高さ \(h\) の台から水平投射されたボールの着地点、反発係数 \(e\) によるはね返り後の到達距離、そして2球の衝突・相対運動を扱う総合問題です。
ボールは水平方向には速さ \(v\) で等速直線運動し、鉛直方向には自由落下する。着地点は「落下にかかる時間 \(\times\) 水平速度」で決まる。高い台から投げるほど滞空時間が長く、水平到達距離も大きい。
ボール A は高さ \(h\) の台の端から水平右向きに速さ \(v\) で投げ出される。水平方向と鉛直方向を独立に考える。
鉛直方向：自由落下。初速度ゼロで高さ \(h\) を落下する時間 \(t_0\) は：
$$h = \frac{1}{2}gt_0^2 \quad \Rightarrow \quad t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$水平方向：等速直線運動。水平到達距離 \(x_A\) は：
$$x_A = v \cdot t_0 = v\sqrt{\frac{2h}{g}}$$着地時の鉛直速度は \(v_y = gt_0 = g\sqrt{2h/g} = \sqrt{2gh}\)。
着地時の速さは \(\sqrt{v^2 + 2gh}\) であり、初速と高さで決まる。
水平投射では水平方向に力がはたらかないので水平速度は不変。落下時間は水平速度に無関係で \(t_0 = \sqrt{2h/g}\) のみで決まる。
床に衝突すると鉛直速度が \(e\) 倍になってはね返る。水平速度は変わらない（滑らかな床）。はね返り後は「鉛直投げ上げ + 水平等速」の斜方投射になる。跳ね上がる高さは \(e^2 h\) に減り、滞空時間も短くなる。
ボールが床に衝突する直前の速度成分は：
反発係数 \(e\) の適用：滑らかな床なので、水平速度は不変。鉛直速度のみ反発する：
$$\text{はね返り後の鉛直速度} = e \cdot v_y = e\sqrt{2gh} \quad (\text{上向き})$$はね返り後の滞空時間：鉛直投げ上げの全滞空時間は「上昇 + 下降」で：
$$t_1 = \frac{2 \cdot e v_y}{g} = \frac{2e\sqrt{2gh}}{g} = 2e\sqrt{\frac{2h}{g}}$$1回目バウンド後の水平移動距離：
$$\Delta x_1 = v \cdot t_1 = v \cdot 2e\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2e \cdot v\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2e \cdot x_A$$したがって、2回目の着地点の \(x\) 座標は：
$$x_A + \Delta x_1 = x_A + 2e \cdot x_A = x_A(1 + 2e)$$1回目のバウンド後、ボールが到達する最高点の高さ \(h_1\) は：
$$h_1 = \frac{(e v_y)^2}{2g} = \frac{e^2 \cdot 2gh}{2g} = e^2 h$$\(n\) 回目のバウンド後の最高到達高さは \(h_n = e^{2n} h\) となる。
反発係数は床に垂直な速度成分にのみはたらく。滑らかな床では水平速度は衝突前後で変わらない。これは斜め衝突の基本原則。
\(k\) 回目のバウンド後の滞空時間は初回の \(e^k\) 倍に減る。水平移動距離も \(e^k\) 倍。全体は初項 \(2e\)、公比 \(e\) の等比級数の和になる。
\(k\) 回目（\(k \geq 1\)）のバウンド後の鉛直速度は \(e^k \sqrt{2gh}\)（上向き）なので、滞空時間は：
$$t_k = 2e^k \sqrt{\frac{2h}{g}}$$\(k\) 回目バウンド後の水平移動距離は：
$$\Delta x_k = v \cdot t_k = 2e^k \cdot v\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2e^k \cdot x_A$$\(n\) 回目のバウンド後の着地点 \(x_n\) は、初回着地 \(x_A\) に \(k=1\) から \(k=n\) までの水平移動距離を加えたもの：
$$x_n = x_A + \sum_{k=1}^{n} 2e^k \cdot x_A = x_A\!\left(1 + 2\sum_{k=1}^{n} e^k\right)$$等比級数の和の公式 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^k = e \cdot \frac{1-e^n}{1-e}\) を用いると：
$$x_n = x_A\!\left(1 + 2e \cdot \frac{1 - e^n}{1 - e}\right)$$\(0 < e < 1\) なので \(e^n \to 0\)（\(n \to \infty\)）。ボールが最終的に到達する位置は：
