シリンダー内の単原子分子理想気体を、ヒーターでゆっくり加熱する熱力学の総合問題です。最大のポイントは、ピストンに外から加わる力 $f = f_0 - aSx$ がピストンの位置によって変化すること。これにより気体の圧力も体積とともに変化し、$p$-$V$ 図が「右下がりの直線」になります。
ピストンは質量が無視でき、摩擦なく動きます。気体は右向きにピストンを押し（力 $pS$）、外力は左向きに $f = f_0 - aSx$ で押します。力のつり合いより、ピストン位置 $x$ における気体の圧力 $p$ は
$$pS = f_0 - aSx \quad\Rightarrow\quad p = \frac{f_0}{S} - ax$$状態A（$x=0$）で $p = p_0$ なので $\dfrac{f_0}{S} = p_0$、すなわち $f_0 = p_0 S$。したがって
$$\boxed{\;p = p_0 - ax\;}$$また、ピストンが $x$ だけ右に動くと体積は断面積 $S$ ぶん増えるので、$V = V_0 + Sx$、逆に解くと $x = \dfrac{V - V_0}{S}$。この2つの関係式を全問で使います。
| 状態 | 位置 | 圧力 | 体積 | 温度 |
|---|---|---|---|---|
| A | $x = 0$ | $p_0$ | $V_0$ | $T_0$ |
| B | $x = x_1$ | $p_1$ | $V_1\,(>V_0)$ | $T_1$ |
立式：ピストンは質量が無視でき摩擦なく動くので、つねに力のつり合いが成り立ちます。気体が右向きにピストンを押す力 $pS$ と、外から左向きに加わる力 $f = f_0 - aSx$ が等しいので、位置 $x$ での圧力は
$$pS = f_0 - aSx \quad\Rightarrow\quad p = p_0 - ax \qquad(f_0 = p_0 S \text{ を使用})$$状態Bの位置 $x_1$：体積の関係 $V = V_0 + Sx$ より $x_1$ を $V_0,\,V_1$ で表します。
$$V_1 = V_0 + S x_1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{V_1 - V_0}{S}$$代入：$p_1 = p_0 - a x_1$ にこれを代入します。
$$p_1 = p_0 - a\cdot\frac{V_1 - V_0}{S}$$状態Aではピストンが $x=0$ で静止しています。このときの圧力は問題文より $p_0$。力のつり合い $p_0 S = f_0 - aS\cdot 0 = f_0$ から、ただちに $f_0 = p_0 S$ が得られます。これを使うと $\dfrac{f_0}{S} = p_0$ となり、圧力の式が $p = p_0 - ax$ ときれいに書けます。
「質量を無視できるピストン ＝ 常に力のつり合い」が圧力を決めるカギ。気体が押す力 $pS$ と外力 $f$ を等号で結ぶ。$V_1 > V_0$ なので $p_1 < p_0$（圧力は下がる）。
立式：設問(1)の途中で得た2式
$$p = p_0 - ax,\qquad V = V_0 + Sx$$から、$x$ を消去して $p$ を $V$ の関数で表します。下の式を $x$ について解いて代入します。
$$x = \frac{V - V_0}{S} \quad\Rightarrow\quad p = p_0 - \frac{a}{S}(V - V_0)$$判断：この式は $p$ について $V$ の1次式で、傾きは $-\dfrac{a}{S} < 0$（$a>0,\,S>0$）。つまり傾きが負の直線です。点A $(V_0,\,p_0)$ を通り、$V$ が増えると $p$ が減るので、A から右下へ向かう直線になります。
(a) 等圧変化（水平線）：圧力一定 $p=p_0$ なら正しいが、本問は外力が変化するため圧力も変わる。誤り。
(b) 等温変化 $pV=$ 一定：温度が一定なら反比例の曲線だが、本問は加熱して温度が変わる（しかも一定でない）。誤り。
(d) 断熱変化 $pV^{5/3}=$ 一定：熱の出入りがない場合の曲線。本問はヒーターで熱 $Q$ を加えているので断熱ではない。誤り。
残るのは(c) の直線。$p$-$V$ 関係が「直線」になるのは、外力が位置の1次関数 $f=f_0-aSx$ だからです。
圧力 $p$ が体積 $V$ の1次式 ⇔ $p$-$V$ 図が直線。曲線（反比例・断熱）と即断せず、まず $x$ を消して $p$ と $V$ の関係式を作るのが定石。
