解法の指針

鉛直なばねに載せた円盤・おもりの系を題材に、力のつり合い・自由落下・完全非弾性衝突・単振動を順に追っていく総合問題です。質量が途中で変わる（粘土の合体、おもりの分離）たびに「ばね定数 $k$ は不変・つり合い位置（＝単振動の中心）は質量で変わる」ことを使い分けるのがカギです。

問題の構成

• 設問(1)：おもりを載せて静止したときの力のつり合いから、ばね定数 $k$ を求める
• 設問(2)：高さから自由落下した2つの粘土と円盤の完全非弾性衝突（運動量保存）
• 設問(3)：円盤・おもり・粘土を一体とした単振動の運動方程式と中心位置
• 設問(4)：最も縮んだ位置で固定を外し、おもりが分離する瞬間の速さ（単振動のエネルギー）
• 設問(5)：おもり分離後（質量が減った系）の周期・新しい中心位置・振幅の比較

設問(1)

設定：おもり（質量 $m$）を載せた円盤が、ばねが自然長から $d$ だけ縮んだ位置で静止しています。円盤・ばね・とめ具の質量は無視できるので、つり合いを考える物体はおもり（質量 $m$）だけです。

立式：おもりにはたらく力は、下向きの重力 $mg$ と、上向きのばねの弾性力です。ばねは $d$ だけ縮んでいるので、フックの法則より弾性力は $kd$（上向き）。力のつり合いより、

$$kd = mg$$

計算：$k$ について解きます。

$$k = \frac{mg}{d}$$

具体例：数値を代入して確認

例えば $m = 0.20$ kg, $d = 0.049$ m, $g = 9.8$ m/s² とすると、

$$k = \frac{0.20 \times 9.8}{0.049} = \frac{1.96}{0.049} = 40 \text{ N/m}$$

ばねが $1$ m 縮むと $40$ N で押し返す、という強さです。この後の設問でも $k=mg/d$ を代入して文字をそろえると見通しがよくなります。

設問(2)

設定：2つの粘土（各質量 $\dfrac{m}{2}$）は、点 P を含む水平面（O から高さ $h$）の、P に対して点対称な位置から静かに（初速 $0$ で）放されます。水平成分は左右対称で打ち消し合うため、考えるべきは鉛直方向だけです。円盤はおもりとともに $y=-d$（O から下に $d$）で静止しています。

① 衝突直前の粘土の速さ（自由落下）：粘土の落下距離は、水平面（高さ $h$）から円盤の位置（$-d$）までなので $h+d$ です。初速 $0$ の自由落下より、衝突直前の速さを $u$ とすると、

$$u^2 = 2g(h+d) \quad\Rightarrow\quad u = \sqrt{2g(h+d)}\ \text{（下向き）}$$

② 完全非弾性衝突（運動量保存）：2つの粘土の合計質量は $\dfrac{m}{2}+\dfrac{m}{2}=m$。これが、静止している円盤＋おもり（質量 $m$）と一体になります。鉛直下向きを正として運動量保存則を立てると、

$$m \cdot u + m \cdot 0 = (m + m)\,V_1$$

計算：$V_1$ について解き、$u=\sqrt{2g(h+d)}$ を代入します。

$$V_1 = \frac{m\,u}{2m} = \frac{u}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2g(h+d)}$$

補足：なぜ水平方向を考えなくてよいのか

2つの粘土は P に対して点対称な位置から落ちるので、自由落下中の水平速度は常に $0$（初速 $0$・水平外力なし）。仮に水平成分があっても、左右で大きさが等しく向きが逆なので、合体すると水平方向の運動量はちょうど打ち消し合います。よって衝突は鉛直方向だけの1次元問題として扱えます。

具体例：数値を代入して確認

$g = 9.8$ m/s², $h = 0.40$ m, $d = 0.10$ m とすると、落下距離は $h+d = 0.50$ m なので、

$$u = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.50} = \sqrt{9.8} \fallingdotseq 3.1 \text{ m/s}$$ $$V_1 = \frac{3.1}{2} \fallingdotseq 1.6 \text{ m/s}$$

合体で質量が2倍になるので、速さはちょうど半分になります。

設問(3)

