この大問は気体分子運動論から出発し、断熱圧縮の関係式を導き、最終的に音速の式を理論的に導出するという、物理学の美しい論理展開を辿る問題です。
速度の x 成分が \(-v_0\)（\(v_0 > 0\)）の気体分子が、速度 \(u\) で移動中のピストン0に弾性衝突します。
ピストンの質量は分子の質量 \(m\) に比べて十分大きいため、衝突後の分子の速度の x 成分は：
$$ v_0' = -(-v_0) + 2u = v_0 + 2u $$（壁が速度 \(u\) で動いているとき、弾性衝突では相対速度が反転する）
衝突前の x 成分の大きさは \(v_0\)、衝突後は \(v_0 + 2u\)。ピストン0に衝突するたびに \(2u\) だけ増加します。
\(dx \ll L\) なので分子間衝突は無視でき、x 方向の往復時間は \(\frac{2L}{v_0}\) で近似できます。
ピストン0に \(\frac{dx \cdot v_0}{2u \cdot L}\) 回衝突するまでにピストンは \(dx\) 移動します。
ピストン0を止めた直後の x 成分速度の大きさは \(v_0 + \frac{v_0 \cdot dx}{L}\) 程度。
速度成分の2乗の平均は、x 方向について：
$$ \overline{v_x^2} \rightarrow \overline{v_x^2}\left(1 + \frac{2dx}{L}\right) $$y, z 方向は変化しないので、全運動エネルギーの変化は：
$$ \Delta K = N \times \frac{1}{2}m \times \overline{v^2} \times \frac{2}{3} \times \frac{2dx}{L} $$気体の圧力 \(P\) と体積 \(V = SL\) の関係から、圧縮前後の圧力変化を導きます。
圧力は \(P = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}\) で、体積変化 \(\Delta V = -S \cdot dx\) に対して：
式③の関係（(気体の圧力)×(気体の体積) = \(\frac{2}{3}\) ×(全気体分子の運動エネルギー)）を利用：
$$ PV = \frac{2}{3}K_{\text{total}} $$圧縮前: \(P \cdot SL = \frac{2}{3}K_0\)、圧縮後: \((P + dP) \cdot S(L - dx) = \frac{2}{3}(K_0 + \Delta K)\)
展開して微小量の2次を無視すると：
$$ PSL - PSdx + dP \cdot SL = \frac{2}{3}K_0 + \frac{2}{3}\Delta K $$ $$ -PSdx + dP \cdot SL = \frac{2}{3}\Delta K $$\(\Delta K\) は \(\frac{2}{3} \times \frac{Nm\overline{v^2}}{2} \times \frac{2dx}{L}\) で、\(K_0 = \frac{3}{2}PV = \frac{3}{2}PSL\) を用いると：
単原子分子（\(\gamma = 5/3\)）の断熱変化では：
図2のように、無数のピストンが間隔 \(L\) で並んでおり、各空間に \(N\) 個の分子が封入されています。
ピストン \(n\) の変位を \(x_n = A\sin(\omega t - \frac{2\pi nL}{\lambda})\) とします。
ピストン \(n\) に加わる力は、前後の空間の圧力差です。問1で求めた関係式を用いて：
$$ \Delta P_{n-1} = -\gamma P \frac{x_n - x_{n-1}}{L} $$ピストン \(n\) にかかる正味の力は：
$$ F = S(\Delta P_{n-1} - \Delta P_n) = -\gamma P S \frac{(x_{n-1} - 2x_n + x_{n+1})}{L} $$三角関数の合成公式 \(\sin(\phi + \phi_0) + \sin(\phi - \phi_0) = 2\sin\phi\cos\phi_0\) を用いると：
$$ x_{n-1} - 2x_n + x_{n+1} = 2\left[\cos\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\right) - 1\right] \times x_n $$よって運動方程式は：
$$ Nma_n = -\gamma PS \times \frac{2[\cos(2\pi L/\lambda) - 1]}{L} \times x_n $$\(\cos\phi - 1 = -2\sin^2(\phi/2)\) を用いると：
$$ Nma_n = -4\gamma PS \times \frac{\sin^2(\pi L/\lambda)}{L} \times x_n $$これは単振動の運動方程式で、角振動数は：
$$ \omega^2 = \frac{4\gamma PS}{NmL} \sin^2\left(\frac{\pi L}{\lambda}\right) $$\(\lambda \gg L\) であるから \(\sin(\pi L/\lambda) \fallingdotseq \pi L/\lambda\) の近似を用いると：
$$ \omega^2 = \frac{4\gamma PS}{NmL} \times \frac{\pi^2 L^2}{\lambda^2} = \frac{4\pi^2 \gamma PSL}{Nm\lambda^2} $$音速 \(v = \frac{\omega\lambda}{2\pi}\) より：
$$ v^2 = \frac{\omega^2\lambda^2}{4\pi^2} = \frac{\gamma PSL}{Nm} $$気体の密度 \(\rho = \frac{Nm}{SL}\) を用いると：
$$ v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma PSL}{Nm}} $$空気（主に \(\text{N}_2\)、2原子分子 \(\gamma = 7/5\)）で検証：
$$ v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} = \sqrt{\frac{1.4 \times 1.013 \times 10^5}{1.29}} \fallingdotseq 331 \text{ m/s} $$0℃での音速の実測値 331.5 m/s と非常によく一致します。本問は単原子分子（\(\gamma = 5/3\)）なので、例えばヘリウム（\(\rho = 0.179 \text{ kg/m}^3\)）では：
$$ v = \sqrt{\frac{5/3 \times 1.013 \times 10^5}{0.179}} \fallingdotseq 972 \text{ m/s} $$ヘリウム中の音速の実測値 970 m/s とよく一致します。
音速の式 \(v = \sqrt{\gamma P/\rho}\) はニュートンが最初に \(v = \sqrt{P/\rho}\)（等温過程を仮定）と導出しましたが、実測値と合いませんでした。後にラプラスが断熱過程（音波は速い変化なので熱交換の時間がない）を仮定して \(\gamma\) の因子を導入し、正しい値を得ました。