$$x_\infty = x_A\!\left(1 + \frac{2e}{1-e}\right) = x_A \cdot \frac{1+e}{1-e}$$例えば \(e = 0.7\) のとき \(x_\infty = x_A \cdot \frac{1.7}{0.3} \fallingdotseq 5.67\, x_A\)。
第 \(n\) 回着地点を \(X_n\) とおくと、漸化式は：
$$X_{n+1} = X_n + 2e^{n+1} x_A, \quad X_0 = 0, \quad X_1 = x_A$$これを逐次加算すると同じ等比級数の和になる。
等比級数の和 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} r^k = r\cdot\frac{1-r^n}{1-r}\) は入試頻出。\(k=0\) からの和 \(\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\) と混同しないこと。
ボール B は \(x = x_B\) の位置から自由落下する。A が水平投射で \(x_B\) に到達するまでの時間が、B が床に着くまでの時間より短ければ「B が落下中に A が追いつく」。つまり A の速度 \(v\) が十分に大きい必要がある。
A が \(x = x_B\) に到達する時間 \(t_A\) は：
$$t_A = \frac{x_B}{v}$$B が高さ \(h\) から自由落下して床に達する時間 \(t_B\) は：
$$t_B = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$A が B の位置に到達するまでに B がまだ落下中であるための条件は \(t_A < t_B\)：
$$\frac{x_B}{v} < \sqrt{\frac{2h}{g}}$$整理すると：
$$v > \frac{x_B}{\sqrt{2h/g}} = x_B\sqrt{\frac{g}{2h}}$$\(x_A = v\sqrt{2h/g}\) より \(\sqrt{2h/g} = x_A / v\) なので：
$$v > \frac{x_B}{x_A/v} = \frac{v \cdot x_B}{x_A}$$これは \(x_A > x_B\) を意味する。つまりA の着地点が B の位置より遠いことが条件。
「衝突の条件」は時間の比較に帰着する。A の水平移動時間 \(< \) B の落下時間、すなわち A が速く移動しなければならない。
同じ質量 \(m\) のボール同士の弾性衝突（\(e = 1\)）では、衝突方向（鉛直方向）の速度が交換される。水平方向は接触面に平行なので変化しない。A の鉛直速度が B に移り、B の鉛直速度が A に移る。
A と B は同じ質量 \(m\) で、同じ高さ \(h\) から同時に出発する。A は水平投射、B は自由落下。
衝突直前の速度：衝突は A が \(x_B\) に到達した時刻 \(t_c = x_B / v\) に起こる。
同じ質量 \(m\) で \(e = 1\) の弾性衝突の性質：
運動量保存則と反発係数の式を連立すると、同質量・弾性衝突では衝突方向の速度成分が交換される。
2球が同じ高さで衝突するとき、衝突は水平方向に起こる。したがって水平方向の速度成分が交換される：
$$\text{A}: \quad v_x = 0,\quad v_y = gt_c \quad (\text{下向き})$$ $$\text{B}: \quad v_x = v,\quad v_y = gt_c \quad (\text{下向き})$$ところでこの時刻の鉛直速度 \(gt_c\) は、衝突後にさらに落下を続けて床に達する。床到達時の鉛直速度は全落下で \(\sqrt{2gh}\) になる。
設問の「床との衝突後」を考える。\(e = 1\) で床と衝突すると鉛直速度が反転する：
$$\text{A（床衝突後）}: \quad (v,\; \sqrt{2gh}) \quad \text{（水平右向き、鉛直上向き）}$$ $$\text{B（床衝突後）}: \quad (0,\; -\sqrt{2gh}) \quad \text{ではなく } (0,\; \sqrt{2gh})$$ここで注意：B は水平速度 \(v\) を持って落下し、床で \(e=1\) ではね返る。
質量 \(m\) の2球 A, B の衝突方向の速度を \(u_A, u_B\) とする。
運動量保存：\(mu_A + mu_B = mu_A' + mu_B'\) → \(u_A + u_B = u_A' + u_B'\)
反発係数：\(e = 1\) より \(u_B' - u_A' = u_A - u_B\)
連立して解くと \(u_A' = u_B,\; u_B' = u_A\)。衝突方向の速度が完全に交換される。
同質量の弾性衝突（\(e=1\)）は速度交換。衝突方向（ここでは水平方向）の速度成分のみが入れ替わり、垂直成分は変わらない。
