単原子分子理想気体（問1・2）と二原子分子理想気体（問3）を使った熱サイクルの問題です。定圧加熱・断熱膨張・定積冷却・断熱圧縮の4過程から構成される熱機関の熱効率を扱います。
状態 A → B：等温過程（温度一定、$T_A = T_{AB}$ という指定に注意）… いや、本問では「A → B は等温変化」と問題文に書かれており、状態B での温度は状態Aと同じ $T_{AB}$ です。
等温過程では、$pV = $ 定数なので
$$p_A V_A = p_B V_B$$ただし、問題文から B における体積や圧力は具体的に決まっていない — ボイルの法則で関係式を示すのが答え。
あるいは、本問では「A → B は等圧加熱」の可能性もあり、その場合は
B → C が断熱膨張の場合、気体は膨張しながら外部に仕事をするため、温度は下がる：
$$T_C < T_B = T_{AB}$$C → D が等温過程（温度 $T_{CD}$ で一定）なので、$T_C = T_D = T_{CD}$。したがって、
$$T_{AB} > T_{CD}$$B → C 過程での内部エネルギー変化：断熱膨張では $Q = 0$、仕事 $W > 0$（気体が外部に仕事）。第1法則 $Q = \Delta U + W$ より
$$\Delta U = -W < 0 \quad \text{（内部エネルギー減少）}$$内部エネルギーが減少 → 温度が下がる（単原子理想気体で $U = \dfrac{3}{2}nRT$）。
断熱過程：熱のやりとりなし、$Q = 0$。気体の膨張は内部エネルギーの犠牲で行われるため温度が下がる。
等温過程：温度一定、$\Delta U = 0$。気体の膨張は外から熱を受け取りながら行うため $Q = W$。
同じ体積変化でも、断熱の方が圧力変化が大きい（$pV^\gamma = $ 定数 vs $pV = $ 定数）。
断熱膨張：温度降下、仕事は気体が外部にする。$\Delta U < 0$、$W > 0$、$Q = 0$。
単原子理想気体の定圧モル比熱：$C_p = \dfrac{5}{2}R$
熱量の式（等圧）：温度変化 $\Delta T = T_{AB} - T_A$、モル数 $n$ として
$$Q_{AB} = n C_p \Delta T = \frac{5}{2} nR (T_{AB} - T_A)$$断熱変化の式（ポアソン）：単原子理想気体では $\gamma = \dfrac{C_p}{C_v} = \dfrac{5R/2}{3R/2} = \dfrac{5}{3}$。
$TV^{\gamma-1} = $ 定数より、
$$T_{AB} V_B^{\gamma-1} = T_{CD} V_C^{\gamma-1}$$$\gamma - 1 = \dfrac{2}{3}$ なので、
$$T_{AB} V_B^{2/3} = T_{CD} V_C^{2/3}$$熱力学第1法則 $dQ = dU + pdV$ で $dQ = 0$（断熱）なので、$dU = -pdV$。単原子理想気体では $dU = nC_v dT = \dfrac{3}{2}nRdT$、状態方程式から $p = nRT/V$、代入して整理：
$$\frac{3}{2}nRdT = -\frac{nRT}{V}dV$$ $$\frac{dT}{T} = -\frac{2}{3}\frac{dV}{V}$$積分：$\ln T = -\dfrac{2}{3}\ln V + $ 定数、$TV^{2/3} = $ 定数。
単原子理想気体の $\gamma = 5/3$。断熱変化：$pV^{5/3} = $ 定数、$TV^{2/3} = $ 定数、$Tp^{-2/5} = $ 定数。
等圧過程 $p = p_A$、$V$ は $V_A \to V_B$ に変化：
$$W_{AB} = p_A (V_B - V_A) = n R (T_{AB} - T_A)$$（状態方程式 $pV = nRT$ より $p_A \Delta V = nR\Delta T$）
断熱過程で $Q = 0$、第1法則 $0 = \Delta U + W$ より
$$W_{BC} = -\Delta U = -\frac{3}{2}nR(T_{CD} - T_{AB}) = \frac{3}{2}nR(T_{AB} - T_{CD}) > 0$$吸熱（$A \to B$）：$Q_{AB} = \dfrac{5}{2}nR(T_{AB} - T_A)$
放熱（$C \to D$）：$Q_{CD} = \dfrac{5}{2}nR(T_{CD} - T_D)$（等圧冷却と仮定）
熱効率：
