解法の指針

水面波の干渉に関する問題です。円形波源からの波の式を立て、2つの波源からの波が重ね合わせにより強め合い・弱め合う条件を解析します。

問題の構成

• 設問(1)：波の式の空欄補充（角振動数、波数、振幅、位相）
• 設問(2)：2波源 A, B からの干渉条件（経路差と位相差）

設問(1) — 波の式の空欄補充

円形波源 O からの波の変位を、波源からの距離 \(r\)、時刻 \(t\) の関数として表します。

波の一般式：

$$y(r, t) = a\sin\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}r + \theta\right)$$

各パラメータの意味：

• \(\frac{2\pi}{T}\)（空欄ア）：角振動数 \(\omega\)。周期 \(T\) あたり \(2\pi\) ラジアン振動する
• \(\frac{2\pi}{\lambda}\)（空欄イ）：波数 \(k\)。波長 \(\lambda\) あたり \(2\pi\) ラジアンの位相が進む
• \(a\)（空欄ウ）：振幅。水面波の最大変位
• \(\theta\)（空欄エ以降）：初期位相。\(t = 0\), \(r = 0\) での位相

波源の位置 \(r = 0\) での振動を \(y = a\sin(\omega t + \theta)\) とすると、距離 \(r\) の点では波が到達するまでに \(\Delta t = \frac{r}{v}\) の時間遅れが生じるため：

$$y = a\sin\left(\omega(t - \frac{r}{v}) + \theta\right) = a\sin\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}r + \theta\right)$$

ここで \(v = \frac{\lambda}{T}\) の関係を使いました。

補足：減衰する円形波

実際の水面波ではエネルギーが円周方向に広がるため、振幅は \(\frac{a}{\sqrt{r}}\) に比例して減衰します。しかし本問では「十分遠方」での干渉を扱うため、振幅一定の近似が使えます。

$$y = \frac{a}{\sqrt{r}}\sin\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}r + \theta\right) \quad (\text{厳密な式})$$

別解：複素表示

波を複素数で表すと計算が楽になることがあります：

$$\tilde{y} = a e^{i(\omega t - kr + \theta)}$$

実部が物理的な変位です。干渉の計算では複素振幅の和を取ってから絶対値の2乗を計算します。

🧮 数値例：\(T = 0.020\) s, \(\lambda = 0.050\) m, \(a = 0.010\) m の場合

角振動数と波数を計算すると

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.020} = 100\pi \fallingdotseq 314 \text{ rad/s} $$ $$ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0.050} = 40\pi \fallingdotseq 126 \text{ rad/m} $$

波源から \(r = 0.10\) m の点で \(t = 0.030\) s における変位は（\(\theta = 0\) とすると）

$$ y = 0.010 \sin(314 \times 0.030 - 126 \times 0.10) = 0.010 \sin(9.42 - 12.6) $$ $$ = 0.010 \sin(-3.18) \fallingdotseq 0.010 \times 0.037 \fallingdotseq 3.7 \times 10^{-4} \text{ m} $$

設問(2) — 2波源の干渉と強め合い・弱め合い

2つの波源 A, B が距離 \(d\) だけ離れて同位相で振動しています。観測点 M までの距離をそれぞれ \(r_A\), \(r_B\) とすると、A からの波と B からの波は：

$$y_A = a\sin\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}r_A\right)$$ $$y_B = a\sin\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}r_B\right)$$

合成波は和の公式から：

$$y = y_A + y_B = 2a\cos\left(\frac{\pi}{\lambda}(r_A - r_B)\right)\sin\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{\lambda}(r_A + r_B)\right)$$

振幅は \(2a\left|\cos\left(\frac{\pi}{\lambda}\Delta r\right)\right|\) で、経路差 \(\Delta r = r_A - r_B\) に依存します。

