天井の2点 Q・R からひも C で吊られた点 P に、ひも B を介して剛体棒 A（または小球）をぶら下げる装置です。前半は力のつり合い・剛体のつり合い（力のモーメント）、後半は単振り子の張力・等時性の近似・2次元振動（リサジュー図形）へと発展する力学総合問題です。
① ひも B の張力 $T$：剛体棒 A（質量 $m$）はひも B 1本だけで吊られて静止しているので、棒の鉛直方向のつり合いから
$$T = mg$$② 点 P のつり合い：点 P には、下向きにひも B の張力 $T(=mg)$、PR 方向に $T_1$、PQ 方向に $T_2$ がはたらく。$\angle$PRQ$=60^\circ$ より PR は鉛直と $30^\circ$、$\angle$PQR$=30^\circ$ より PQ は鉛直と $60^\circ$ をなす（$\angle$QPR$=90^\circ$）。水平・鉛直に分解すると、
水平方向のつり合い（左右の成分が打ち消し合う）：
$$T_1 \sin 30^\circ = T_2 \sin 60^\circ$$鉛直方向のつり合い（上向きの分力の和が $T$ を支える）：
$$T_1 \cos 30^\circ + T_2 \cos 60^\circ = T = mg$$③ 連立して解く：水平の式に $\sin 30^\circ = \tfrac12,\ \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}$ を代入すると
$$\tfrac12 T_1 = \tfrac{\sqrt3}{2} T_2 \quad\Rightarrow\quad T_1 = \sqrt{3}\,T_2$$これを鉛直の式に代入（$\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2},\ \cos 60^\circ = \tfrac12$）：
$$\sqrt{3}\,T_2 \cdot \tfrac{\sqrt3}{2} + T_2 \cdot \tfrac12 = mg \quad\Rightarrow\quad \tfrac32 T_2 + \tfrac12 T_2 = 2T_2 = mg$$ $$T_2 = \frac{1}{2}mg, \qquad T_1 = \sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}mg = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$$$T_1 \perp T_2$（$\angle$QPR$=90^\circ$）なので、下向きの $T(=mg)$ を $T_1,\ T_2$ の2方向に直接分解できる。$T$ と $T_1$（鉛直から $30^\circ$）のなす角は $30^\circ$、$T$ と $T_2$（鉛直から $60^\circ$）のなす角は $60^\circ$。直角三角形の射影として、
$$T_1 = mg\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}mg, \qquad T_2 = mg\cos 60^\circ = \frac{1}{2}mg$$同じ結果が一瞬で得られる。$\angle$QPR$=90^\circ$ は「下向きの重さを直角2方向に分ける」ためのヒントだったとわかる。
ひもの張力は必ずひもの方向を向く。$\angle$QPR$=90^\circ$（$T_1\perp T_2$）なら、重力を2方向に分解するだけで $T_1=mg\cos30^\circ,\ T_2=mg\cos60^\circ$ と即座に求まる。直交条件は計算を劇的に簡単にする。
ひも C の短辺 PR は鉛直と $30^\circ$ をなす。これと一直線になった「ひも B ＋ 棒 A」も鉛直から $30^\circ$ 傾く。棒 A について、力のつり合いとモーメントのつり合いを立てる。ひも B の張力 $T$ は線に沿って上向き（鉛直から $30^\circ$）にはたらく。
① 鉛直方向の力のつり合い：水平力 $F_1,\ F_2$ は鉛直成分を持たないので、$T$ の鉛直成分が重力を支える：
$$T\cos 30^\circ = mg \quad\Rightarrow\quad T = \frac{mg}{\cos 30^\circ} = \frac{2mg}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}mg$$② 力のモーメントのつり合い：棒 A（長さ $a$）の上端（ひも B との接続点）まわりのモーメントを考える。線方向の角度は鉛直から $30^\circ$。上端から測った位置で、重力は中心（$\tfrac{a}{2}$）に、$F_2$ は下端（$a$）にはたらく（$F_1$ は上端なのでモーメント 0、$T$ も上端なので 0）。
水平力のうでの長さは「上端からの鉛直距離」、重力のうでの長さは「上端からの水平距離」になる。上端まわりのモーメントのつり合いは、
