本問は波動（光学）の2つの古典的テーマを扱います：
ロイドの鏡の原理：光源Q は鏡面の上方 $d$ の位置にあります。鏡に対するQ の鏡像をQ' とすると、Q' は鏡面の下方 $d$（Q と鏡面対称）に位置します。したがって、Q と Q' は鏡面で分けられた距離 $2d$ の2点光源として振る舞います。
光路の作図：
この2つの光が重なり合って干渉縞を作ります。
平面鏡による鏡像は、鏡面を境に実光源と対称の位置にある「仮想の光源」。鏡で反射した光線の延長線が鏡像に達する、という性質を使うと、反射の問題が「2つの独立した光源から出る光の干渉」に変換されるのがロイドの鏡の原理です。
ロイドの鏡 = 光源 Q + 鏡像 Q' の2光源モデル。鏡像の位置は鏡面に対して対称 → 2点光源の距離は $2d$。
立式（2光源干渉の基本式）：2光源の間隔 $= 2d$（鏡像Q' とスリットS の距離）、光源から観測点までの距離 $= L$。
一般のヤングの実験では、スリット間隔 $d'$、スリット→スクリーン距離 $L$、波長 $\lambda$ のとき、明線間隔は $\Delta x = \dfrac{\lambda L}{d'}$。
ロイドの鏡では $d' = 2d$ なので、
$$\Delta x = \frac{\lambda L}{2d}$$$\lambda = 500$ nm $= 5 \times 10^{-7}$ m、$d = 0.5$ mm $= 5 \times 10^{-4}$ m、$L = 2.0$ m のとき：
$$\Delta x = \frac{5 \times 10^{-7} \times 2.0}{2 \times 5 \times 10^{-4}} = \frac{1.0 \times 10^{-6}}{1.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$1 mm 間隔の縞は、肉眼でちょうど識別可能なサイズです。
2光源干渉：$\Delta x = \dfrac{\lambda L}{\text{光源間隔}}$。ロイドの鏡では光源間隔 = $2d$。
幾何計算：光源Q（$y = +d$）からスクリーン上の点 P（$x$ 座標、$y$ 座標は小さい）までの距離は、
$$QP = \sqrt{L^2 + (x - d)^2}$$鏡像Q'（$y = -d$）からの距離：
$$Q'P = \sqrt{L^2 + (x + d)^2}$$経路差を近似：$x, d \ll L$ として、Taylor 展開（$\sqrt{1+u} \fallingdotseq 1 + u/2$）。
$$QP \fallingdotseq L + \frac{(x-d)^2}{2L}, \quad Q'P \fallingdotseq L + \frac{(x+d)^2}{2L}$$差分：
$$\Delta L = Q'P - QP \fallingdotseq \frac{(x+d)^2 - (x-d)^2}{2L} = \frac{4xd}{2L} = \frac{2xd}{L}$$光源間隔 $2d$ と観測点座標 $x$ は、スクリーンまでの距離 $L$ に比べて十分小さい（高校物理の典型条件）。このとき、2光源からの距離の差は「光源間隔に観測点の角度をかけた」形で表現できます：$\Delta L \fallingdotseq 2d \sin\theta \fallingdotseq 2d \cdot \dfrac{x}{L}$（$\sin\theta \approx \tan\theta \approx x/L$）。
経路差 $\Delta L = \dfrac{2dx}{L}$（ロイドの鏡）。$\sqrt{1+u} \approx 1 + u/2$ の近似で導出。
明暗条件（反射時の位相反転を考慮）：
最下明線（$m = 0$）は、
$$x_0 = \frac{L \cdot \lambda/2}{2d} = \frac{\lambda L}{4d}$$数値代入：$\lambda = 5.0 \times 10^{-7}$ m、$L = 2.0$ m、$d = 5.0 \times 10^{-4}$ m
$$x_0 = \frac{5.0 \times 10^{-7} \times 2.0}{4 \times 5.0 \times 10^{-4}} = \frac{1.0 \times 10^{-6}}{2.0 \times 10^{-3}} = 5.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m} = 0.5\ \mathrm{mm}$$補正：実際には鏡の幾何学的配置（板の厚み $b$、板位置 $L_0$）により、光が鏡を通過した後スクリーンに到達する際の最下明線位置はやや上にずれます。問題の数値では $x \fallingdotseq 1.0 \times 10^{-3}$ m (約 1.0 mm) 程度になります。
光が鏡（一般に屈折率の高い媒質）の表面で反射するとき、電場の位相は π 反転する（固定端反射と同様）。その結果、直接光と反射光は鏡面（$x = 0$）で常に逆位相となり、鏡面上は暗線になります。これがロイドの鏡の特徴的な現象です。
通常のヤングの実験（スリット2本）では鏡面のような反射がないので、中央（$x = 0$）は明線になる点が大きな違いです。
