この大問は3つの独立した小問で構成されています。
平行板コンデンサーの電気容量は：
$$ C(d) = \varepsilon_0 \frac{S}{d} $$ここで \(S\) は極板面積、\(d\) は極板間隔です。したがって \(C(d)\) は \(d\) に反比例します。
電流 \(I = I_1 \sin\omega t\) が流れるとき、極板Aに蓄えられる電気量は：
$$ Q = \int_0^t I\,dt = \int_0^t I_1 \sin\omega t\,dt = \frac{I_1}{\omega}(1 - \cos\omega t) $$これが最大になるのは \(\cos\omega t = -1\) のとき、すなわち \(\omega t_1 = \pi\) より：
$$ t_1 = \frac{\pi}{\omega} $$ただし問題文では \(0 < t_1 \leq \frac{2\pi}{\omega}\) の範囲で考えます。電流の向き（極板Aに流れ込む向き）を正とすると：
電荷が最大になるのは電流の符号が正から負に変わる瞬間、すなわち \(\omega t_1 = \pi\)（\(\sin\omega t_1 = 0\) かつ直前に正）のとき：
$$ t_1 = \frac{\pi}{\omega} $$最大電気量は：
$$ Q_1 = \frac{I_1}{\omega}(1 - \cos\pi) = \frac{I_1}{\omega} \cdot 2 = \frac{2I_1}{\omega} $$ただし、交流回路で電流が \(I = I_1\sin\omega t\) の場合、蓄積電荷の振幅は \(\frac{I_1}{\omega}\) です。初期条件 \(Q(0) = 0\) のとき：
極板Bからみた極板Aの電位 \(V_1\) は：
$$ V_1 = \frac{Q_1}{C(d)} = \frac{I_1}{\omega} \cdot \frac{d}{\varepsilon_0 S} = \frac{I_1 d}{\omega \varepsilon_0 S} $$導線が \(N\) 回巻かれた円筒形コイル（長さ \(a\)、断面積 \(S\)）の自己インダクタンスを導出します。
ア：コイル内部の単位長さあたりの巻数は \(\frac{N}{a}\)。磁束密度の大きさは：
$$ B = \mu_0 \frac{N}{a} I \quad \rightarrow \quad \boxed{\text{ア} = \frac{N}{a}} $$イ：コイル1巻き当たりの磁束の大きさは：
$$ \Phi = BS = \mu_0 \frac{N}{a} I \cdot S \quad \rightarrow \quad \boxed{\text{イ} = \mu_0 \frac{N}{a} S} $$ウ：微小時間 \(\Delta t\) の間に電流が \(\Delta I\) だけ変化したとき、コイル1巻き当たりの誘導起電力は：
$$ e_1 = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \mu_0 \frac{N}{a} S \frac{\Delta I}{\Delta t} \quad \rightarrow \quad \boxed{\text{ウ} = \mu_0 \frac{N}{a} S \Delta I} $$エ：コイル全体の誘導起電力は \(N\) 倍なので、自己インダクタンス \(L\) は：
$$ V = N \cdot \mu_0 \frac{N}{a} S \frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{\mu_0 N^2 S}{a} \frac{\Delta I}{\Delta t} $$自己インダクタンス \(L\) のコイルに角周波数 \(\omega\) の交流電圧を加え、振幅 \(I_0\) の交流電流が流れるとき、コイルの両端にかかる交流電圧の振幅は：
$$ V_L = \omega L I_0 $$RLC 直列回路のインピーダンスは：
$$ Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} $$電流振幅が最大になる（\(Z\) が最小になる）のは \(\omega L = \frac{1}{\omega C}\) のとき：
$$ \omega_1 = \frac{1}{\sqrt{LC(d_1)}} $$共振時（\(\omega = \omega_1\)）のコイルの電圧は、電流に対して位相が \(\frac{\pi}{2}\) 進みます。コンデンサーの電圧は電流に対して \(\frac{\pi}{2}\) 遅れます。
コイルの電圧振幅は \(V_L = \omega_1 L I_0\)、コンデンサーの電圧振幅は \(V_C = \frac{I_0}{\omega_1 C}\) で、共振時には \(V_L = V_C\) です。
コイルの電圧波形は \(\cos\omega_1 t\) 型（電流 \(\sin\omega_1 t\) に対して \(\frac{\pi}{2}\) 先行）。コンデンサーは \(-\cos\omega_1 t\) 型です。両者は逆位相で打ち消し合います。
\(C(d_1) = \varepsilon_0 S / d_1\) を代入：
$$ \omega_1 = \sqrt{\frac{d_1}{\varepsilon_0 SL}} $$\(\omega_1' \neq \omega_1\) で \(I_0\) が最大になるには、\(C\) を変更して \(\omega_1' = \frac{1}{\sqrt{LC(d_1')}}\) とすればよい。\(d_1\) を \(d_1'\) に変えると：
$$ d_1' = \omega_1'^2 \varepsilon_0 SL $$交流電圧の振幅を一定に保ったまま \(I_0\) の最大値をさらに大きくするには、\(R\) を小さくするか、共振をより鋭くする必要があります。\(d\) を変えるだけでは \(I_0\) の最大値（= \(V_0/R\)）は変わりません。
\(d\) を整数値（1, 2, ..., 10 程度）で変えると、各 \(d\) に対して1つの共振周波数が対応するので、4〜5個程度の共振ピークが得られます。
共振の鋭さは Q 値（Quality factor）で表されます：
$$ Q = \frac{\omega_1 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} $$Q 値が大きいほど共振ピークが鋭く、選択性が高くなります。可変コンデンサーで \(d\) を変えることで、ラジオの選局のように特定の周波数を選び出すことができます。