解法の指針

1本の棒が4本のばね（ブロック A は2本直列、B・C は1本ずつ）で支えられ、3つのブロック A・B・C の上に載っている力学の総合問題です。前半（図1）は静止つり合い、後半（図2）は棒を一定速度で引き上げたときの離床条件・単振動・仕事を扱います。

問題の構成

• 設問(1)：ブロック A の2本の直列ばねの合成ばね定数
• 設問(2)：棒の高さ \(S\) を、各ばねの伸び縮みと棒のつり合いから決める
• 設問(3)：棒の回転のつり合い（モーメント）から距離 \(P\) を求める
• 設問(4)：棒を速さ \(V\) で引き上げたとき、A・B・C が床から離れる時刻 \(t_A, t_B, t_C\)
• 設問(5)：\(t_A\) と \(t_B\) の大小関係（選択）
• 設問(6)：\(t_A < t < t_C\) でのブロック B の高さ \(z\)
• 設問(7)：\(t_A < t < t_C\) で棒を引き上げる力（A の単振動を含む）
• 設問(8)：\(0 \le t \le t_A\) で力がした仕事（エネルギー保存）
• 設問(9)：棒をひもに替えたときの B の角振動数とグラフ選択

設問(1)：合成ばね定数

ブロック A には自然長 \(2H\)・ばね定数 \(k\) のばねが2本、直列につながれています。直列ばねでは同じ大きさの力が両方のばねに加わり、各ばねがそれぞれ伸び縮みするため、全体の変位は各ばねの変位の和になります。

力 \(F\) を加えたとき、各ばねの伸びは \(x_1 = x_2 = \dfrac{F}{k}\)。合成ばねの伸びは：

$$x = x_1 + x_2 = \frac{F}{k} + \frac{F}{k} = \frac{2F}{k}$$

合成ばね定数 \(k_{\text{合}}\) は \(F = k_{\text{合}}\, x\) で定義されるので：

$$k_{\text{合}} = \frac{F}{x} = \frac{F}{\,2F/k\,} = \frac{k}{2}$$

補足：直列と並列の違い

直列：同じ力が各ばねに加わり、伸びが加算 → \(\dfrac{1}{k_{\text{合}}} = \dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}\)（柔らかくなる）

並列：同じ伸びで各ばねの力が加算 → \(k_{\text{合}} = k_1+k_2\)（硬くなる）

抵抗の合成（直列で加算）とちょうど逆になる点に注意。

設問(2)：棒の高さ S

棒の高さを \(S\) とすると、各ばねの上端（棒）は高さ \(S\)、下端は各ブロックの上面です。ブロックの上面の高さは A が \(H\)、B が \(3H\)、C が \(4H\)。自然長は A の合成ばねが \(4H\)、B・C のばねが \(2H\) です。「縮んだばねは棒を上に押し、伸びたばねは棒を下に引く」ことに注意します。

各ばねの「伸び」（自然長からのずれ。正で伸び、負で縮み）は：

$$e_A = (S-H)-4H = S-5H,\quad e_B = (S-3H)-2H = S-5H,\quad e_C = (S-4H)-2H = S-6H$$

ばねが棒に及ぼす上向きの力は \(-k_i e_i\)（縮み \(e_i<0\) なら上向き正）。棒（質量 \(M\)）の鉛直方向のつり合いは、合成ばね \(k/2\) を用いて：

$$-\frac{k}{2}(S-5H) - k(S-5H) - k(S-6H) = Mg$$

左辺を整理します：

$$-\frac{5k}{2}(S) + \frac{15kH}{2} + 6kH = Mg \;\Longrightarrow\; -\frac{5k}{2}S + \frac{27kH}{2} = Mg$$

これを \(S\) について解くと：

$$S = \frac{27H}{5} - \frac{2Mg}{5k}$$

補足：各ばねの力の向きをチェック

\(S-5H = \dfrac{2}{5}\!\left(H - \dfrac{Mg}{k}\right)\)、\(S-6H = -\dfrac{1}{5}\!\left(3H + \dfrac{2Mg}{k}\right) < 0\)。

