前期 大問Ⅱ：電磁気（点電荷とコンデンサー）

解法の指針

点電荷のつくる電場とコンデンサーの電気容量を扱う電磁気の総合問題です。

問題の構成

全体を貫くポイント

設問(1)：点電荷の電場

直感的理解
点電荷 $Q$ から距離 $r$ の位置の電場は、電荷から放射状に広がり、距離の2乗に反比例して弱くなる。これはクーロンの法則そのもの。

クーロンの法則より、点電荷 $Q$ から距離 $r$ の位置での電場の大きさ：

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

条件：電荷 3.0 × 10⁻⁸ C（30 nC）、距離 0.30 m、電場 3000 V/m。

具体的な計算：$Q = 3.0 \times 10^{-8}\,\text{C}$、$r = 0.30\,\text{m}$、$k = 9.0 \times 10^9\,\text{N·m}^2/\text{C}^2$ のとき、

$$E = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-8}}{0.30^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-8}}{0.090} = 3.0 \times 10^3\,\text{V/m}$$
📐 電位の計算

同じ条件での電位は：

$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-8}}{0.30} = 9.0 \times 10^2\,\text{V}$$

$E = -dV/dr$ の関係から、$V = Er = 3000 \times 0.30 = 900\,\text{V}$ と一致することが確認できます。

答え：
$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = 3.0 \times 10^3\,\text{V/m}$$
Point

電場は距離の2乗に反比例する。電気力線は点電荷から放射状に出て、等電位面は同心球面になる。

設問(2)：コンデンサーと誘電体

直感的理解
平行板コンデンサーに比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体を挿入すると、誘電体内部では分極により電場が弱まり、実質的に電気容量が $\varepsilon_r$ 倍になる。

誘電体（比誘電率 $\varepsilon_r$）を極板間に挿入すると：

$$C = \varepsilon_r \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

蓄えられるエネルギーは $U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S V^2}{2d}$ です。

具体的な計算：$\varepsilon_r = 4.0$、$S = 0.020\,\text{m}^2$、$d = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{m}$、$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{F/m}$、$V = 100\,\text{V}$ のとき、

$$C = 4.0 \times \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 0.020}{1.0 \times 10^{-3}} = 4.0 \times 1.77 \times 10^{-10} = 7.08 \times 10^{-10}\,\text{F} \fallingdotseq 0.71\,\text{nF}$$ $$U = \frac{1}{2} \times 7.08 \times 10^{-10} \times 100^2 = 3.5 \times 10^{-6}\,\text{J}$$
答え：
$$C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d} \fallingdotseq 0.71\,\text{nF}, \quad U = 3.5\,\mu\text{J}$$
Point

誘電体挿入により電気容量は $\varepsilon_r$ 倍になる。電圧一定なら蓄えられるエネルギーも $\varepsilon_r$ 倍になるが、電荷一定の場合はエネルギーが $1/\varepsilon_r$ 倍に減少する点に注意。