天井の同じ点からひもでつるされた2つの小球 A（$3m$）・B（$2m$）の衝突を扱う問題です。前半（問1）は1回の完全非弾性衝突、後半（問2）は反発係数 $e$ の繰り返し衝突で、最終的な速度分布を極限として求めます。
設定：糸の長さ $l$、小球Aの質量 $3m$。最下点を高さの基準とする。
力学的エネルギー保存則：
$$3mg\,h_0 = 3mg\,h + \frac{1}{2}(3m)v_A^2$$質量 $3m$ で両辺割って整理：
$$g l(1 - \cos\theta_0) = g l(1 - \cos\theta) + \frac{1}{2}v_A^2$$ $$\frac{1}{2}v_A^2 = g l\left[(1 - \cos\theta_0) - (1 - \cos\theta)\right] = g l(\cos\theta - \cos\theta_0)$$速さ：
$$v_A = \sqrt{2gl(\cos\theta - \cos\theta_0)}$$ただし $\cos\theta > \cos\theta_0$（つまり $\theta < \theta_0$）が必要 — 角度 $\theta$ は元の持ち上げ角度より小さい必要がある。
振り子の角度 $\theta$ のとき、最下点からの高さは $l - l\cos\theta = l(1 - \cos\theta)$。これは、角度 $\theta$ を原点の垂線からの偏角とするとき、糸の長さ $l$ と鉛直成分 $l\cos\theta$ の差として導かれます。
振り子の高さ差：$\Delta h = l(\cos\theta - \cos\theta_0)$。エネルギー保存で $v = \sqrt{2g\Delta h}$。
運動量保存則：衝突前、A は速さ $v_A$（右向きを正とする）、B は静止（速さ 0）。衝突後、2 球がくっついて共通速度 $v'$ で進む：
$$3m \cdot v_A + 2m \cdot 0 = (3m + 2m) v' = 5m v'$$$v'$ を求める：
$$v' = \frac{3m v_A}{5m} = \frac{3}{5} v_A$$$v_A$ の表式を代入：
$$v' = \frac{3}{5}\sqrt{2gl(\cos\theta - \cos\theta_0)}$$反発係数 $e = 0$ の場合、衝突後の2物体の相対速度はゼロ — つまり「くっついて一体となる」。身近な例：粘土のボールが壁にぶつかってくっつく、車同士が衝突してグシャッとなる、など。運動量は保存されるが運動エネルギーは減少する（熱・音・変形エネルギーに散逸）。
完全非弾性衝突：$e=0$、2 物体は共通速度 $v' = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$（運動量保存則 ÷ 合計質量）。
立式：衝突前の運動エネルギー（A のみ運動、B 静止）：
$$K_\text{前} = \frac{1}{2} \cdot 3m \cdot v_A^2 = \frac{3m v_A^2}{2}$$衝突後の運動エネルギー（合体物体 $5m$ が $\dfrac{3}{5}v_A$ で運動）：
$$K_\text{後} = \frac{1}{2} \cdot 5m \cdot \left(\frac{3}{5}v_A\right)^2 = \frac{5m}{2} \cdot \frac{9v_A^2}{25} = \frac{9m v_A^2}{10}$$減少量：
$$\Delta K = K_\text{前} - K_\text{後} = \frac{3m v_A^2}{2} - \frac{9m v_A^2}{10} = \frac{15m v_A^2 - 9m v_A^2}{10} = \frac{6m v_A^2}{10} = \frac{3m v_A^2}{5}$$$v_A^2 = 2gl(\cos\theta - \cos\theta_0)$ を代入：
$$\Delta K = \frac{3m \cdot 2gl(\cos\theta - \cos\theta_0)}{5} = \frac{6mgl(\cos\theta - \cos\theta_0)}{5}$$失われた運動エネルギー（衝突前の運動エネルギーの 40%）は、球の変形・音・熱として外部に散逸します。完全弾性衝突（$e = 1$）では $\Delta K = 0$、完全非弾性衝突（$e = 0$）では最大の散逸。一般には $\Delta K \propto (1 - e^2)$ の形。
衝突エネルギー散逸：$\Delta K = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot \dfrac{(1-e^2)}{2} (v_1 - v_2)^2$ — 2体問題の「換算質量」を使う公式。本問では $e = 0$。
立式（力学的エネルギー保存）：衝突直後の運動エネルギーが、最高点での位置エネルギーに変わる：
$$\frac{1}{2}(5m) v'^2 = 5m g h$$$h$ を求める：
$$h = \frac{v'^2}{2g} = \frac{(3v_A/5)^2}{2g} = \frac{9 v_A^2}{50 g}$$$v_A^2 = 2gl(\cos\theta - \cos\theta_0)$ を代入：