C のばねは必ず縮んで棒を強く押し上げ、A・B のばねは（\(Mg\lt kH\) のとき）縮んで、または（\(Mg>kH\) のとき）伸びて寄与する。いずれの場合も和をとると上向きの合力は \(Mg\) になり、棒を支える。鉛直のつり合い1式から \(S\) が一意に決まる点がポイント。

設問(3)：距離 P

棒が水平を保つには、重心 G まわりの力のモーメントがつり合う必要があります。B のばねは重心 G に接続されているのでモーメントを作りません。重心まわりで、A のばね（左に距離 \(P\)）の上向きの力 \(F_A\) と、C のばね（右に距離 \(Q\)）の上向きの力 \(F_C\) がつり合います：

$$F_A \cdot P = F_C \cdot Q$$

設問(2)で求めた \(S\) を使い、A・C のばねが棒に及ぼす上向きの力を計算します。\(S-5H = \dfrac{2}{5}\!\left(H-\dfrac{Mg}{k}\right)\)、\(S-6H = -\dfrac{1}{5}\!\left(3H+\dfrac{2Mg}{k}\right)\) なので：

$$F_A = -\frac{k}{2}(S-5H) = -\frac{k}{2}\cdot\frac{2}{5}\!\left(H-\frac{Mg}{k}\right) = \frac{Mg-kH}{5}$$ $$F_C = -k(S-6H) = -k\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)\!\left(3H+\frac{2Mg}{k}\right) = \frac{3kH+2Mg}{5}$$

これらをモーメントのつり合いに代入して \(P\) を求めます：

$$P = \frac{F_C}{F_A}\,Q = \frac{\;\dfrac{3kH+2Mg}{5}\;}{\;\dfrac{Mg-kH}{5}\;}\,Q = \frac{2Mg+3kH}{Mg-kH}\,Q$$

補足：なぜ Mg > kH が必要か

\(P>0\)（A のばねが重心の左側にある）であるためには、\(F_A>0\)、すなわち \(Mg>kH\) が必要です。これは「棒の重さが十分大きい（またはばねが十分柔らかい）」状況に対応します。\(Mg\lt kH\) だと A のばねが棒を下に引いてしまい、左右の上向き力でモーメントをつり合わせる図1の配置が成り立ちません。

設問(4)：A・B・C が床から離れる時刻

時刻 \(t=0\) は「B のばねが自然長」のとき。このとき B のばねの長さは \(2H\) で、棒の高さは \(3H+2H = 5H\) です。同時に A の合成ばね（自然長 \(4H\)、上面 \(H\)）の長さは \(5H-H=4H\) でちょうど自然長、C のばね（自然長 \(2H\)、上面 \(4H\)）の長さは \(5H-4H=H\) で \(H\) だけ縮んでいます。

棒が \(Vt\) 上昇すると各ばねが \(Vt\) ずつ余分に伸びます。

ブロック B（質量 \(2M\)、床に接着なし）：ばねの張力が自重 \(2Mg\) に達したとき離床。B のばね張力は \(kVt\) なので：

$$kVt_B = 2Mg \;\Longrightarrow\; t_B = \frac{2Mg}{kV}$$

ブロック A（合成ばね \(k/2\)、接着力 \(N_A\)）：ばねが上に引く力が \(N_A\) を超えたとき離床。A のばね張力は \(\dfrac{k}{2}Vt\) なので：

$$\frac{k}{2}Vt_A = N_A \;\Longrightarrow\; t_A = \frac{2N_A}{kV}$$

ブロック C（ばね \(k\)、接着力 \(N_C\)）：\(t=0\) でばねは \(H\) だけ縮んでいる。棒が \(Vt\) 上がるとばねの伸びは \(Vt-H\)。張力が \(N_C\) に達したとき離床：

$$k(Vt_C - H) = N_C \;\Longrightarrow\; t_C = \frac{kH + N_C}{kV}$$

補足：t=0 における各ばねの状態

B のばねが自然長になる瞬間を基準にとるのがミソ。このとき A のばねも偶然ちょうど自然長になる（上面 \(H\)＋自然長 \(4H\)＝\(5H\)＝棒の高さ）。だから A・B の張力はどちらも \(t=0\) で 0 から始まり、\(\dfrac{k}{2}Vt,\ kVt\) と増えていく。C だけは初め縮んでいるので、伸びるまで（\(Vt>H\)）時間がかかる。

