等速円運動と格子振動（多くのばねで結ばれた物体の単振動）を扱う問題。問1 では円運動の位置・速度・加速度のベクトル表現の基礎を固め、問2 ではそれを単振動の集団運動に応用し、分散関係 $\omega(\lambda)$ を導出する。固体物理の基礎となる重要テーマです。
位置ベクトル（ア・イ）：時刻 $t=0$ で $\vec{r}(0) = (r, 0)$、角速度 $\omega$ で反時計回りに回るので：
$$\vec{r}(t) = (r\cos\omega t,\ r\sin\omega t)$$速度ベクトル（ウ・エ）：位置を時間微分する：
$$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = (-r\omega \sin\omega t,\ r\omega \cos\omega t)$$確認：$\vec{v}(0) = (0, r\omega)$ — 初期位置から接線方向（上向き）に飛ぶ。大きさ $|\vec{v}| = r\omega$（一定）。
加速度ベクトル（オ・カ・キ・ク）：速度をさらに時間微分：
$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = (-r\omega^2 \cos\omega t,\ -r\omega^2 \sin\omega t) = -\omega^2 \vec{r}(t)$$これは常に位置ベクトルの逆向き（中心向き）、大きさ $r\omega^2$。
時間微分を 90° 左回転＋ $\omega$ 倍として見ると、速度は位置から 90° 進んだ方向、加速度は速度からさらに 90° 進んで（＝位置から 180° 進んで）中心向き。各ベクトルが回転すると考えると、
等速円運動の加速度は速さが変わらなくてもゼロではない。方向が変わり続けるので、速度ベクトル $\vec{v}$ の時間変化はゼロではない。これが「向心加速度」の本質。
設定：格子点 $x_n = na$ に並ぶ物体の変位は、進行波の形で：
$$u_n(t) = r\sin(\omega t - 2\pi x_n / \lambda) = r\sin(\omega t - 2\pi n a / \lambda)$$$P$ 番目の物体について、対応する等速円運動の回転角は $\omega t$（波の先頭との位相差は考えずに $P$ 番目を基準とする）。つまり：
$$u_P(t) = r\sin(\omega t)$$立式：隣接する物体 $P-1$, $P+1$ の位相を求める。格子位置 $x_{P \pm 1} = (P \pm 1)a$ に対応するので、基準を $P$ 番目にして：
$P-1$ 番目の位置 $x_{P-1} = Pa - a$、これに対応する位相は $P$ 番目より $2\pi a/\lambda$ だけ進む（波が $+x$ 向きに進む場合、後方の物体の方が先に同じ位相を経験する）：
$$u_{P-1}(t) = r\sin\left(\omega t + \frac{2\pi a}{\lambda}\right)$$$P+1$ 番目は位相が $2\pi a/\lambda$ だけ遅れる：
$$u_{P+1}(t) = r\sin\left(\omega t - \frac{2\pi a}{\lambda}\right)$$波長 $\lambda$ の波が格子上を進むとき、隣接物体の位相差は「間隔 $a$ に相当する位相」＝$\frac{2\pi}{\lambda} \cdot a$。
例えば $\lambda = 4a$（1 波長で 4 個の格子）なら位相差は $\pi/2$（= 90°）。$\lambda = 2a$（ナイキスト限界）なら位相差は $\pi$（= 180°）で、隣接物体は逆位相になる。
格子振動（フォノン）の位相関係は、波動方程式の離散化から自然に導かれる。$\lambda$ が大きい（長波長）ほど位相差は小さく、隣接物体は同じような動きをする — これが音波の「波形の連続的な進行」。
ス（加速度）：$P$ 番目の変位 $u_P = r\sin(\omega t)$ の 2 階時間微分：
$$a_P = \frac{d^2 u_P}{dt^2} = -r\omega^2 \sin(\omega t) = -\omega^2 u_P$$したがって加速度（大きさ）は $-\omega^2 r \sin(\omega t)$。
セ（合力）：$P$ 番目の物体には左右のばねから力がはたらく。ばね定数 $k$、伸び＝隣接物体との変位の差。
左のばねからの力：$k(u_{P-1} - u_P)$
右のばねからの力：$k(u_{P+1} - u_P)$
合力：
$$F_P = k(u_{P-1} - u_P) + k(u_{P+1} - u_P) = k(u_{P-1} + u_{P+1} - 2 u_P)$$これを三角関数で書き直す：
$$u_{P-1} + u_{P+1} = r\sin\left(\omega t + \frac{2\pi a}{\lambda}\right) + r\sin\left(\omega t - \frac{2\pi a}{\lambda}\right)$$和積公式 $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B$ より：
$$u_{P-1} + u_{P+1} = 2 r \sin(\omega t) \cos\left(\frac{2\pi a}{\lambda}\right) = 2 u_P \cos\left(\frac{2\pi a}{\lambda}\right)$$したがって：