$$h = \frac{9 \cdot 2gl(\cos\theta - \cos\theta_0)}{50 g} = \frac{9 l(\cos\theta - \cos\theta_0)}{25}$$衝突前の A の高さ $l(\cos\theta - \cos\theta_0)$ に対して、衝突後の最高点は $\dfrac{9}{25}$ 倍（約 36%）。エネルギーが 40% 失われたので、残り 60% が位置エネルギーに変わるはずですが、合体物体の質量が $\dfrac{5}{3}$ 倍になるので、高さは ($60\% \times \dfrac{3}{5}) = 36\%$ となる計算。
衝突後の最高点：$h = \dfrac{v'^2}{2g}$（力学的エネルギー保存）。衝突エネルギー散逸で、元の高さの $\dfrac{9}{25}$ しか到達しない。
反発係数の定義：反発係数 $e$ は
$$e = -\frac{v_C' - v_D'}{v_C - v_D} = -\frac{\text{衝突後の相対速度}}{\text{衝突前の相対速度}}$$衝突前は C が $v_0$、D が 0 → 相対速度 $v_C - v_D = v_0$。衝突後の相対速度は：
$$v_C' - v_D' = -e(v_C - v_D) = -e v_0$$（D に対する C の相対速度。負符号は「逆向き」を表す）
単振り子の周期：C は衝突後に左向きに $e v_0$ で動き、振り子運動をして戻ってきて再び D と衝突。これは1周期後に D の位置に戻るから、
$$t_1 = T_\text{単振り子} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$（振り子は振幅によらず周期一定、という単振り子の特性を使用）
振り子の周期は振幅（振れ角）によらず $T = 2\pi\sqrt{l/g}$（微小振動の近似）。だから、衝突で振幅が小さくなっても、次の衝突までの時間は一定。これは単振動の特徴的な性質（「等時性」）。
反発係数：$v_\text{後, 相対} = -e \cdot v_\text{前, 相対}$。単振り子の周期は振幅によらず $T = 2\pi\sqrt{l/g}$。
運動量保存則から、各衝突前後で運動量の総和は不変。初期状態は C が $v_0$、D が 0 なので、
$$p_\text{total} = 3m \cdot v_0 + 2m \cdot 0 = 3m v_0$$各衝突でも運動量は保存される：
$$3m \cdot v_{C, n} + 2m \cdot v_{D, n} = 3m v_0$$運動量の総和は、衝突の回数によらず常に $3m v_0$。
各衝突で相対速度は $(-e)$ 倍になるので、
$$v_n^\text{rel} = (-e)^n v_0$$奇数回目で負、偶数回目で正（$e > 0$）、大きさは $e^n v_0$。
$n \to \infty$ で相対速度 $(-e)^n v_0 \to 0$（$|e| < 1$）。このとき C と D は同じ速度で動くため、運動量保存から、
$$5m \cdot v' = 3m v_0$$ $$v' = \frac{3}{5} v_0$$（これは「重心速度」 — 無限回衝突の極限で両球が一体化したように見える）
重心速度は $v_{cm} = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \dfrac{3v_0}{5}$。運動量保存則に従う衝突系では、重心速度は決して変化しません（外力なしの仮定）。衝突を繰り返して内部相対運動が散逸しきったとき、両球は重心速度で動くだけになります。
運動量保存：$3m v_C + 2m v_D = 3m v_0$ ...(i)
極限で $v_C = v_D = v'$ なので、$5m v' = 3m v_0$、$v' = \dfrac{3}{5} v_0$。
繰り返し衝突の極限 = 重心速度。$v' = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$。相対速度は $(-e)^n$ で指数減衰。
例として、$l = 0.80\ \text{m}$、$\theta_0 = 60°$、$\theta = 0°$（最下点）、$g = 9.8\ \text{m/s}^2$ の場合、問1(1) より衝突直前の速さは：
$$v_A = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.80 \times (1 - 0.5)} = \sqrt{7.84} \fallingdotseq 2.8\ \text{m/s}$$問1(2) より完全非弾性衝突直後の速さは：
$$v'_A = \frac{3}{5} v_A = \frac{3}{5} \times 2.8 = 1.68\ \text{m/s}$$問1(4) より衝突後の最高点の高さは：
$$h = \frac{(v'_A)^2}{2g} = \frac{1.68^2}{2 \times 9.8} \fallingdotseq 0.144\ \text{m}$$