凸レンズの結像（写像公式・倍率）から始まり、二等辺三角形プリズムによる微小角の屈折・偏角、そしてプリズムを「波面を二つに分けて互いに傾けて重ねる装置（バイプリズム）」とみなした波面分割による干渉へとつながる総合問題です。
被写体を焦点より内側（$\ell_1
スライダーで $\ell_1$ を変えると、像の位置・大きさ・正立／倒立がどう変わるかを確認できます。写像公式と倍率の式が解法の核です。
立式：凸レンズの写像公式と倍率 $m$ は
$$\frac{1}{\ell_1}+\frac{1}{\ell_2}=\frac{1}{f},\qquad m=\left|\frac{\ell_2}{\ell_1}\right|$$ここで $\ell_2>0$ なら反対側にできる実像、$\ell_2<0$ なら被写体と同じ側にできる正立の虚像です。
(あ)(い)(う) $\ \ell_1=\dfrac{2}{3}f$ のとき：写像公式に代入して
$$\frac{1}{\ell_2}=\frac{1}{f}-\frac{1}{\frac{2}{3}f}=\frac{1}{f}-\frac{3}{2f}=-\frac{1}{2f}$$ $$\therefore\ \ell_2=-2f$$$\ell_2<0$ なので像はレンズの左側（被写体と同じ側）に距離 $2f$ の位置にできます（(あ)$=2$）。倍率は
$$m=\left|\frac{\ell_2}{\ell_1}\right|=\frac{2f}{\frac{2}{3}f}=3$$よって (い)$=3$ 倍。$\ell_1
(え)(お)(か) 被写体と同じ大きさの像：同じ大きさ ⇔ 倍率 $m=1$ ⇔ $\ell_2=\ell_1$。写像公式に $\ell_2=\ell_1$ を代入すると
$$\frac{2}{\ell_1}=\frac{1}{f}\quad\Rightarrow\quad \ell_1=2f,\ \ \ell_2=2f$$よって (え)$=2$、(お)$=2$。$\ell_1>f$ なのでスクリーンに映る倒立の実像（(か)$=$ (エ)）です。
$\ell_1=\frac{2}{3}f $\ell_1=2f$ では 2 本の光線が右側 $\ell_2=2f$ で交わり、物体と同じ大きさの倒立実像となる。
符号がカギ。$\ell_2<0$ は虚像（同じ側・正立）、$\ell_2>0$ は実像（反対側・倒立）。「同じ大きさ」は $m=1$ ⇔ $\ell_1=\ell_2=2f$ という有名な配置。
光は面 $\mathrm{A_1A_2B_2B_1}$ に垂直入射するのでそこでは曲がらず、まっすぐプリズム内を進む。曲がるのは出口の斜面 $\mathrm{A_1A_2C_2C_1}$。出口面の法線に対し、内側では入射角 $\alpha$、外側では屈折角 $\beta$ となり、これに屈折の法則を当てはめるだけ。
頂角 $\alpha$・屈折率 $n$ を変えると、出口面での屈折角 $\beta$ と偏角 $\theta$ がどう変わるかを観察できます。
幾何：入射光は面 $\mathrm{A_1A_2B_2B_1}$ に垂直なので、そこで曲がらずに直進します。出口の斜面 $\mathrm{A_1A_2C_2C_1}$ は入射面と頂角 $\alpha$ をなすので、出口面の法線に対する内側からの入射角は $\alpha$ になります。
立式：出口面で屈折の法則（プリズム→空気、空気の屈折率は $1$）を適用すると
$$n\sin\alpha = 1\cdot\sin\beta$$これを $n$ について解き、微小角近似 $\sin\alpha\fallingdotseq\alpha,\ \sin\beta\fallingdotseq\beta$ を用いると
$$n=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\fallingdotseq\frac{\beta}{\alpha}$$断面 ABC は頂角を $\mathrm{A}$ とする二等辺三角形で、頂角が $\alpha$。入射面（垂直面）と出口面（斜面）のなす角は頂角 $\alpha$ に等しい。光線は入射面の法線方向（＝水平）に進むので、出口面の法線とは $\alpha$ だけ傾く。これが内側からの入射角 $\alpha$ の正体。「直角どうしの 2 辺がなす角は、もとの 2 直線がなす角に等しい」という幾何関係です。
垂直入射の面では屈折しない。曲がるのは斜めの出口面だけ。頂角 $\alpha$ がそのまま出口面での入射角になる点を図で確認すること。
偏角 $\theta$ とは「光線が元の進行方向からどれだけ曲げられたか」。出口面で内側の角 $\alpha$ から外側の角 $\beta$ に開くので、曲がった分は $\beta-\alpha$。屈折率が大きいほど大きく曲がる。
緑の点をドラッグして $\alpha$ を、スライダーで $n$ を変えると、$\theta=(n-1)\alpha$ の比例関係（傾きが $n-1$）が見えます。
立式：偏角は「曲げられた角度」なので、出口面での屈折角 $\beta$ と入射角 $\alpha$ の差です（図2右の $\theta=\beta-\alpha$）：