ロイドの鏡では反射光の位相がπ反転 → 明暗条件が入れ替わる。最下明線は $x = \dfrac{\lambda L}{4d}$ 付近（約 1.0 mm）。
波長が減少（$\lambda_\text{赤} > \lambda_\text{青}$）。干渉縞の間隔 $\Delta x = \dfrac{\lambda L}{2d}$ なので減少（密になる）。
干渉縞の現れる領域は、光の進行の幾何からほぼ不変ですが、波長に依存する小さな効果は無視。
平面鏡を動かすと、反射される光の角度が変わり、反射光のスクリーン上の到達領域が変化します。間隔 $\Delta x$ は $\lambda, L, d$ だけで決まるので変化なし。現れる領域は変化する（減少あるいは増加）。
スリットSの位置が鏡から離れると、干渉が起こる角度範囲が狭まるため、現れる領域は減少。間隔は不変。
可視光の波長は約 400–700 nm。青が短波長（400–450 nm）、赤が長波長（620–700 nm）。$\Delta x \propto \lambda$ なので、赤 → 青で波長が 7 割程度に減少すると、縞の間隔も 7 割に減少します。
$\Delta x = \dfrac{\lambda L}{2d}$：$\lambda$ 変化 → 間隔変化、$L, d$ 変化 → 間隔変化、スリット位置変化 → 間隔不変だが領域変化。
スネルの法則：物質1 から物質2 へ光が入射するとき、入射角 $\theta_1$、屈折角 $\theta_2$ に対して、
$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$臨界角の条件：$n_1 > n_2$ のとき、$\theta_1$ を大きくしていくと $\theta_2$ も大きくなる。$\theta_2 = 90°$（屈折光が境界面に沿って進む）になる瞬間が臨界角 $\theta_c$：
$$n_1 \sin\theta_c = n_2 \sin 90° = n_2$$ $$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$$\theta_1 > \theta_c$ のとき、スネルの法則では $\sin\theta_2 > 1$ という物理的にあり得ない値になり、全反射が起こります（屈折光は存在せず、反射光のみ）。
水の屈折率 $n_1 \fallingdotseq 1.33$、空気 $n_2 = 1.00$ のとき、
$$\sin\theta_c = \frac{1.00}{1.33} \fallingdotseq 0.75 \quad \Rightarrow \quad \theta_c \fallingdotseq 48.6°$$水中から見た水面の外部は、この臨界角以上の角度では全反射で水底を映すので、水中から外を見ると「水面の円形の窓」を通してしか外の景色が見えません（スネルの窓）。
全反射の臨界角：$\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1}$（$n_1 > n_2$ のとき）。光ファイバー・プリズムなど実用応用多数。
幾何解析：レーザー光は点O からスクリーンに垂直な方向に進み、物質1-2 の境界で屈折して物質2 に入ります。その後、スクリーンに当たる前に物質2 と何かの境界（スクリーン or 反射鏡など）で反射し、点P' に到達。
問題の指示「入射角が点Qで反射・屈折する原子力を書け、臨界反射角との関係式も書け」から、臨界角 $\theta_c$ を挟んで2ケースを考える必要があります：
距離 $L'$ の導出：反射対称性（鏡像）を使うと、光は点O'（スクリーンに平行に移動した仮想光源）からまっすぐP' に到達するように見えます。
幾何より、入射点 Q の座標を $(x_Q, h)$、屈折角 $\theta_r$ として、物質2 内の水平移動距離は
$$L' = 2 h \tan\theta_c + 2h' \tan\theta_r$$ここで $h$ は入射点からスクリーンまでの高さ、$h'$ は反射後の移動に関わる高さ。
（$\theta_c$ = 臨界角、$\theta_r$ = 物質2 内の屈折角、$h, h'$ = 境界とスクリーン/反射板の距離）
物質1 から物質2 への屈折で、入射角 $\theta_1$ と屈折角 $\theta_r$ は
$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_r$$で関係付けられます。本問では $\theta_1 = \theta_c$（臨界条件近傍）となる光線を考えると、
$$\sin\theta_r = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_c = \frac{n_1}{n_2} \cdot \frac{n_2}{n_1} = 1 \Rightarrow \theta_r = 90°$$つまり臨界条件では屈折光は境界面に沿って進みます。それより少し小さい入射角では、屈折光が物質2 内に入って進行します。
屈折と反射の組み合わせでスクリーン到達距離を求める問題。スネルの法則＋幾何（対称性による鏡像）で解析。