設問(5)：t_A と t_B の大小

設問(4)より \(t_A = \dfrac{2N_A}{kV}\)、\(t_B = \dfrac{2Mg}{kV}\) です。両者は分母が同じなので、分子だけで大小が決まります：

$$\frac{t_A}{t_B} = \frac{2N_A/(kV)}{2Mg/(kV)} = \frac{N_A}{Mg}$$

したがって \(t_A > t_B \iff N_A > Mg\)。A は床に接着されており、その接着力 \(N_A\) はブロック A の自重 \(Mg\) よりも大きい（接着でしっかり固定されている）と考えられます。実際この問題では後に \(N_A = 3Mg\) と与えられ、

$$t_A = \frac{2\cdot 3Mg}{kV} = \frac{6Mg}{kV} > \frac{2Mg}{kV} = t_B$$

となり、A は B より遅れて離床します。よって正しいのは ア：\(t_A > t_B\)。

補足：A のばねが柔らかいことの効果

A のばね（合成 \(k/2\)）は B のばね（\(k\)）より柔らかいので、同じ時間では張力の増え方が半分（\(\tfrac{k}{2}Vt\) 対 \(kVt\)）。さらに A のしきい値 \(N_A\) が \(2Mg\) より大きいため、A が必要な張力に達するまでにより長い時間がかかる。この2つの効果が重なって \(t_A>t_B\) となる。

設問(6)：B の高さ z（t_A < t < t_C）

問題文より、ブロック B は床から離れた直後に速さ \(V\) で等速直線運動します（離床時にばね張力 \(=2Mg\) で重力とつり合い、しかも速さ \(V\) を持っているため）。

B が離床する時刻は \(t_B = \dfrac{2Mg}{kV}\)。離床した瞬間、B の重心は床から \(\dfrac{3H}{2}\) の高さ（B は高さ \(3H\）なので重心は床上 \(1.5H\)）にあります。以後は速さ \(V\) で上昇するので：

$$z = \frac{3H}{2} + V(t - t_B)$$

\(t_B = \dfrac{2Mg}{kV}\) を代入すると \(V t_B = \dfrac{2Mg}{k}\) なので：

$$z = \frac{3H}{2} + Vt - \frac{2Mg}{k}$$

補足：なぜ B は単振動しないのか

剛体の棒は応用力で常に速さ \(V\) で動く「動く天井」。B は離床の瞬間に「張力＝重力でつり合い」かつ「速さ \(V\)」を満たすので、棒と同じ速さで動き続け、ばねは一定の伸びを保つ（張力一定）。よって B は加速せず、振動も起こさずに等速で上がる。設問(9)でひもに替えると状況が変わる。

設問(7)：棒を引き上げる力（あ〜え）

以降の設問では \(N_A = 3Mg,\ N_C = 6Mg\) とする。

棒は加速度 0（等速 \(V\)）なので、棒にはたらく力はつり合います。必要な上向きの力 \(F\) は、棒の重力と各ばねが棒を下に引く張力の和に等しい：

$$F = Mg + T_A(t) + T_B + T_C(t)$$

C のばね（床に残っている）：棒が \(Vt\) 上がるとばねの伸びは \(Vt-H\)、張力 \(T_C = k(Vt-H)\)。

B のばね：B は等速 \(V\) で動き、張力は \(2Mg\) のまま一定。\(T_B = 2Mg\)。

A のばね（A は離床後に単振動）：A（質量 \(M\)、ばね \(k/2\)）は、速さ \(V\) で動く棒を基準にして単振動します。角振動数は \(\omega = \sqrt{\dfrac{k/2}{M}} = \sqrt{\dfrac{k}{2M}}\)。離床時刻 \(t_A=\dfrac{2N_A}{kV}=\dfrac{6Mg}{kV}\) に、つり合い位置（張力 \(Mg\)）から張力 \(N_A=3Mg\) の点（つり合いから \(+2Mg\) ずれ）で相対速度 0 から振動を始めるので：