A を角度 \(\theta\) で斜方投射し、自由落下する B に当てる。A の位置を時刻の関数で表し、\(x = x_B\) となる時刻での A の高さを求める。そのとき B もその高さにいなければならない。
A は \(x = 0\)、高さ \(h\) の位置から、水平と角度 \(\theta\) をなす方向に速さ \(V\) で投射される。時刻 \(t\) での A の位置は：
$$x_A(t) = V\cos\theta \cdot t$$ $$y_A(t) = h + V\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$B は \(x = x_B\)、高さ \(H\) から同時に自由落下する。B の位置は：
$$x_B(t) = x_B \quad (\text{一定})$$ $$y_B(t) = H - \frac{1}{2}gt^2$$衝突の条件：\(x_A(t_c) = x_B\) かつ \(y_A(t_c) = y_B(t_c)\)。
\(x_A(t_c) = x_B\) より衝突時刻は：
$$t_c = \frac{x_B}{V\cos\theta}$$\(y_A(t_c) = y_B(t_c)\) の条件から：
$$h + V\sin\theta \cdot t_c - \frac{1}{2}gt_c^2 = H - \frac{1}{2}gt_c^2$$\(-\frac{1}{2}gt_c^2\) が両辺で相殺されるのがポイント。整理すると：
$$H = h + V\sin\theta \cdot t_c = h + V\sin\theta \cdot \frac{x_B}{V\cos\theta}$$ $$H = h + x_B \tan\theta$$ただしこれは「衝突が起こる場合」の条件。一般には重力項も考慮した完全な式は：
$$H = h + x_B\tan\theta - \frac{g x_B^2}{2V^2\cos^2\theta}$$（上の \(-\frac{1}{2}gt_c^2\) の相殺は \(y_A\) 側にも重力項があることから成立する。相殺後の結果がこの式。）
\(y_A\) と \(y_B\) はどちらも同じ \(-\frac{1}{2}gt_c^2\) を含む。これは A も B も同じ重力加速度 \(g\) で落下するからである。
衝突条件 \(y_A = y_B\) で重力項が消えるということは、衝突するかどうかは重力に依存しない（ただし \(t_c\) は重力に無関係に水平移動で決まるので整合する）。
これは「モンキーハンティング」と同じ原理：狙った方向に投げれば、両者が同じ重力で落ちるため必ず当たる。
自由落下する標的に当てるには、重力がなければ当たる方向に投げればよい。両者の重力落下が相殺するからである。これは「モンキーハンティング問題」として有名。
B は自由落下中。A も重力加速度 \(g\) で落下中。B の立場から見ると、A にはたらく重力と B にはたらく重力が同じなので「重力が消える」。すると A は初速度の方向にまっすぐ進むように見える。
B から見た A の運動を考える。B の加速度は \((0, -g)\)（自由落下）。A の加速度も \((0, -g)\)。
相対加速度：
$$\vec{a}_{A/B} = \vec{a}_A - \vec{a}_B = (0, -g) - (0, -g) = (0, 0)$$相対加速度がゼロなので、B から見た A は等速直線運動をする。
B から見た A の相対速度（初速）：
$$\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B = (V\cos\theta,\; V\sin\theta) - (0,\; 0) = (V\cos\theta,\; V\sin\theta)$$この相対速度は水平から角度 \(\theta\) の方向（右上がり）。したがって B から見ると A は \(\theta\) の角度で直線的に近づいてくる。
猿が木の枝にぶら下がっていて、ハンターが猿に向けて弾を撃つ。猿は弾が発射された瞬間に手を離して落下する。
弾も猿も同じ重力加速度 \(g\) で落下するため、猿から見た弾は初速度の方向にまっすぐ飛んでくる。したがって猿に向けて撃てば必ず当たる。
本問の設問(8)で重力項 \(-\frac{1}{2}gt^2\) が相殺されたのも、この原理の数式的表現である。
B の位置 \((x_B, H - \frac{1}{2}gt^2)\) を原点に取った相対座標系で A の位置を表す：
$$X_{A/B}(t) = V\cos\theta \cdot t - x_B$$ $$Y_{A/B}(t) = (h - H) + V\sin\theta \cdot t$$\(t\) を消去すると：
$$Y_{A/B} = (h-H) + \tan\theta \cdot (X_{A/B} + x_B)$$これは傾き \(\tan\theta\) の直線である。
同じ重力場にある2物体の相対運動では重力が消える。相対運動は「重力のない世界」と同じ。この考え方は宇宙ステーション内での無重力状態の説明にも使われる。