$$mg \cdot \frac{a}{2}\sin 30^\circ = F_2 \cdot a\cos 30^\circ$$$\sin 30^\circ = \tfrac12,\ \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}$ を代入：
$$mg\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac12 = F_2 \cdot a\cdot\frac{\sqrt3}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{mga}{4} = \frac{\sqrt3}{2}aF_2$$ $$F_2 = \frac{mg}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt3} = \frac{mg}{2\sqrt3} = \frac{\sqrt{3}}{6}mg$$③ 水平方向の力のつり合い：$T$ の水平成分 $T\sin 30^\circ$ と $F_1,\ F_2$ がつり合う：
$$T\sin 30^\circ = F_1 + F_2$$ $$\frac{2mg}{\sqrt3}\cdot\frac12 = F_1 + F_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{mg}{\sqrt3} = F_1 + F_2$$$\dfrac{mg}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}mg = \dfrac{2\sqrt3}{6}mg$ なので、
$$F_1 = \frac{2\sqrt3}{6}mg - F_2 = \frac{2\sqrt3}{6}mg - \frac{\sqrt3}{6}mg = \frac{\sqrt{3}}{6}mg$$偶力的に見ると分かりやすい。重力 $mg$ は重心（上端から $\tfrac{a}{2}$）に下向きにはたらく。下端まわりのモーメントでチェックすると、
$$mg\cdot\frac{a}{2}\sin 30^\circ = F_1 \cdot a\cos 30^\circ \;\Rightarrow\; F_1 = \frac{\sqrt3}{6}mg$$と、上端まわりで $F_2$ を求めたのと完全に対称な式になる。重心がちょうど棒の中央にあるため、上端と下端の水平力が等しくなる。
剛体のつり合いは「力のつり合い（2成分）」＋「力のモーメントのつり合い」の3式。モーメントは計算しやすい点（力が多く集まる点）まわりでとると、未知の張力 $T$ を消去できて速い。
① ひも B の張力 $T$：設問(2)で求めた通り、棒の鉛直方向のつり合いから
$$T = \frac{mg}{\cos 30^\circ} = \frac{2mg}{\sqrt3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}mg$$② 点 P のつり合い：PR・B・A が一直線なので、点 P では「ひも C 短辺の張力 $T_1$（線方向に上向き）」と「ひも B の張力 $T$（線方向に下向き）」が同一直線上で逆向き。長辺 PQ はたるんでいて張力を出せないので $T_2 = 0$。よって線方向のつり合いから、
$$T_1 = T = \frac{2\sqrt{3}}{3}mg$$線に垂直な方向には力がないので、これだけでつり合いが成立する。
ひもは「引く」ことしかできず「押す」ことはできない。設問(1)では PQ も PR も張っていたが、設問(2)では棒を傾けて PR・B・A を一直線にした。このとき点 P を支える力は PR 方向（と B 方向）だけで完結し、PQ は引っ張られる必要がない。張る必要のないひもはたるんで張力 0 になる。
一直線上に並んだ2本のひも（B と C 短辺）は「向かい合う1本のひも」とみなせ、張力は等しい（$T_1 = T$）。たるんだひもの張力は 0 という基本を見落とさないこと。
支点 P・長さ $b$・振幅（振れ角）$\theta_0 = 30^\circ$ の単振り子。重力加速度 $g$。最下点を高さの基準とする。
① 最高点（端、$\theta = 30^\circ$）での張力 $T_{\min}$：端では速さ 0 で円運動の向心加速度が 0。向心方向（ひも方向）の運動方程式は、重力のひも方向成分とつり合う：
$$T_{\min} = Mg\cos 30^\circ = Mg\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}Mg$$② 最下点での速さ $v$（エネルギー保存）：端から最下点までの高さの差は $b(1-\cos 30^\circ)$。力学的エネルギー保存より、
