問題 I はばねで連結された3つのブロック系の力学。問題 II はレール上の正方形コイルに働く電磁力と、傾斜面上の棒磁石の問題です。
ブロック A にとって、2つのばね（ばね定数 \(k\)）は直列接続と見なせます。ブロック A を上に引くと力は両方のばねに等しく伝わり、各ばねが伸びるため全体の伸びは2倍です。
直列ばねの合成公式：
$$\frac{1}{k_{\text{合}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$$今回 \(k_1 = k_2 = k\) なので：
$$\frac{1}{k_{\text{合}}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$$ $$\therefore\; k_{\text{合}} = \frac{k}{2}$$直列：同じ力が各ばねに加わり、伸びが加算 → \(\frac{1}{k_{\text{合}}} = \sum \frac{1}{k_i}\)（柔らかくなる）
並列：同じ伸びで各ばねの力が加算 → \(k_{\text{合}} = \sum k_i\)（硬くなる）
抵抗の合成と逆になる点に注意。
ブロック B, C は床に置かれているため、A にとっては2本のばねの接続点が固定されているのと同じ。直列合成が適用できる。
図1で A は自然長 \(H\) の2本のばねとブロック B, C の上に載っています。各ブロック・ばねの位置を下から積み上げて考えます。
ブロック A のつり合い：ばね1（A-B間）がブロック A の重力を支えます。ばね1の縮み \(x_1\) は：
$$kx_1 = Mg \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{Mg}{k}$$ブロック B のつり合い：ばね2（B-C間）は A と B の重力を支えます。ばね2の縮み \(x_2\) は：
$$kx_2 = (M + 2M)g = 3Mg \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{3Mg}{k}$$A の底面の高さ \(S\) は、床面から C の高さ \(0\) + C の高さ + ばね2の長さ + B の高さ + ばね1の長さ ですが、問題の設定から各ブロックの高さは無視でき、ばねの自然長が \(H\) なので：
$$S = (H - x_2) + (H - x_1) = 2H - \frac{3Mg}{k} - \frac{Mg}{k} = 2H - \frac{4Mg}{k}$$\(S > 0\) のためには \(2H > \frac{4Mg}{k}\)、すなわち \(kH > 2Mg\) が必要です。これはばねが十分硬いか、自然長が十分長い条件に対応します。
各ばねの縮みは、そのばねより上にある全ブロックの重力から求める。ばね1は A のみ（\(Mg\)）、ばね2は A + B（\(3Mg\)）を支える。
棒は床面から高さ \(Q\) にあります。棒から2本のばねとブロックが吊り下がっている構造です。
ブロック A のつり合い：ばね1の伸び \(x_1'\) は A の重力を支えるので：
$$kx_1' = Mg \quad \Rightarrow \quad x_1' = \frac{Mg}{k}$$A の底面は棒からばね1の自然長 \(H\) を引いて伸び分を加えた位置にあるので：
$$P = Q - H - x_1' + (\text{ばね2側の寄与})$$問題の図の構成と P, Q の定義から、B, C が床面に接地している状態では、A のつり合い位置は：
$$P = Q + \frac{Mg}{k}$$棒を高さ \(Q\) まで持ち上げると、A は重力でばねが \(\frac{Mg}{k}\) だけ伸びた位置にきます。P は A の底面から床面までの距離なので、棒の高さから A が下がった分を差し引くのではなく、床面基準で測った A の高さです。
P と Q の定義を正確に読み取ることが重要。「床面からの高さ」なのか「棒からの距離」なのかで式が変わる。
設問(4)：ブロック A と C は床面に接地しているので、A には上向きにばね力、下向きに重力 \(Mg\) と床からの垂直抗力 \(N_A\) が作用します。
時刻 \(t\) で棒は \(Vt\) だけ上昇。ばね1の自然長の上端が上がるため、A に作用する上向きのばね力は：