$$T_A(t) = Mg + 2Mg\cos\!\big(\omega(t-t_A)\big)$$

これらを足し合わせます：

$$F = Mg + \big[\,Mg + 2Mg\cos(\omega(t-t_A))\,\big] + 2Mg + k(Vt-H)$$ $$F = 4Mg + 2Mg\cos\!\big(\omega(t-t_A)\big) + k(Vt-H)$$

問題の形 \(\boxed{\text{あ}}\,g + \boxed{\text{い}}\sin\!\big(\boxed{\text{う}}\big) + k\big(\boxed{\text{え}}\big)\) に合わせるため、\(\cos\theta = \sin\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\) を使うと：

補足：T_A の振幅が 2Mg になる理由

A の単振動のつり合い位置は「張力＝自重 \(Mg\)」の点。離床の瞬間、張力は接着力 \(N_A=3Mg\) なので、つり合い位置から張力にして \(3Mg-Mg=2Mg\) ぶんずれている。相対速度は 0（A も棒も速さ \(V\)）なので、この \(2Mg\) が振動の振幅（張力の変動幅）になる。よって \(T_A = Mg + 2Mg\cos(\omega(t-t_A))\)。

設問(8)：0 ≤ t ≤ t_A で力がした仕事

外から仕事をするのは棒に加えた力だけ（床の垂直抗力・接着力は接地点が動かないので仕事 0、重力とばねは位置・弾性エネルギーで扱う）。エネルギー保存より、力がした仕事 \(W\) は系全体のエネルギー増加に等しい：

$$W = \Delta(\text{運動E}) + \Delta(\text{重力PE}) + \Delta(\text{弾性PE})$$

\(N_A=3Mg\) より \(t_A=\dfrac{6Mg}{kV}\)、つまり \(Vt_A=\dfrac{6Mg}{k}\)。また \(Vt_B=\dfrac{2Mg}{k}\)。

① 運動エネルギーの変化：\(t=0\) で運動するのは棒のみ \(\dfrac12 MV^2\)。\(t_A\) では棒（\(\dfrac12 MV^2\)）と等速で動く B（\(\dfrac12(2M)V^2 = MV^2\)）が運動。A はまだ離床直前で静止。

$$\Delta KE = \left(\tfrac12 MV^2 + MV^2\right) - \tfrac12 MV^2 = MV^2$$

② 重力の位置エネルギーの変化：棒は \(Vt_A=\dfrac{6Mg}{k}\) 上昇、B は \(V(t_A-t_B)=\dfrac{4Mg}{k}\) 上昇（A・C は床上で不動）。

$$\Delta PE_{\text{重力}} = Mg\cdot\frac{6Mg}{k} + 2Mg\cdot\frac{4Mg}{k} = \frac{6M^2g^2}{k}+\frac{8M^2g^2}{k} = \frac{14M^2g^2}{k}$$

③ 弾性エネルギーの変化：各ばねの弾性エネルギーを計算します。

A のばね（\(k/2\)）：\(t=0\) で自然長 → \(t_A\) で伸び \(Vt_A=\dfrac{6Mg}{k}\)。\(\dfrac12\cdot\dfrac{k}{2}\Big(\dfrac{6Mg}{k}\Big)^2 = \dfrac{9M^2g^2}{k}\)。

B のばね（\(k\)）：\(t_B\) で伸び \(\dfrac{2Mg}{k}\) になり以後一定。\(\dfrac12 k\Big(\dfrac{2Mg}{k}\Big)^2 = \dfrac{2M^2g^2}{k}\)。