$$F_P = k \left[2 u_P \cos\left(\frac{2\pi a}{\lambda}\right) - 2 u_P\right] = -2k u_P \left[1 - \cos\left(\frac{2\pi a}{\lambda}\right)\right]$$さらに $1 - \cos\theta = 2\sin^2(\theta/2)$ を用いて：
$$F_P = -4k u_P \sin^2\left(\frac{\pi a}{\lambda}\right)$$ソ（分散関係）：運動方程式 $m a_P = F_P$ より：
$$m \cdot (-\omega^2 u_P) = -4k u_P \sin^2\left(\frac{\pi a}{\lambda}\right)$$ $$\omega^2 = \frac{4k}{m} \sin^2\left(\frac{\pi a}{\lambda}\right)$$$\lambda \gg a$ のとき、$\pi a/\lambda$ は小さいので $\sin(\pi a/\lambda) \fallingdotseq \pi a/\lambda$。これを代入すると：
$$\omega^2 \fallingdotseq \frac{4k}{m} \left(\frac{\pi a}{\lambda}\right)^2 = \frac{4\pi^2 k a^2}{m \lambda^2}$$ $$\omega \fallingdotseq \frac{2\pi a}{\lambda} \sqrt{\frac{k}{m}}$$つまり $\omega \propto 1/\lambda$（振動数と波長が反比例）、これは通常の音波の分散関係 $v = f\lambda$（$v$ が一定）そのもの。音速は $v = a\sqrt{k/m}$ となる。
$\lambda = 2a$ のとき、隣接する物体は完全に逆位相で振動する（位相差 $\pi$）。このとき：
$$\omega^2 = \frac{4k}{m} \sin^2(\pi/2) = \frac{4k}{m}$$ $$\omega_{\max} = 2\sqrt{k/m}$$これが格子振動の最大振動数（周期 $T_{\min} = \pi\sqrt{m/k}$）。これより短い波長の波は格子上に存在しえない（サンプリング定理の物理バージョン）。
固体物理のフォノン分散関係の原型。格子振動には自然に「カットオフ振動数」が存在し、連続媒質の波とは異なる性質を持つ。これが熱容量の Einstein/Debye モデルの基礎。
隣接する質量 $m$ の物体を等間隔 $a$ で並べ、ばね定数 $k$ で結合した 1 次元格子。進行波 $u_n(t) = r\sin(\omega t - 2\pi n a/\lambda)$ の分散関係：
$$\omega^2(\lambda) = \frac{4k}{m} \sin^2\left(\frac{\pi a}{\lambda}\right)$$この式は長波長極限 $\lambda \gg a$ で通常の音波（$\omega \propto 1/\lambda$）、短波長極限 $\lambda \to 2a$ でカットオフ振動数 $\omega_{\max} = 2\sqrt{k/m}$ を与える。
例として、半径 $r = 0.50\ \text{m}$、角振動数 $\omega = 4.0\ \text{rad/s}$ の等速円運動を考えると、速さは：
$$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \text{m/s}$$向心加速度の大きさは：
$$a = r\omega^2 = 0.50 \times 4.0^2 = 8.0\ \text{m/s}^2$$また、格子振動の例として $k = 1.0 \times 10^2\ \text{N/m}$、$m = 1.0 \times 10^{-2}\ \text{kg}$、$\lambda \to 2a$（カットオフ）の場合、最大角振動数は：
$$\omega_{\max} = 2\sqrt{\frac{k}{m}} = 2\sqrt{\frac{1.0 \times 10^2}{1.0 \times 10^{-2}}} = 2 \times 100 = 2.0 \times 10^2\ \text{rad/s}$$実際の結晶では、異なる質量の原子が交互に並ぶ（例：NaCl）。この場合、「音響モード」と「光学モード」の 2 つの分散ブランチが現れ、赤外線吸収やラマン散乱の原因となる。
$k = 2\pi/\lambda$ と書き換えると、分散関係は：
$$\omega(k) = 2\sqrt{\frac{k_{\text{spring}}}{m}} \left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|$$$k \to 0$（長波長）では $\omega \approx ka\sqrt{k_{\text{spring}}/m}$、音速 $v = a\sqrt{k_{\text{spring}}/m}$。$k = \pi/a$（ブリルアンゾーン境界）で最大値 $\omega_{\max} = 2\sqrt{k_{\text{spring}}/m}$。
これは Bravais 格子のフォノン分散の最も単純な例。
この問題は「円運動 → 単振動 → 格子振動」と抽象度を上げながら振動現象を扱う。物理学的には等速円運動の投影 = 単振動という普遍的な原理を用いて、固体中の波動（フォノン）を離散モデルから理解する基盤を与える。