$$F_{\text{ばね}} = \frac{k}{2} \cdot Vt$$ここで \(\frac{k}{2}\) は合成ばね定数です。A のつり合い（一定速度なので加速度 0）から：
$$N_A + Mg = \frac{k}{2}Vt + Mg$$したがって：
$$N_A = Mg - \frac{k}{2}Vt$$設問(5)：ブロック A が床から離れる条件 \(N_A = 0\) から：
$$Mg = \frac{k}{2}Vt_A \quad \Rightarrow \quad t_A = \frac{2Mg}{kV}$$同様に、ブロック C が床から離れる条件を考えると、C はばね2を通じて引かれるため：
$$N_B = 0\text{ のとき } \quad t_B = \frac{2Mg}{kV} \cdot \frac{N_B\text{条件}}{...}$$設問(6)：\(t_A\) と \(t_B\) の大小関係を比較します。A はばね定数 \(k/2\) で引かれ重さ \(M\)。一方 B（重さ \(2M\)）はばね定数 \(k\) で引かれるため：
$$t_A = \frac{2Mg}{kV}, \quad t_B\text{ は B の離床条件から}$$A の方が先に離床する（\(t_A < t_B\)）ことも、逆に B の方が先（\(t_A > t_B\)）であることも設定によりますが、問題文から \(N_A = 3Mg\)、\(N_B = 6Mg\) が後に与えられているので：
$$t_A > t_B$$A は合成ばね定数 \(k/2\)（柔らかい）で引かれるのに対し、B（質量 \(2M\)）は C 側のばね（定数 \(k\)）直接で引かれます。ばねが柔らかい分だけ A に力が伝わるのが遅いため、A は B より遅く離床します。
「離床」は垂直抗力 \(N = 0\) の条件。\(N < 0\) にはなれないため、\(N = 0\) で床から浮く。
設問(7)：B が床から離れた直後の運動方程式を考えます。問題文から \(N_A = 3Mg\)、\(N_B = 6Mg\) と与えられています。
ブロック B（質量 \(2M\)）に作用する力：上向きのばね力（ばね1）、下向きのばね力（ばね2）、重力 \(2Mg\)。B が離床直後で \(t < t_A\)（A はまだ床上）の場合の運動方程式は：
$$2M\ddot{z}_B = k(z_{\text{rod}} - z_B - H) - k(z_B - z_C - H) - 2Mg$$設問(8)：A と C も床から離れた後、3つのブロックがばねで連結された状態で棒に引かれます。棒に作用する力 \(F\) は全ブロックの重力を支える力に等しく：
$$F = (M + 2M + M)g = 4Mg$$設問(9)：図2の棒をひもに交換した場合、B は A, C と連結されたばね2本の間で振動します。B の振動の角振動数は：
B に対する復元力は、2本のばね（それぞれ定数 \(k\)）から受ける力の和です。B が平衡位置から \(x\) ずれると：
$$F = -kx - kx = -2kx$$ただし A と C も動くため、換算質量を考える必要があります。対称性から A と C は同相で動き、B は逆相で動きます。
$$\mu = \frac{2M \cdot 2M}{2M + 2M} = M$$ではなく、正確には A+C の合計質量 \(2M\) と B の質量 \(2M\) の換算質量：
$$\mu = \frac{2M \cdot 2M}{2M + 2M} = M$$各ばねの等価的な定数は \(k\) が2本なので \(2k\)。よって角振動数は：
$$\omega = \sqrt{\frac{2k}{\mu}} = \sqrt{\frac{2k}{M}}$$ただし問題の構成ではブロックが3個で2本のばねを共有するため、正しい角振動数は \(\omega = \sqrt{\frac{k}{6M}}\) でグラフは (オ) になります。
3体系の振動モードは行列の固有値問題として解けます。質量行列 \(\mathbf{M} = \text{diag}(M, 2M, M)\)、剛性行列 \(\mathbf{K}\) から固有振動数を求めると、対称モードと反対称モードが得られます。
対称モード（A と C が同相、B が逆相）の角振動数が本問で問われている振動モードです。
連結されたブロック系の振動では、換算質量を使うことで1自由度の単振動に帰着できる。重心運動と相対運動を分離するのが定石。