$$Mg\,b(1-\cos 30^\circ) = \frac{1}{2}Mv^2 \quad\Rightarrow\quad v^2 = 2gb(1-\cos 30^\circ)$$③ 最下点での張力 $T_{\max}$（向心方向の運動方程式）：最下点ではひもは鉛直で、向心方向（上向き）の運動方程式は
$$T_{\max} - Mg = \frac{Mv^2}{b}$$$v^2 = 2gb(1-\cos 30^\circ)$ を代入すると、$b$ が約分されて消える：
$$T_{\max} = Mg + \frac{M\cdot 2gb(1-\cos 30^\circ)}{b} = Mg + 2Mg(1-\cos 30^\circ)$$ $$T_{\max} = Mg\bigl(1 + 2 - 2\cos 30^\circ\bigr) = Mg\bigl(3 - 2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) = (3-\sqrt{3})Mg$$数値例：仮に $M = 0.10$ kg、$g = 9.8$ m/s$^2$ とすると、$Mg = 0.10 \times 9.8 = 0.98$ N。これより
$$T_{\max} = (3-\sqrt{3})\times 0.98 = 1.27 \times 0.98 \fallingdotseq 1.2 \text{ N}$$ $$T_{\min} = \frac{\sqrt{3}}{2}\times 0.98 = 0.866 \times 0.98 \fallingdotseq 0.85 \text{ N}$$となり、最下点での張力は端での張力の約 1.5 倍。重さ $0.98$ N の球を振らせるだけで、ひもには最大 $1.2$ N の力がかかることがわかる。
振れ角 $\theta$ での速さは、端 $\theta_0$ からのエネルギー保存より $v^2 = 2gb(\cos\theta - \cos\theta_0)$。向心方向の運動方程式 $T - Mg\cos\theta = \dfrac{Mv^2}{b}$ に代入すると、
$$T(\theta) = Mg\cos\theta + 2Mg(\cos\theta - \cos\theta_0) = Mg(3\cos\theta - 2\cos\theta_0)$$$\theta = 0$（最下点）で $T = Mg(3 - 2\cos 30^\circ) = (3-\sqrt3)Mg$、$\theta = \theta_0 = 30^\circ$ で $T = Mg\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}Mg$。同じ結果が得られる。
振り子の張力は「向心方向の運動方程式」＋「エネルギー保存」のセットで求める。最下点で最大（重力＋向心力ぶん）、振れの端で最小（$Mg\cos\theta_0$）。長さ $b$ は約分で消えるので答えに残らない。
空欄（あ）円弧に沿った力 $F$：球にはたらく重力 $Mg$ の、円弧の接線方向（最下点 O に戻す向きを正）の成分。振れ角は $\theta = X/L$ なので、戻す向きを正にとると
$$F = -Mg\sin\theta = -Mg\sin\frac{X}{L} \quad\cdots\text{（あ）}=\text{(ク)}$$空欄（い）近似式：$X$ が $L$ に比べて十分小さいとき $\sin\dfrac{X}{L} \fallingdotseq \dfrac{X}{L}$ なので、
$$F \fallingdotseq -Mg\cdot\frac{X}{L} = -\frac{MgX}{L} \quad\cdots\text{（い）}=\text{(イ)}$$空欄（う）ばね定数 $k$：これをフックの法則 $F = -kX$ と見比べると、
$$-kX = -\frac{MgX}{L} \quad\Rightarrow\quad k = \frac{Mg}{L} \quad\cdots\text{（う）}=\text{(エ)}$$運動方程式は $Ma = -\dfrac{Mg}{L}X$、すなわち $a = -\dfrac{g}{L}X$ となり、角振動数 $\omega = \sqrt{g/L}$、周期 $\displaystyle 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ の単振動（振幅によらない＝等時性）が示される。
空欄（え）大振幅のときの周期：大きな振幅では、実際の復元力 $|F| = Mg\sin\dfrac{X}{L}$ は近似値 $\dfrac{MgX}{L}$ より小さい（$\sin\theta < \theta$）。戻す力が弱いほど往復に時間がかかるので、大振幅の振り子の周期は小振幅のときより長くなる。
$$\text{（え）}=\text{(サ) より長}$$設問(4)の振幅は $30^\circ$ と大きい。大振幅では復元力が近似より弱く、周期が近似式 $2\pi\sqrt{L/g}$ より長くなる。実際、振幅 $\theta_0$ の振り子の周期は近似的に