$$\theta=\beta-\alpha$$設問(2) より微小角では $\beta=n\alpha$。これを代入すると
$$\theta=n\alpha-\alpha=(n-1)\alpha$$入射光は出口面の法線に対し角 $\alpha$ で内側から当たり、屈折して法線に対し角 $\beta$ で出る。法線をはさんで「内側 $\alpha$、外側 $\beta$」と開くので、もとの直進方向からのずれ（偏角）は外側 $\beta$ から内側 $\alpha$ を引いた $\beta-\alpha$ になる。$n>1$ なら $\beta>\alpha$ なので $\theta>0$、つまり必ず頂角の側から底面の側へ曲がる。
頂角の小さいプリズムの偏角は$\theta=(n-1)\alpha$。$n$ にも $\alpha$ にも比例して大きくなる、覚えておくと得な関係。
プリズムを出た光線はすべて角 $\theta$ だけ光軸に向かって曲げられ、上半分は下へ、下半分は上へ進む。これらは光軸に近づきながら進み、いずれ光軸を横切る。光軸から最も遠い（高さ $d/2$）光線が光軸に到達する距離が限界。それより遠いスクリーンでは、すべての光線がすでに光軸を通り過ぎてしまい、点 O に届く光が無くなる。
$L$ を大きくしていくと、ある距離で光線が点 O より手前で光軸を横切り、O に届かなくなる様子が見えます。その境界が $L_c$ です。
幾何：プリズムを出た光線は光軸に対し角 $\theta$ で光軸に近づく向きに進みます。レンズ（＝プリズム）の直径は $d$ なので、光軸から最も離れた光線の高さは $\dfrac{d}{2}$ です。この光線が水平距離 $L$ 進む間に下がる高さは（微小角で $\tan\theta\fallingdotseq\theta$）
$$\Delta x = L\tan\theta \fallingdotseq L\theta$$立式：この最も外側の光線が点 O（光軸上、高さ $0$）に到達するのは、下がった高さがちょうど $\dfrac{d}{2}$ になるときです：
$$L_c\,\theta=\frac{d}{2}$$これを $L_c$ について解くと
$$L_c=\frac{d}{2\theta}$$$L>L_c$ では、最も外側の光線でさえ O より手前で光軸を横切ってしまい、O に届く光線が存在しなくなります（$\ell$ は不要）。
$\ell$ は「凸レンズから光が平行になるよう調整する距離」であり、プリズムに入る光を平行光（均一な平面波）にするための条件にすぎない。点 O に届くかどうかは、プリズムを出てからスクリーンまでの偏向の幾何だけで決まるので、$L_c$ には $d$ と $\theta$ だけが現れる。
「最も外側の光線（高さ $d/2$）が光軸に届く距離」が限界。$\tan\theta\fallingdotseq\theta$ の微小角近似で$L_c=\dfrac{d}{2\theta}$。
2 つの平面波は光軸に対し $\pm\theta$ 傾いてスクリーンに当たる。斜めに当たる平面波では、波面に垂直な「真っすぐな道のり」を考えると、点が $x_P$ ずれるごとに進む距離が $x_P\sin\theta$ ずつ変わる（斜め入射の回折格子と同じ幾何）。これが経路差の正体。
スライダーで $x_P$ を変えると、$\pm\theta$ で交わる 2 つの平面波の経路差が $x_P$ に比例して変わる様子を確認できます。
幾何：平面波 1 は光軸に対し角 $\theta$ で上から下へ、平面波 2 は角 $\theta$ で下から上へ進み、スクリーンに当たります。問題の設定より、点 O への経路長は等しく $\overline{\mathrm{a'O}}=\overline{\mathrm{b'O}}$（O では経路差 $0$）です。点 P は O より高さ $x_P$ だけ上にあります。
(あ) $|\overline{\mathrm{aP}}-\overline{\mathrm{a'O}}|$：平面波 1 にとって、点 P は O より波の進行方向の手前側にあります。同一波面上の点 $\mathrm{a},\mathrm{a'}$ から下ろした垂線（波面に垂直）で経路長を比べると、その差は P の高さ $x_P$ を斜め入射方向に投影した量です：
$$|\overline{\mathrm{aP}}-\overline{\mathrm{a'O}}|=x_P\sin\theta$$(い) $|\overline{\mathrm{bP}}-\overline{\mathrm{b'O}}|$：平面波 2 にとって、点 P は O より波の進行方向の奥側になりますが、大きさは同じく $x_P$ の投影で
$$|\overline{\mathrm{bP}}-\overline{\mathrm{b'O}}|=x_P\sin\theta$$(う) $|\overline{\mathrm{aP}}-\overline{\mathrm{bP}}|$：これは点 P における 2 波の経路差そのものです。$\overline{\mathrm{a'O}}=\overline{\mathrm{b'O}}$ を基準にすると、波 1 は $x_P\sin\theta$ だけ短く、波 2 は $x_P\sin\theta$ だけ長くなるので、その差は