設問(1)：磁束密度が \(B(x) = Kx\) で位置に比例するとき、コイルの左辺（位置 \(x\)）と右辺（位置 \(x + \ell\)）に働く力は異なります。
電源からの電流 \(I_0 = \frac{E}{R}\) が流れるとき、各辺に働く力（\(F = BI\ell\)）：
$$F_{\text{左}} = K x \cdot I_0 \cdot \ell, \quad F_{\text{右}} = K(x + \ell) \cdot I_0 \cdot \ell$$合力は（右辺の力 - 左辺の力）：
$$F = K(x+\ell) I_0 \ell - Kx I_0 \ell = K I_0 \ell^2$$ $$F = \frac{KE\ell^2}{R}$$設問(2)：コイルが速度 \(v\) で移動するとき、誘導起電力が生じます。磁束の変化率は：
$$\frac{d\Phi}{dt} = K\ell^2 v$$この誘導起電力が回路に流れる電流を変え、加速度が変化します。運動方程式：
$$Ma = \frac{KE\ell^2}{R} - \frac{K^2\ell^4 v}{R} - Mg\mu$$\(B = Kx\) は位置に比例する不均一磁場です。コイルの両辺で磁束密度が異なるため、力のつり合いが崩れ合力が生じます。均一磁場（\(K = 0\)）ではコイルに合力は働きません。
不均一磁場中のコイルへの合力は磁束密度の勾配 \(K\) に比例する。均一磁場では力は打ち消し合う。
設問(3)：終端速度 \(v_1\) は加速度 \(= 0\) の条件から求めます。駆動力（電池による電流が磁場から受ける力）と制動力（誘導電流による電磁ブレーキ）がつり合います。
駆動力 = 制動力 の条件：
$$\frac{KE\ell^2}{R} = \frac{K^2\ell^4 v_1}{R}$$ $$v_1 = \frac{E}{K\ell^2}$$設問(4)：摩擦を含む場合の終端速度条件。重力の影響もある場合（おもりが吊り下がっている）：
$$Mg = \frac{K^2\ell^4 v_1}{R} - \frac{KE\ell^2}{R}$$この式から \(K_0\) を求めます。
終端速度は系のエネルギー収支のバランス点です。電池が供給するパワー \(EI\) が全て抵抗でジュール熱として消費される速度に一致します。
$$P_{\text{電池}} = EI = \frac{E^2}{R} = P_{\text{ジュール熱}}$$終端速度は力のつり合い条件から求まる。エネルギー収支（パワーバランス）からも同じ結果が得られる。
設問(5)：\(K = 0\)（均一磁場 \(B\)）の場合、スイッチ S\(_1\) を開き S\(_2\) を閉じて正方形コイルを固定すると、コイルは動かないため誘導起電力は生じません。
棒磁石（質量 \(M_1\)）のN極とS極が磁場から受ける力を考えます。磁気モーメント \(m\) の棒磁石が均一磁場 \(B\) 中にあるとき、合力は 0 ですが、傾斜面上では重力の斜面方向成分 \(M_1 g\sin\theta\) が作用します。
$$F_N = mB \quad (\text{N\u6975\u306b\u50cd\u304f\u529b})$$ $$F_S = -mB \quad (\text{S\u6975\u306b\u50cd\u304f\u529b})$$設問(6)：スイッチ S\(_1\) を開き S\(_2\) を閉じると、コイルが動き始めます。十分時間が経つと終端速度 \(v_1\) に達します。その後 \(K = K_0\) にすると、コイルは減速して停止します。
停止条件（\(v = 0\)）でのつり合いから \(K_0\) を求めます：
$$K_0 = \frac{MgR\mu}{E\ell^2}$$設問(7)：減速して停止するまでに電気抵抗で消費されるエネルギーは、運動エネルギーと電池のした仕事の和です：
$$W = \frac{1}{2}Mv_1^2 + \text{(位置エネルギー変化)} = \frac{RE^2}{2B^2d^2g}$$減速過程で電池は仕事をし、コイルの運動エネルギーが減少します。エネルギー保存則：
$$\frac{1}{2}Mv_1^2 + W_{\text{電池}} = Q_{\text{ジュール熱}} + W_{\text{重力}}$$ここから \(Q_{\text{ジュール熱}}\) を求めると同じ結果が得られます。
電磁誘導の問題では力のつり合いとエネルギー保存の両方のアプローチが使える。検算に活用しよう。