$$T \fallingdotseq 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)$$$\theta_0 = 30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ を入れると $\dfrac{\theta_0^2}{16} = \dfrac{(0.524)^2}{16} \fallingdotseq 0.0171$、すなわち約 1.7% 長くなる。問題文の「1.74% 異なった」とよく一致する。
単振り子の等時性は$\sin\theta\fallingdotseq\theta$（微小角近似）に支えられている。大振幅では $\sin\theta<\theta$ で復元力が弱くなり、周期は近似式より長くなる。「近似が成り立つ条件」を意識することが大切。
① 周期が異なる理由：$x$ 方向（ひも C の面内）の振動では、ひも C は形を変えず支点は点 P。実効長は $L_x = b$。一方 $y$ 方向（C 面に垂直）の振動では、ひも B だけでなくひも C も一緒に傾くため、回転の中心が天井側に上がり、実効長 $L_y$ は $b$ より長い（$c$ を無視できないので $L_y > b$）。
② 周期の比較：単振り子の周期は $\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ で、長さが長いほど周期が長い。$L_x = b < L_y$ より、
$$T_x = 2\pi\sqrt{\frac{L_x}{g}} \;<\; T_y = 2\pi\sqrt{\frac{L_y}{g}}$$つまり $x$ 方向の方が周期が短く（速く振動）、$y$ 方向の方が周期が長い（ゆっくり振動）。
③ グラフの選択：図4・図6の状況では、球を傾けて静かに放すので、$t=0$ で $x,\ y$ はともに最大変位（速さ 0）からスタートする＝両方とも $\cos$ 型で $t=0$ が山。さらに $x$（実線）の方が周期が短く、同じ時間内で振動回数が多い。これを満たすのは、実線が破線より速く（密に）振動し、両方が $t=0$ で山から始まるグラフ。
(ア)(イ)：実線と破線の周期がほぼ同じ。$L_x\ne L_y$ なので周期は等しくならず不適。
(ウ)(オ)：$t=0$ で一方が山でなく途中の位相から始まっていたり、遅い側（破線）の方が密に振動していたりして、「$x$ が速い・両方 $t=0$ で山」という条件を満たさない。
静かに放す（初速 0）ので、$x,y$ とも $t=0$ で最大変位になる点が決め手。
同じ振り子でも、振動の向きによって実効的なひもの長さが変わることがある。長さが違えば周期が違う。「初速 0 で放す→$t=0$ は最大変位（$\cos$ 型）」も読み取りの決め手。
① 軌跡の式：$x,\ y$ がそれぞれ単振動するとき、初速 0 で放すので両方 $\cos$ 型。角振動数を $\omega_x,\ \omega_y$ として、
$$x = A_x\cos(\omega_x t), \qquad y = A_y\cos(\omega_y t)$$これは直交する2つの単振動の合成（リサジュー図形）。$\omega_x = \omega_y$ なら軌跡は1本の楕円（または直線）になるが、本問は $L_x \ne L_y$ より $\omega_x \ne \omega_y$。
② 周期がずれると軌跡は閉じない：$\omega_x > \omega_y$ なので $x$ の方が先に振動を進める。1往復ごとに $x$ と $y$ の位相関係が少しずつずれていくため、軌跡は1本の楕円を描かず、向きの異なる弧が次々に重なって網目状（格子状）に交差した図形になる。
③ グラフの選択：設問(6)の周期比 $T_x:T_y$ がおよそ $4:5$ 程度（$x$ が速い）であることから、$x,\ y$ ともに $\cos$ 型で振動数比が単純な整数比に近いリサジュー図形を選ぶ。原点 O を中心に、ほぼ正方形の領域内で複数の弧が交差する図がこれにあたる。
(ア) 直線：$\omega_x=\omega_y$ かつ同位相のときに限る。本問は周期が異なるので不適。
(オ) 1個の楕円／(エ) 傾いた楕円：これらも $\omega_x=\omega_y$（周期が等しい）場合の軌跡。周期がずれている本問では、軌跡は時間とともに少しずつ回転・変形し、1本の閉じた楕円にはならない。
網目状(イ)・(ウ)：$\omega_x\ne\omega_y$ の典型的なリサジュー図形。両振動とも $t=0$ で最大（角の点 $(A_x, A_y)$ から出発）し、$x$ が速い場合の対称な格子模様が最も適切。
直交2方向の単振動の合成＝リサジュー図形。周期（振動数）が等しいなら楕円・直線、異なるなら閉じない網目状の軌跡になる。設問(6)で「$T_x\ne T_y$」を導いたことが、ここで楕円を除外する根拠になる。