$$|\overline{\mathrm{aP}}-\overline{\mathrm{bP}}|=2x_P\sin\theta$$これは「2 つの平行光（平面波）を角 $2\theta$ で交差させて作る干渉縞」（バイプリズム干渉）の標準形。一方の波は $+x_P\sin\theta$、もう一方は $-x_P\sin\theta$ ずれるので、P での経路差は和の $2x_P\sin\theta$ になる。$x_P=0$（点 O）では $0$ で、設定 $\overline{\mathrm{a'O}}=\overline{\mathrm{b'O}}$ と整合する。
斜め入射の平面波は、スクリーン上で $x_P$ ずれるごとに経路が$x_P\sin\theta$ ずつ変化。互いに逆向きに $\pm\theta$ 傾くので、2 波の経路差は $2x_P\sin\theta$。
2 つの波が「山と山」「谷と谷」でぴったり重なれば強め合う。これは経路差が波長 $\lambda$ の整数倍のとき。設問(5) で経路差は $2x_P\sin\theta$ と分かっているので、それを $m\lambda$ と置くだけ。
$\theta$ や $\lambda$ を変えると、明線（●）の位置がどう動くかが見えます。$\theta$ が大きいほど縞は密に、$\lambda$ が大きいほど縞は疎になります。
立式：点 P での 2 波の経路差は設問(5) より $2x_P\sin\theta$。強め合う（明線になる）条件は経路差が波長の整数倍なので
$$2x_P\sin\theta=m\lambda\qquad(m=0,1,2,\dots)$$経路差 $\Delta=2x_P\sin\theta$ に対応する位相差は $\delta=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta=\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2x_P\sin\theta$。$\delta=2\pi m$ のとき強め合い、これは $2x_P\sin\theta=m\lambda$ と同じ。両波は同位相で出発し、途中に半波長のずれ（反射による位相反転など）が無いので、$+\tfrac12$ の補正は不要。
明線条件は経路差 $=m\lambda$。経路差 $2x_P\sin\theta$ をそのまま $m\lambda$ と等値するだけ。$x_P\ge0$ なので $m=0,1,2,\dots$。
隣り合う明線（$m$ と $m+1$）の高さの差が縞の間隔。明線条件 $2x_P\sin\theta=m\lambda$ で $m$ を $1$ だけ増やすと $x_P$ がどれだけ増えるかを計算するだけ。
赤い点をドラッグして $\theta$ を変えると、$\Delta x=\dfrac{\lambda}{2\sin\theta}$ が $\theta$ の増加とともに小さくなる（縞が密になる）ことが分かります。
立式：明線条件 $2x_P\sin\theta=m\lambda$ より、$m$ 番目の明線の位置は
$$x_P^{(m)}=\frac{m\lambda}{2\sin\theta}$$隣り合う明線の間隔は $m\to m+1$ の差なので
$$\Delta x=x_P^{(m+1)}-x_P^{(m)}=\frac{(m+1)\lambda}{2\sin\theta}-\frac{m\lambda}{2\sin\theta}=\frac{\lambda}{2\sin\theta}$$具体的な値を入れて感覚をつかみましょう。波長 $\lambda = 600\ \text{nm} = 6.0\times10^{-7}\ \text{m}$、屈折率 $n = 1.5$、頂角 $\alpha = 1.0°= 1.7\times10^{-2}\ \text{rad}$ とします。まず偏角は設問(3) より
$$\theta=(n-1)\alpha=(1.5-1)\times 1.7\times10^{-2}=8.5\times10^{-3}\ \text{rad}$$微小角なので $\sin\theta\fallingdotseq\theta$。明線間隔は
$$\Delta x=\frac{\lambda}{2\sin\theta}\fallingdotseq\frac{6.0\times10^{-7}}{2\times 8.5\times10^{-3}}\fallingdotseq 3.5\times10^{-5}\ \text{m}=3.5\times10^{-2}\ \text{mm}$$つまり明線は約 $0.035\ \text{mm}$ 間隔で並びます。頂角 $\alpha$ をこの $2$ 倍にすると $\theta$ も $2$ 倍になり、間隔は半分の約 $0.018\ \text{mm}$ に狭まります。