$$e_1 = 1 - \frac{Q_{CD}}{Q_{AB}} = 1 - \frac{T_{CD} - T_D}{T_{AB} - T_A}$$断熱過程の関係から $T_{AB} T_D = T_A T_{CD}$（断熱で等温の場合）、などの関係を使って簡略化することがある：
$$e_1 = 1 - \frac{T_{CD}}{T_{AB}}$$（これがカルノーサイクルの熱効率式と一致）
2つの等温過程と2つの断熱過程からなるカルノーサイクルの熱効率は
$$e_\text{carnot} = 1 - \frac{T_\text{low}}{T_\text{high}}$$これは熱機関が到達できる最大効率です。実在の熱機関はこの値より小さい効率しか持てません。本問のサイクルもカルノー型なので、この公式が使えます。
熱機関の効率：$e = 1 - \dfrac{Q_\text{放}}{Q_\text{吸}}$。カルノーサイクルでは $e = 1 - \dfrac{T_\text{low}}{T_\text{high}}$（温度比で決まる）。
断熱変化：$pV^\gamma = $ 定数
比較：$\dfrac{V_D'}{V_C} = \dfrac{(p_B/p_C)^{5/7}}{(p_B/p_C)^{3/5}} = (p_B/p_C)^{5/7 - 3/5} = (p_B/p_C)^{4/35}$
$p_B > p_C$ なので、$(p_B/p_C) > 1$、指数 $4/35 > 0$ だから $V_D' > V_C$。すなわち、二原子気体の方が大きく膨張する。
これを単原子の $(p_B/p_C)^{3/5}$ と比較すると、二原子の方が体積膨張率が大きい。
熱効率 $e_2$ の計算と、$V_D' > V_D$ の事実から、二原子気体のサイクル図は単原子よりも「広く平たい」形状になります。具体的には図3 の選択肢のうち、A-B-C-D の 4 点を結んだループが単原子よりより広い範囲に広がっている図を選びます。
$\gamma = C_p/C_v$ は、気体の自由度の数で決まります。
$\gamma$ が小さいほど、断熱変化のグラフ曲線の傾きが緩やかになります。
二原子理想気体の熱機関II の熱効率を計算してみましょう。
吸熱 $Q_{AB}$（等圧加熱）：$C_p = \dfrac{7}{2}R$（二原子）なので
$$Q_{AB} = \frac{7}{2}nR(T_{AB} - T_A)$$放熱 $Q_{CD}$（等圧冷却）：
$$Q_{CD} = \frac{7}{2}nR(T_{CD} - T_D)$$熱効率：
$$e_2 = 1 - \frac{Q_{CD}}{Q_{AB}} = 1 - \frac{T_{CD} - T_D}{T_{AB} - T_A}$$断熱過程の関係から $T_A \cdot V_A^{2/5} = T_{CD}\cdot V_D'^{2/5}$（二原子の場合 $\gamma - 1 = 2/5$）。温度比は体積比に依存：
$$\frac{T_A}{T_{CD}} = \left(\frac{V_D'}{V_A}\right)^{2/5}$$両熱機関で温度比を整理すると、一般に $e_1 \neq e_2$（効率は気体の種類で異なる）。
カルノー効率 $e_\text{C} = 1 - T_\text{low}/T_\text{high}$ は熱力学第2法則の帰結で、どんな熱機関もこれを超えることはできません。
現実の熱機関はカルノー効率より低い値になります：
カルノー効率に近づけるには「高温側温度を上げる、低温側温度を下げる」ことが必要ですが、材料の耐熱温度が現実の制約になります。
$\gamma$ = 単原子(5/3) > 二原子(7/5)。同じ圧力比で二原子の方が体積膨張が大きい、熱効率は異なる（一般に単原子の方がカルノー限界に近い）。
重要公式のまとめ：
$$\text{熱力学第1法則}: \quad Q = \Delta U + W_\text{気体がした仕事}$$ $$\text{理想気体の状態方程式}: \quad pV = nRT$$ $$\text{単原子の内部エネルギー}: \quad U = \frac{3}{2}nRT$$ $$\text{カルノー効率}: \quad e_\text{C} = 1 - \frac{T_\text{low}}{T_\text{high}}$$各過程の詳細：
熱力学サイクル問題のコツ：① 各過程の種類を特定 → ② 仕事・熱量・内部エネルギー変化を個別に求める → ③ サイクル1周で $\Delta U = 0$ → ④ 熱効率 $= W_\text{正味}/Q_\text{吸}$。