C のばね（\(k\)）：\(t=0\) で縮み \(H\)（弾性E \(\dfrac12 kH^2\)）→ \(t_A\) で伸び \(Vt_A-H=\dfrac{6Mg}{k}-H\)。

$$\Delta PE_{\text{弾性}} = \underbrace{\frac{9M^2g^2}{k}}_{A} + \underbrace{\frac{2M^2g^2}{k}}_{B} + \underbrace{\left[\tfrac12 k\Big(\tfrac{6Mg}{k}-H\Big)^2 - \tfrac12 kH^2\right]}_{C}$$

C の項を展開：\(\dfrac12 k\Big(\dfrac{36M^2g^2}{k^2}-\dfrac{12MgH}{k}+H^2\Big)-\dfrac12 kH^2 = \dfrac{18M^2g^2}{k}-6MgH\)。よって：

$$\Delta PE_{\text{弾性}} = \frac{9M^2g^2}{k}+\frac{2M^2g^2}{k}+\frac{18M^2g^2}{k}-6MgH = \frac{29M^2g^2}{k}-6MgH$$

合計：

$$W = MV^2 + \frac{14M^2g^2}{k} + \frac{29M^2g^2}{k} - 6MgH = MV^2 - 6MgH + \frac{43M^2g^2}{k}$$

補足：仕事を直接積分する方法（参考）

力 \(F(t)\) が棒に及ぼす仕事は \(W=\displaystyle\int_0^{t_A} F\,V\,dt\) でも計算できる。ただし \(0\lt t\lt t_B\)（全員接地）、\(t_B\lt t\lt t_A\)（B のみ離床）で \(F\) の式が変わるため場合分けが必要。エネルギー保存を使うほうが各状態のエネルギーを足すだけで済み、計算ミスが少ない。

設問(9)：ひもに替えたときの B の角振動数とグラフ

棒（剛体・質量 \(M\)）をひも（質量 0）に替えます。ひもの上端は強く水平に張られ鉛直のたわみは無視できるので、ばねの上端（＝ひも）の位置は「質量 0 のばね接続点」になり、上下方向の力がつねにつり合うように動きます。

角振動数（お）の導出（\(t_B\lt t\lt t_C\)）：この区間では B（質量 \(2M\)）だけが床から離れ、A と C は床に接着されたままです。ひも（接続点、変位 \(x_p\)）にかかる鉛直の力のつり合いを書きます。A のばね（\(k/2\)、下端は床で固定）、C のばね（\(k\)、下端は床で固定）、B のばね（\(k\)、下端は B、変位 \(x_B\)）：

$$-\frac{k}{2}x_p - k x_p + k(x_B - x_p) = 0 \;\Longrightarrow\; x_p = \frac{2}{5}x_B$$

B の運動方程式（変位 \(x_B\)、つり合いからのずれ）：

$$2M\ddot{x}_B = -k(x_B - x_p) = -k\left(x_B - \frac{2}{5}x_B\right) = -\frac{3k}{5}x_B$$

これは単振動の式 \(2M\ddot{x}_B = -\dfrac{3k}{5}x_B\) なので、角振動数は：

$$\omega = \sqrt{\frac{3k/5}{2M}} = \sqrt{\frac{3k}{10M}}$$

グラフ（か）の選択：B は \(t_B\) で離床し、ひも（質量 0）を通して A・C のばねと結合するため振動しながら上昇します（剛体の棒では等速だったのと対照的）。さらに \(t_C\) で C が床から離れると、接続点を支えるばねが減って系が柔らかくなり、振幅が大きくなります。すなわち「\(t_B\) から小さく振動し始め、\(t_C\) を境に振動が大きくなる」グラフが正解。これは (エ) に対応します。

補足：棒（剛体）とひも（質量0）の違い

剛体の棒は外力で常に速さ \(V\) を保つ「動く天井」。B は離床時につり合い＋速さ \(V\) を満たすので等速のまま（設問6）。一方ひもは質量 0 なので、接続点は B・A・C のばね力がつり合う点へ動く＝接続点自身が振動する。これにより B も振動する（共振）。接地しているばね（A・C）が「ばねの一端を地面に固定するアンカー」として働き、離床していくたびにアンカーが外れて系が柔らかくなる。