強め合いの条件（最大振幅 \(2a\)）：

$$\Delta r = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$$

弱め合いの条件（振幅 0）：

$$\Delta r = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$$

問題の幾何学的配置では、O を中心として角度 \(\phi\) の方向にある観測点での経路差は：

$$\Delta r = |MA - MB| = d\sin\phi$$

ここで遠方近似（フラウンホーファー近似）を使いました。したがって：

強め合い：

$$d\sin\phi = m\lambda \quad \Rightarrow \quad 2m\sin\phi = a \quad (\text{空欄タ})$$

弱め合い：

$$d\sin\phi = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda$$

補足：双曲線上の干渉

「経路差 \(\Delta r = \text{const}\)」を満たす点の軌跡は、2波源を焦点とする双曲線です。強め合いの線（腹線）と弱め合いの線（節線）が交互に並びます。

2波源間に引ける腹線の本数は \(2m + 1\) 本（中心線含む）で、\(m_{\max} = \left\lfloor \frac{d}{\lambda} \right\rfloor\) です。

補足：位相差がある場合

2つの波源が初期位相差 \(\delta\) を持つ場合、干渉条件は：

$$\frac{2\pi}{\lambda}\Delta r + \delta = 2m\pi \quad (\text{強め合い})$$ $$\frac{2\pi}{\lambda}\Delta r + \delta = (2m+1)\pi \quad (\text{弱め合い})$$

本問では同位相（\(\delta = 0\)）なので上述の簡単な形になります。

干渉パターンの観測と分析

遠方近似（\(r \gg d\)）のとき、観測点 M における2波源からの経路差は幾何学的に：

$$\Delta r = |MA - MB| \fallingdotseq d\sin\phi$$

ここで \(\phi\) は AB の中点 O から M を見た角度です。

強め合いの方向：

$$d\sin\phi = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$$

\(m = 0\) は \(\phi = 0\)（中心線上）で常に強め合い。\(m = \pm 1\) は \(\sin\phi = \pm \frac{\lambda}{d}\) で一次の極大方向。

弱め合いの方向：

$$d\sin\phi = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda$$

強め合いの線は双曲線（2焦点が A, B）、遠方では直線に近似されます。

振幅の角度依存性：

$$A(\phi) = 2a\left|\cos\left(\frac{\pi d\sin\phi}{\lambda}\right)\right|$$

この関数は \(\phi = 0\) で最大値 \(2a\) をとり、\(\phi\) が増加するにつれて振動的に変化します。

補足：ヤングの干渉実験との対応

この問題は本質的にヤングの二重スリット実験の水面波版です。光のヤングの実験では：

$$d\sin\theta = m\lambda \quad (\text{明線条件})$$ $$\Delta x = \frac{L\lambda}{d} \quad (\text{干渉縞の間隔})$$

水面波と光波で同じ物理法則（波の重ね合わせ）が成り立つことを確認しましょう。

補足：波源の位相が異なる場合

A と B の初期位相が \(\delta\) だけ異なる場合：

$$\frac{2\pi}{\lambda}\Delta r = 2m\pi - \delta \quad (\text{強め合い})$$

位相差が \(\pi\)（逆位相）のとき、強め合いと弱め合いの条件が入れ替わります。

🧮 数値例：\(d = 0.10\) m, \(\lambda = 0.050\) m の場合

強め合いの1次極大（\(m = 1\)）の方向は

$$ \sin\phi = \frac{m\lambda}{d} = \frac{1 \times 0.050}{0.10} = 0.50 $$ $$ \phi = 30° $$

弱め合いの1次極小（\(m = 0\)）の方向は

$$ \sin\phi = \frac{(0 + \frac{1}{2}) \times 0.050}{0.10} = \frac{0.025}{0.10} = 0.25 $$ $$ \phi = \arcsin(0.25) \fallingdotseq 14.5° $$

波源間に引ける腹線の本数は \(m_{\max} = \lfloor d/\lambda \rfloor = \lfloor 2.0 \rfloor = 2\) より、中心線を含め \(2 \times 2 + 1 = 5\) 本。