平行板コンデンサーに厚さ $d$ の誘電体を挿入した状況を扱う。極板 A, B の間に誘電率 $\varepsilon_0$ の空間と誘電率 $\varepsilon_1$ の誘電体がある。誘電体の表面に現れる分極電荷、コンデンサー容量の変化、極板電荷の時間変化などを段階的に問う総合問題です。
考え方：極板 A（正電荷 +Q）から極板 B（負電荷 −Q）へ向かって電場が下向きにかかる。この電場の中に誘電体を置くと、誘電体内の分子が分極する。
分極の向きは、外部電場に対して誘電体内の正電荷が電場の向きに、負電荷が逆向きに微小変位する。その結果：
これらは「分極電荷」と呼ばれる。外部電場を打ち消す向きに分極電場 $E_p$ が発生する。誘電体内部の実効電場は：
$$E_{内} = \frac{E_0}{\varepsilon_r} = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1} E_0$$ここで $\varepsilon_r = \varepsilon_1/\varepsilon_0$ は比誘電率、$E_0$ は真空中の電場。
ガウスの法則より、真空の極板電荷 $Q$ が作る電場は $E_0 = Q/(\varepsilon_0 a^2)$。
誘電体内部の電場が $E_1 = E_0 \cdot \varepsilon_0/\varepsilon_1$ となるのは、分極電荷が実効電荷を $Q(\varepsilon_0/\varepsilon_1)$ まで弱めるから。この分極電荷の大きさは：
$$Q' = Q\left(1 - \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1}\right) = Q \cdot \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_0}{\varepsilon_1}$$$\varepsilon_1 \gg \varepsilon_0$ なら $Q' \fallingdotseq Q$（極板電荷がほぼ完全に打ち消される）。これが静電遮蔽の原理。
誘電体の分極電荷は「境界面に現れる表面電荷」として扱う。誘電体内部には電荷は発生しない（中性が保たれる）。この表面電荷こそが電場を弱める実効メカニズム。
考え方：図 3 のように、元のコンデンサーは「真空部分」と「誘電体部分」の 2 つの独立コンデンサーの直列接続として考えられる。
各部分の厚さは元の半分（$d$）、極板面積は $a^2$（同じ）。平行板コンデンサーの容量公式：
$$C = \frac{\varepsilon a^2}{d'}$$$C_A$（真空部分）：厚さ $d$、誘電率 $\varepsilon_0$：
$$C_A = \frac{\varepsilon_0 a^2}{d}$$$C_B$（誘電体部分）：厚さ $d$、誘電率 $\varepsilon_1$：
$$C_B = \frac{\varepsilon_1 a^2}{d}$$直列接続の合成容量は：
$$\frac{1}{C_{合}} = \frac{1}{C_A} + \frac{1}{C_B} = \frac{d}{\varepsilon_0 a^2} + \frac{d}{\varepsilon_1 a^2} = \frac{d(\varepsilon_1 + \varepsilon_0)}{\varepsilon_0 \varepsilon_1 a^2}$$ $$C_{合} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 a^2}{d(\varepsilon_0 + \varepsilon_1)}$$$\varepsilon_1 = \varepsilon_0$（真空と同じ）なら $C_{合} = \varepsilon_0 a^2/(2d)$ となり、元のギャップ $2d$ のコンデンサーと一致する（検算 OK）。
誘電体を部分的に挿入するパターンでは、必ず直列（厚さ方向に分割）か並列（面積方向に分割）のどちらで分解するかを見極める。本問は厚さ方向なので直列。$C_A$ と $C_B$ の合成容量は小さい方に引きずられる。
考え方：直列接続された 2 つのコンデンサーには同じ電荷が流れる：$Q_A = Q_B \equiv Q$。これは直列回路の電流が同じであること（＝流れた電荷が同じ）から導かれる。
立式：合成容量 $C_{合}$ と起電力 $V_0$（または電池の $E$）の関係：
$$Q = C_{合} V_0 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_1 a^2}{d(\varepsilon_0 + \varepsilon_1)} \cdot V_0$$ただし、問題文では「極板間隔は $2d$」で上下それぞれ $d$ ずつなので、元のコンデンサー全体での合成容量になる。図 1 の元の構造は間隔 $2d$ の真空、図 2, 3 は同じ間隔を半分ずつに分けた状況。整理すると：
もし誘電体が導体（$\varepsilon_1 \to \infty$）なら、$\varepsilon_1/(\varepsilon_0 + \varepsilon_1) \to 1$。
$$Q \to \frac{\varepsilon_0 a^2 V_0}{d}$$これは厚さ $d$ の真空コンデンサーそのもの。導体を挿入すると実効間隔が半分になった結果。