設定：衝突後、円盤・おもり・2つの粘土が一体（合計質量 $m + m = 2m$）となって運動します。円盤の座標を $y$、上向きの加速度を $a$ とします。

運動方程式の立式：一体の物体（質量 $2m$）にはたらく力は、
・ばねの弾性力：基準（自然長 $y=0$）からのずれ $y$ に対して $-ky$（$y>0$ なら下向き、$y<0$ なら上向きの復元力）
・重力：$-2mg$（下向き）
上向きを正とすると、運動方程式は、

$$2m\,a = -ky - 2mg$$

振動の中心 $y_{\mathrm a}$：単振動の中心は加速度 $a=0$（＝力のつり合い）となる位置です。$a=0$ を代入して、

$$0 = -k\,y_{\mathrm a} - 2mg \quad\Rightarrow\quad y_{\mathrm a} = -\frac{2mg}{k}$$

ここで設問(1)の $k = \dfrac{mg}{d}$ を代入します。

$$y_{\mathrm a} = -\frac{2mg}{\,mg/d\,} = -2d$$

補足：運動方程式が単振動の形であることの確認

中心からのずれを $Y = y - y_{\mathrm a} = y + 2d$ とおくと、$y = Y - 2d$ を運動方程式に代入して、

$$2m\,a = -k(Y - 2d) - 2mg = -kY + 2kd - 2mg$$

$kd = mg$（設問(1)）より $2kd - 2mg = 0$ となり、

$$2m\,a = -kY \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{k}{2m}\,Y$$

「加速度 ＝ $-(\text{正の定数}) \times (\text{中心からのずれ})$」の形なので、角振動数 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{2m}}$ の単振動だと確認できます。

設問(4)

設定の整理：設問(3)の単振動は、中心 $y_{\mathrm a}=-2d$、角振動数 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{2m}}$ です。$k=\dfrac{mg}{d}$ を代入すると、

$$\omega^2 = \frac{k}{2m} = \frac{mg/d}{2m} = \frac{g}{2d}$$

振幅 $A$ を求める：衝突直後、円盤は位置 $y=-d$（中心から $+d$ だけ上）にあり、速さ $V_1=\dfrac{1}{2}\sqrt{2g(h+d)}$ で動いていました。単振動のエネルギー関係（速度と位置の関係） $$V_1^2 = \omega^2\bigl(A^2 - x_0^2\bigr),\qquad x_0 = (-d) - (-2d) = d$$ を使うと、

$$A^2 = x_0^2 + \frac{V_1^2}{\omega^2} = d^2 + \frac{\tfrac{1}{4}\cdot 2g(h+d)}{\,g/(2d)\,} = d^2 + \frac{g(h+d)/2 \cdot 2d}{g} = d^2 + d(h+d)$$ $$A^2 = 2d^2 + dh = d(2d + h)$$

分離する瞬間の速さ $V_2$：とめ具を外すのは「最も縮んだ瞬間（最下点・速さ $0$）」。その後も一体（質量 $2m$）のまま上昇します。おもりが円盤から離れるのは、円盤がおもりを押す垂直抗力 $N$ が $0$ になる瞬間です。おもり（質量 $m$）の運動方程式 $ma = N - mg$ で $N=0$ とすると $a=-g$、これを系の運動方程式 $2ma = -ky - 2mg$ に入れると、

$$2m(-g) = -ky - 2mg \quad\Rightarrow\quad -ky = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0$$

つまり分離はばねが自然長になる位置 $y=0$で起こります（問題文の記述とも一致）。$y=0$ は中心から $x_1 = 0-(-2d)=2d$ の位置なので、再び速度と位置の関係を使うと、

$$V_2^2 = \omega^2\bigl(A^2 - x_1^2\bigr) = \frac{g}{2d}\Bigl(d(2d+h) - (2d)^2\Bigr) = \frac{g}{2d}\bigl(2d^2 + dh - 4d^2\bigr)$$ $$= \frac{g}{2d}\bigl(dh - 2d^2\bigr) = \frac{g}{2d}\cdot d(h - 2d) = \frac{g(h-2d)}{2}$$