解答欄について：解答用紙の $p$-$V$ 図には、状態Bを表す点（$V_1$ で直線上の点、$p$ 座標は $p_1$）を明記し、A から B までの直線と $V$ 軸の間の領域を線で囲んで斜線をつけます。上のシミュレーションで青く塗られた台形がその領域です。
立式：気体がした仕事 $W$ は $p$-$V$ 図の面積。直線なので、上底 $p_1$、下底 $p_0$、高さ（横幅）$(V_1 - V_0)$ の台形の面積として求まります。
$$W = \frac{1}{2}\,(\text{上底} + \text{下底})\times(\text{高さ}) = \frac{1}{2}(p_0 + p_1)(V_1 - V_0)$$$p_1 = p_0 - \dfrac{a}{S}(V_1 - V_0)$ を代入すると、$p_0,\,a,\,S,\,V_0,\,V_1$ だけで書けます。
$$W = \frac{1}{2}\left[\,p_0 + p_0 - \frac{a}{S}(V_1 - V_0)\,\right](V_1 - V_0)$$ $$= \frac{1}{2}\left[\,2p_0 - \frac{a}{S}(V_1 - V_0)\,\right](V_1 - V_0) = \left[\,p_0 - \frac{a}{2S}(V_1 - V_0)\,\right](V_1 - V_0)$$ただし設問では「$p_0,\,p_1,\,V_0,\,V_1$ で表せ」とあるので、台形の形 $W=\frac12(p_0+p_1)(V_1-V_0)$ が最終解答として最も簡潔です。
文字式だけだとイメージしにくいので、具体例として次の代表値で仕事 $W$ を計算してみましょう。
（具体例として）$p_0 = 1.0\times10^{5}$ Pa、$V_0 = 1.0\times10^{-3}$ m³、$V_1 = 2.0\times10^{-3}$ m³、$\dfrac{a}{S} = 4.0\times10^{7}$ Pa/m³ とします。
① まず状態Bの圧力 $p_1$：設問(1)の $p_1 = p_0 - \dfrac{a}{S}(V_1 - V_0)$ に代入します。
$$p_1 = 1.0\times10^{5} - 4.0\times10^{7}\times(2.0\times10^{-3} - 1.0\times10^{-3})$$ $$p_1 = 1.0\times10^{5} - 4.0\times10^{7}\times1.0\times10^{-3} = 1.0\times10^{5} - 4.0\times10^{4} = 6.0\times10^{4}\ \text{Pa}$$$V_1 > V_0$ なので $p_1 < p_0$ となり、確かに圧力が下がっていることが確認できます。
② 仕事 $W$（台形の面積）：$W = \dfrac{1}{2}(p_0 + p_1)(V_1 - V_0)$ に代入します。
$$W = \frac{1}{2}\times(1.0\times10^{5} + 6.0\times10^{4})\times(2.0\times10^{-3} - 1.0\times10^{-3})$$ $$W = \frac{1}{2}\times1.6\times10^{5}\ \text{Pa}\times1.0\times10^{-3}\ \text{m}^3 = 80\ \text{J}$$このように、与えられた量に数値を入れると気体がした仕事は $W \fallingdotseq 80$ J と求まります。圧力の単位 Pa（＝N/m²）と体積の単位 m³ をかけると $\text{N}\cdot\text{m} = \text{J}$ になり、仕事の単位が正しく出てくることも確認できます。
仕事の定義 $W = \displaystyle\int_{V_0}^{V_1} p\,dV$ に $p = p_0 - \dfrac{a}{S}(V - V_0)$ を代入します。
$$W = \int_{V_0}^{V_1}\left[\,p_0 - \frac{a}{S}(V - V_0)\,\right]dV = p_0(V_1 - V_0) - \frac{a}{2S}(V_1 - V_0)^2$$これは台形の面積 $\frac12(p_0+p_1)(V_1-V_0)$ と一致します（$p_1=p_0-\frac{a}{S}(V_1-V_0)$ を代入すれば同じ）。
気体がした仕事 ＝ $p$-$V$ 図の面積。グラフが直線なら台形公式 $\frac12(\text{上底}+\text{下底})\times\text{高さ}$ で一発。等圧（長方形）と混同しないこと。
