前期 問題Ⅱ：電磁気（ソレノイドと電磁誘導）

解法の指針

ソレノイドの磁場と電磁誘導を扱う電磁気の総合問題です。ファラデーの法則と自己誘導を組み合わせます。

問題の構成

全体を貫くポイント

設問(1)：ソレノイドの磁場

直感的理解
ソレノイド（長いコイル）の内部では磁力線がほぼ平行で一様な磁場が生じる。磁場の強さは単位長さあたりの巻き数 $n$ と電流 $I$ に比例する。

長さ $l$、巻き数 $N$ のソレノイドに電流 $I$ を流したとき、内部の磁場：

$$B = \mu_0 n I = \mu_0 \frac{N}{l} I$$

条件：巻き数 500 回、長さ 0.25 m、電流 2.0 A。

具体的な計算：$N = 500$ 回巻き、$l = 0.25\,\text{m}$、$I = 2.0\,\text{A}$、$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{T·m/A}$ のとき、

$$n = \frac{N}{l} = \frac{500}{0.25} = 2000\,\text{回/m}$$ $$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 2.0 = 5.03 \times 10^{-3}\,\text{T} \fallingdotseq 5.0\,\text{mT}$$
📐 磁束の計算

断面積 $S = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^2$ のソレノイドを貫く磁束は：

$$\Phi = BS = 5.0 \times 10^{-3} \times 1.0 \times 10^{-3} = 5.0 \times 10^{-6}\,\text{Wb}$$

全巻き数を考慮した鎖交磁束は $N\Phi = 500 \times 5.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{-3}\,\text{Wb}$ です。

答え：
$$B = \mu_0 n I \fallingdotseq 5.0\,\text{mT}$$
Point

ソレノイド内部の磁場は一様で、位置によらず一定。外部の磁場はほぼゼロ。

設問(2)：電磁誘導

直感的理解
コイルを貫く磁束が時間変化すると、その変化を妨げる向きに誘導起電力が発生する（レンツの法則）。変化が速いほど誘導起電力は大きくなる。

ファラデーの電磁誘導の法則：

$$\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt}$$

自己インダクタンス $L$ のコイルでは $\mathcal{E} = -L\frac{dI}{dt}$、蓄えられるエネルギーは：

$$U = \frac{1}{2}LI^2$$

具体的な計算：$L = 0.10\,\text{H}$、$I = 2.0\,\text{A}$ のとき、

$$U = \frac{1}{2} \times 0.10 \times 2.0^2 = 0.20\,\text{J}$$

電流を $0.10\,\text{s}$ で $2.0\,\text{A}$ から $0$ に減少させると、

$$\mathcal{E} = -L\frac{\Delta I}{\Delta t} = -0.10 \times \frac{0 - 2.0}{0.10} = 2.0\,\text{V}$$
🔬 コンデンサーとの対称性

コイルの $U = \frac{1}{2}LI^2$ はコンデンサーの $U = \frac{1}{2}CV^2$ と対称的な形をしています。LC回路では両者間でエネルギーが往復し、角振動数 $\omega = 1/\sqrt{LC}$ の電気振動が生じます。

答え：
$$U = \frac{1}{2}LI^2 = 0.20\,\text{J}, \quad \mathcal{E} = 2.0\,\text{V}$$
Point

誘導起電力は磁束の時間変化率に比例する。自己インダクタンスに蓄えられるエネルギー $\frac{1}{2}LI^2$ はコンデンサーのエネルギー $\frac{1}{2}CV^2$ と対称的な形をしている。