$\theta$ が微小なら $\sin\theta\fallingdotseq\theta$ なので $\Delta x\fallingdotseq\dfrac{\lambda}{2\theta}$。さらに $\theta=(n-1)\alpha$ を代入すると $\Delta x\fallingdotseq\dfrac{\lambda}{2(n-1)\alpha}$。プリズムの頂角や屈折率が小さいほど縞が広がる。
明線間隔は$\Delta x=\dfrac{\lambda}{2\sin\theta}$。$\theta$ が大きいほど縞は密、$\lambda$ が大きいほど縞は疎。
2 つの平面波が重なっている領域だけに干渉縞ができる。重なっていない領域は 1 つの波だけが届くので一様な明るさ（平坦）。スクリーンを近づける／遠ざけると、2 つの波の帯がどこで重なるかが変わる。$L
スライダーで $L$ を変えると、2 つの帯（青＝平面波1、赤＝平面波2）の重なり方が変わり、縞のできる領域が移動します。$L_c$ を境に重なり方が劇的に変わります。
考え方：プリズム上半分から出た平面波 1 は下へ、下半分から出た平面波 2 は上へ角 $\theta$ で進みます。プリズム位置で各帯は幅 $\dfrac{d}{2}$。距離 $L$ 進むと各帯は $L\theta$ だけ平行移動します。$x$ 座標（上向き正）で帯の範囲は
$$\text{平面波1：}\ \left[-L\theta,\ \tfrac{d}{2}-L\theta\right],\qquad \text{平面波2：}\ \left[-\tfrac{d}{2}+L\theta,\ L\theta\right]$$2 つの帯が重なる領域だけ干渉縞（強度 $0\sim4I_0$ で振動）ができ、片方の帯だけの領域は一様な明るさ $I_0$、どちらも来ない領域は暗くなります。
(あ) $L
(い) $L>L_c$ の場合：$L\theta>\dfrac{d}{2}$ なので 2 つの帯は行き違って完全に分離します（平面波1は $x<0$ 側、平面波2は $x>0$ 側）。中央には光が来ない隙間ができ、左右に一様な帯（強度 $I_0$）が残るだけで縞は生じません。よって「中央が空き・左右に等しい高さの平坦域」の (カ) が適切です。
| 場合 | 重なり | 強度分布 | 選択肢 |
|---|---|---|---|
$L| 中央で重なる | 中央に縞＋両側に平坦域 | (ウ) | |
| $L>L_c$ | 分離（中央に隙間） | 左右に等高の平坦域のみ | (カ) |
1 本の平面波だけが届く領域の強度を $I_0$ とすると、2 波が強め合う点では振幅が 2 倍、強度は $2^2=4$ 倍の $4I_0$ になる（弱め合う点は $0$）。だから重なり領域の縞の山は、単独領域の平坦な明るさ $I_0$ より高い。選択肢 (ア) は平坦域が縞の山と同じ高さに描かれており不適。(ウ) は平坦域 $I_0$・縞の山 $4I_0$ の高低差が表現されている。
(い) で (オ) は中央にも平坦域がある形で、これは「中央でも片方の光が届く」ことを意味するが、$L>L_c$ では中央は完全に空くので不適。(カ) のように左右だけ等しい高さで中央が空くのが正しい。
縞は 2 波の重なり領域だけ。$L
明線間隔 $\Delta x=\dfrac{\lambda}{2\sin\theta}$ は分子に $\lambda$ がある。波長を長くすれば分子が増える。さらにこのプリズムは波長が長いほど屈折率 $n$ が下がる（分散）ので偏角 $\theta=(n-1)\alpha$ も小さくなり、分母も減る。分子が増え・分母が減るので、間隔は確実に広がる。
緑の点を右（波長大）へドラッグすると、明線間隔 $\Delta x$ が単調に増加することが確認できます。分散を考えると増加はさらに強まります。
立式：明線間隔は設問(7)・(3) より
$$\Delta x=\frac{\lambda}{2\sin\theta}\fallingdotseq\frac{\lambda}{2\theta}=\frac{\lambda}{2(n-1)\alpha}$$波長 $\lambda$ を長くすると：
2 つの効果がどちらも同じ向きに働くので、明線間隔は確実に広くなる。
仮に $n$ が一定（分散なし）でも、$\Delta x=\dfrac{\lambda}{2(n-1)\alpha}$ は $\lambda$ に比例するので波長を長くすれば間隔は広がる。ここに「$n$ が小さくなる」という分散効果が加わると、$\Delta x\propto\dfrac{\lambda}{n-1}$ がさらに増える。だから「変化しない (ア)」「狭くなる (イ)」は誤り。
よくある誤りは「$n$ が小さくなる＝曲がりにくい＝縞が狭まる」と早合点すること。実際は $\theta$ が小さくなると縞は広がる（$\Delta x\propto 1/\theta$）ので、向きに注意。
$\Delta x=\dfrac{\lambda}{2(n-1)\alpha}$。波長↑で分子↑・（分散で）分母↓の両方が効くので、間隔は明確に広がる。