 倍」。$-\dfrac{2mg}{k}$ の重力補正を忘れないのが最大のポイント。
立式：$S_1$ は開いたままなので、極板の電荷は一定値 $Q$。平行板コンデンサーの極板間電界の大きさは、面電荷密度 $\sigma=\dfrac{Q}{L^2}$ を用いて
$$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0 L^2}$$この式に極板間距離が入っていないことが決定的。電極 2 が単振動して距離が刻々と変化しても、$Q$ が変わらない限り $E$ は変化しない。
向きと符号：電界は $+Q$ の電極 1（上）から $-Q$ の電極 2（下）へ向かう、すなわち $x$ 軸の負の向き。したがって
$$E_x=-\frac{Q}{\varepsilon_0 L^2}\ (\text{一定},\ \lt 0)$$時間によらず一定で $0$ でない水平線——選択肢では (c)（横軸の下側の水平線）が該当する。
平行板の電界は「電荷一定なら距離に無関係、電圧一定なら距離に反比例」。$E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 L^2}=\dfrac{V}{d}$ の両表現のうち、いま固定されているのは $Q$ の方。極板が動いても $E$ が一定という事実は、問2(2) で引力 $F$ が距離によらないこととも整合する。
回路の把握：$S_1$ は開いたまま（電池は切り離されている）、$S_2$ を閉じると電極が $R_2$ を介して短絡される。よってコンデンサーは $R_2$ を通して完全に放電し、蓄えていた静電エネルギーはすべて $R_2$ の熱になる。
立式：放電直前、電極 2 は $x_M$ にあり、極板間距離は $d-x_M$、電荷は $Q$。このときの静電エネルギーは（問1(2) と同じ形で距離を $d-x_M$ に）
$$U(x_M)=\frac{Q^2(d-x_M)}{2\varepsilon_0 L^2}$$これがそのまま $R_2$ の消費エネルギーになる：
$$U_{R2}=U(x_M)=\frac{Q^2(d-x_M)}{2\varepsilon_0 L^2}$$差をとる：問1(2) の $U_C=\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L^2}$ との差は
$$U_C-U_{R2}=\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L^2}-\frac{Q^2(d-x_M)}{2\varepsilon_0 L^2}=\frac{Q^2\,x_M}{2\varepsilon_0 L^2}$$指定記号 $d,Q,\varepsilon_0,k,m,g$ へ：$L$ を消すために、問3(2) のエネルギー保存 $F\,x_M=mg\,x_M+\dfrac12 k x_M^2$、すなわち $\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0 L^2}x_M=mg\,x_M+\dfrac12 k x_M^2$ を使う。左辺はまさに $U_C-U_{R2}$ なので
$$U_C-U_{R2}=\frac{Q^2 x_M}{2\varepsilon_0 L^2}=\frac{1}{2}k\,x_M^2+mg\,x_M$$$x_M^2$ の係数は $\dfrac{k}{2}$、$x_M$ の係数は $mg$。
$\dfrac12 k x_M^2$ はばねに蓄えられた弾性エネルギー、$mg\,x_M$ は電極 2 が $x_M$ だけ上昇したことによる重力の位置エネルギー増加。すなわち
$$U_C-U_{R2}=\underbrace{\frac12 k x_M^2}_{\text{ばね}}+\underbrace{mg\,x_M}_{\text{重力}}$$問3 で「減った静電エネルギー（$U_C$ のうち $U_{R2}$ として残らなかった分）」が、そっくりばねと重力の位置エネルギーに化けたことを表す。エネルギーが電気→力学→（最後に放電で）熱と流れる全体像が 1 本の式に凝縮されている。
（別の見方：$U_C - U_{R2} = U_C - U(x_M)$ は、距離が $d$ から $d-x_M$ に縮んだぶんの静電エネルギー減少。$Q$ 一定では $U\propto$ 距離なので、その減少は電気引力 $F$ が電極 2 にした仕事 $F x_M$ に等しく、これが力学エネルギーに変わった。）
$S_1$ が開いている以上、$S_2$ を閉じても電池は仕事をしない。だから $R_2$ の熱＝放電で失う静電エネルギー全部。$U_C-U_{R2}$ を距離 $d-x_M$ から計算し、$L$ は問3(2) の関係式で力学量に読み替えるのが決め手。$-2mg/k$ を含む $x_M$ の正しい値（問3(2)）とセットで完結する。