$\varepsilon_1 \to \varepsilon_0$（真空と同じ）なら $Q \to \varepsilon_0 a^2 V_0/(2d)$、元の真空コンデンサー（間隔 $2d$）と一致（検算）。
誘電体を挿入すると実効的な静電容量が増加し、同じ電圧でより多くの電荷を蓄えられる。これがコンデンサー設計で誘電体を使う理由（セラミックコンデンサーの比誘電率は 1000 以上！）。
考え方：極板 A を横方向に動かすと、極板 A と極板 B の重なり面積が変化する。元の面積は $a^2$、極板 A を $x$ だけずらすと重なり面積は $a(a - |x|)$ となる（$|x| \leq a$）。
コンデンサーの容量は面積に比例：
$$C(x) = \frac{\varepsilon \cdot a(a - |x|)}{d}$$直列接続の合成容量も同様に、$(a - |x|)/a$ 倍になる。
電池に接続されているので電圧は一定 $V_0$。したがって電荷：
$$Q_A(t) = C(x(t)) \cdot V_0 = Q_0 \left(1 - \frac{|x(t)|}{a}\right)$$ここで $Q_0 = C_{合}(x=0) V_0$ は重なり最大のときの電荷。
$x(t)$ が三角波（$0 \to a \to 0 \to -a \to 0$）なら、$|x(t)|$ も三角波（$0 \to a \to 0 \to a \to 0$）で、$Q_A(t)$ は逆三角波。$t = 0, T/2, T$ で $Q_0$（最大）、$t = T/4, 3T/4$ で $0$（最小）。
$Q_A(t)$ の各線分の傾き（$dQ/dt$）は $\pm (Q_0 / a) \cdot (dx/dt)$ に比例。三角波 $x(t)$ の傾きは $\pm 4a/T$ なので、$dQ/dt$ も一定値が半周期ごとに切り替わる：
$$\left|\frac{dQ_A}{dt}\right| = \frac{Q_0}{a} \cdot \frac{4a}{T} = \frac{4 Q_0}{T}$$この $dQ_A/dt$ が電流 $I$ そのもの（設問(5) の内容）。
電池接続のまま容量を変えると、電荷が自動的に調整される（電荷保存 ＋ 電圧一定）。これが可変コンデンサー（ラジオの同調回路など）の動作原理。
立式：電流は電荷の時間微分：
$$I(t) = \frac{dQ_A}{dt}$$$Q_A(t)$ が三角波なので、その微分は方形波（矩形波）。各半区間で $I$ は一定値となり、符号は $x(t)$ の時間変化の向きに応じて切り替わる。
計算：$x(t)$ が期間 $T$ で $+a \leftrightarrow -a$ を往復する三角波。最大速度は $|dx/dt| = 4a/T$。容量の変化率 $dC/dt = -(C_0/a)|dx/dt|$（極板がずれると $C$ が減る）。
電流の大きさ：
$$|I| = \left|\frac{dQ_A}{dt}\right| = V_0 \left|\frac{dC}{dt}\right| = V_0 \cdot \frac{C_0}{a} \cdot \frac{4a}{T} = \frac{4 C_0 V_0}{T} = \frac{4 Q_0}{T}$$符号は：
$I > 0$ は極板 A に電荷が流入、$I < 0$ は流出を意味する。
$x$ が原点に近づくとき（$|x|$ 減少）：重なり面積増加 → 容量増加 → 電荷が必要（流入） → $I > 0$
$x$ が原点から離れるとき（$|x|$ 増加）：重なり面積減少 → 容量減少 → 電荷が過剰（流出） → $I < 0$
電池接続のコンデンサーで面積を変化させると、面積の時間変化率に比例した電流が流れる。これがキャパシタンスマイクロホン（動くダイアフラムで電流信号を生成）の原理。
例として、極板の一辺 $a = 0.10\ \text{m}$、距離 $d = 2.0\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}$、真空の誘電率 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F/m}$ の場合、$C_A$ は：
$$C_A = \frac{\varepsilon_0 a^2}{d} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times (0.10)^2}{2.0 \times 10^{-3}} = 4.43 \times 10^{-11}\ \text{F} \fallingdotseq 44\ \text{pF}$$比誘電率 $\varepsilon_r = \varepsilon_1/\varepsilon_0 = 2.5$（例：紙・プラスチック）なら、$C_B = 2.5 \times C_A \fallingdotseq 110\ \text{pF}$。電源電圧 $V_0 = 10\ \text{V}$ なら、直列合成容量は：
$$C = \frac{C_A C_B}{C_A + C_B} = \frac{44 \times 110}{44 + 110} \fallingdotseq 31\ \text{pF}$$蓄えられる電荷は：
$$Q = C V_0 = 31 \times 10^{-12} \times 10 = 3.1 \times 10^{-10}\ \text{C}$$