別解：エネルギー保存で V₂ を求める

最下点（速さ $0$）から分離点 $y=0$ までを、質量 $2m$ の物体について力学的エネルギー保存で追います。最下点の座標は $y_{\min}=y_{\mathrm a}-A=-2d-\sqrt{d(2d+h)}$。ばねの弾性エネルギーは自然長基準で $\dfrac{1}{2}ky^2$、重力の位置エネルギーは $2mgy$ なので、

$$\frac{1}{2}k\,y_{\min}^2 + 2mg\,y_{\min} = \frac{1}{2}k\cdot 0^2 + 2mg\cdot 0 + \frac{1}{2}(2m)V_2^2$$

左辺を $k=mg/d$ で整理すると（途中計算は省略）、右辺の運動エネルギーが

$$\frac{1}{2}(2m)V_2^2 = \frac{1}{2}m g(h-2d)\quad\Rightarrow\quad V_2 = \sqrt{\frac{g(h-2d)}{2}}$$

となり、単振動の式で求めた結果と一致します。

補足：V₂ が実数になる条件

$V_2$ が実数（分離が実際に起こる）には $h - 2d > 0$、すなわち $h > 2d$ が必要です。これは「最下点で外したあとの単振動が、自然長 $y=0$ まで届く」ための条件にあたります。$h$ が小さいと振幅が足りず、自然長に達する前に折り返してしまいます。

設問(5)

設定：おもり（質量 $m$）が $y=0$ で分離した後、ばねの上に残るのは円盤＋2つの粘土（合計質量 $m$）です。この系が新たに単振動を続けます。

(a) 周期 $T$：ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ をつけた単振動の周期は $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$。$k=\dfrac{mg}{d}$ を代入します。

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\,mg/d\,}} = 2\pi\sqrt{\frac{d}{g}}$$

(b) 新しい中心位置 $y_{\mathrm b}$：質量 $m$ でのつり合い位置が新しい振動中心です。つり合いの式 $-k\,y_{\mathrm b} - mg = 0$ より、

$$y_{\mathrm b} = -\frac{mg}{k} = -\frac{mg}{\,mg/d\,} = -d$$

(c) 振幅の比較：分離の瞬間、系は位置 $y=0$（新しい中心 $y_{\mathrm b}=-d$ から $x_1'=0-(-d)=d$）にあり、速さ $V_2=\sqrt{\dfrac{g(h-2d)}{2}}$ で上向きに動いています。新しい角振動数は $\omega'^2=\dfrac{k}{m}=\dfrac{g}{d}$。新しい振幅 $A'$ は、

$$A'^2 = x_1'^2 + \frac{V_2^2}{\omega'^2} = d^2 + \frac{\,g(h-2d)/2\,}{\,g/d\,} = d^2 + \frac{d(h-2d)}{2} = d^2 + \frac{dh}{2} - d^2 = \frac{dh}{2}$$ $$A' = \sqrt{\frac{dh}{2}}$$

分離前（設問(4)）の振幅は $A=\sqrt{d(2d+h)}=\sqrt{2d^2+dh}$ でした。$A'^2=\dfrac{dh}{2}$ と $A^2=2d^2+dh$ を比べると、

$$A'^2 = \frac{dh}{2} \;<\; 2d^2 + dh = A^2 \quad\Rightarrow\quad A' < A$$

よって分離後の振幅は分離前よりも小さくなります。

	分離前（質量 2m）	分離後（質量 m）
中心	$-2d$	$-d$（上がる）
角振動数 $\omega$	$\sqrt{g/2d}$	$\sqrt{g/d}$（大きい）
周期 $T$	$2\pi\sqrt{2d/g}$	$2\pi\sqrt{d/g}$（短い）
振幅	$\sqrt{d(2d+h)}$	$\sqrt{dh/2}$（小さい）

補足：なぜ振幅が小さくなるのか（直感）

おもりが抜けるのは $y=0$（自然長）を通過する瞬間です。このとき系は中心 $-d$ から $d$ だけ離れた位置にあり、まだそれなりの速さ $V_2$ を持っています。しかし質量が半分になると同じ速さでも「行き過ぎる量」が変わり、エネルギーのつり合いが変わります。実際に計算すると新振幅は $\sqrt{dh/2}$ となり、分離前の $\sqrt{2d^2+dh}$ より必ず小さくなります（差は $2d^2 + \dfrac{dh}{2} > 0$）。「重さが減ったぶん、ばねを押し縮める力が弱まり、揺れ幅も抑えられる」とイメージできます。