立式：熱力学第一法則「加えた熱 ＝ 内部エネルギーの増加 ＋ 気体が外部にした仕事」を使います。
$$Q = \Delta U + W$$内部エネルギーの増加 $\Delta U$：単原子分子理想気体の内部エネルギーは $U = \dfrac{3}{2}nRT$。状態Aから状態Bへの増加は、
$$\Delta U = \frac{3}{2}nR T_1 - \frac{3}{2}nR T_0 = \frac{3}{2}nR(T_1 - T_0)$$代入：これを第一法則に入れます。設問では $Q$ を $W,\,T_0,\,T_1,\,n,\,R$ で表すので、$W$ はそのまま残します。
$$Q = \frac{3}{2}nR(T_1 - T_0) + W$$熱力学第一法則は流儀によって符号が変わります。本問の $W$ は「気体が外部（ピストン）にした仕事」（設問(3)で正の値）なので、$Q = \Delta U + W$ の形が正しいです。もし「気体がされた仕事 $W'=-W$」で書くなら $\Delta U = Q + W'$ となります。どちらを使っているか常に確認しましょう。
単原子分子の内部エネルギーは $U=\frac32 nRT$（定積モル比熱 $C_V=\frac32 R$）。第一法則 $Q=\Delta U+W$ に、$\Delta U$ だけを温度で書いて代入する。
使う関係式（明示）：導出には次の3式を用います。
導出：2つの状態方程式を辺々引くと、温度差が圧力・体積で表せます。
$$nR T_1 - nR T_0 = p_1 V_1 - p_0 V_0 \quad\Rightarrow\quad T_1 - T_0 = \frac{1}{nR}\bigl(p_1 V_1 - p_0 V_0\bigr)$$ここに $p_1 = p_0 - \dfrac{a}{S}(V_1 - V_0)$ を代入します。
$$p_1 V_1 - p_0 V_0 = \left[\,p_0 - \frac{a}{S}(V_1 - V_0)\,\right]V_1 - p_0 V_0$$$p_0 V_1 - p_0 V_0 = p_0(V_1 - V_0)$ にまとめると、共通因数 $(V_1 - V_0)$ がくくり出せます。
$$p_1 V_1 - p_0 V_0 = p_0(V_1 - V_0) - \frac{a}{S}(V_1 - V_0)\,V_1 = \left(p_0 - \frac{a}{S}V_1\right)(V_1 - V_0)$$したがって、
$p_1V_1 - p_0V_0$ を展開してから $(V_1-V_0)$ でくくるのがポイント。$p_0V_1 - p_0V_0 = p_0(V_1-V_0)$ と、$-\frac{a}{S}(V_1-V_0)V_1$ の両方に $(V_1-V_0)$ が含まれるので、$\left(p_0 - \frac{a}{S}V_1\right)(V_1-V_0)$ にまとまります。展開ミスを防ぐため、$p_0V_0$ をすぐ引くのを忘れないこと。
温度差は「2状態の状態方程式の引き算」で作る。$nR(T_1-T_0)=p_1V_1-p_0V_0$。あとは $p_1$ を代入して $(V_1-V_0)$ でくくるだけ。導出に使う関係式を答案に明記すること。
状況の確認：設問(5)より $T_1 - T_0 = \dfrac{1}{nR}\left(p_0 - \dfrac{a}{S}V_1\right)(V_1 - V_0)$。$V_1 - V_0 > 0$ なので、$V_1 > \dfrac{S}{a}p_0$ のときは $\left(p_0 - \dfrac{a}{S}V_1\right) < 0$ となり、右辺全体が負、すなわち $T_1 < T_0$（降温）になります。
理由の説明：熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W$ を変形すると $\Delta U = Q - W$。膨張が大きいと気体がピストンにする仕事 $W$ が非常に大きくなり、加えた熱 $Q$ を上回ります。すると $\Delta U = Q - W < 0$、つまり内部エネルギーが減少し、温度が下がります。
熱を加えずに気体を急膨張させると温度が下がる現象（断熱膨張）は、スプレー缶を使うと缶が冷たくなることで体感できます。本問はさらに極端で、熱を加えていてもなお、膨張による仕事がそれを上回るために温度が下がります。「熱を加える＝温まる」という直感が必ずしも成り立たない好例です。
$\Delta U = Q - W$。$Q>0$ でも $W>Q$ なら $\Delta U<0$（降温）。「熱を加えた＝必ず温度上昇」は誤り。仕事として外に出ていくエネルギーの大きさが決め手。