解法の指針

平行平板コンデンサー（極板面積 $S$、極板間隔 $d$）の極板 A にばね ($k$) がつながっており、電源（電圧 $V$）とスイッチで接続。コンデンサーに蓄えられる電気量・エネルギー・極板間引力、スイッチ閉開時のエネルギーの収支、そして振動の周期を求める。

問題の構成

• (あ) 初期電気量 $Q_0$
• (い) 極板間電場 $E$
• (う) 極板間引力 $F$
• (え)(お) 静電エネルギーの位置依存性
• (か)(き)(く) 電気量・仕事率・外力仕事
• (け)(こ) ばね付きシステムの振動周期

(あ) 初期電気量 Q_0

平行平板コンデンサーの静電容量：

$$C = \frac{\epsilon_0 S}{d}$$

電圧 $V$ のときの電気量：

$$Q_0 = C V = \frac{\epsilon_0 S V}{d}$$

補足：真空の誘電率

$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m。媒質中では $\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0$。

(い) 極板間電場 E

極板間の一様電場：

$$E = \frac{V}{d} = \frac{Q}{\epsilon_0 S}$$

補足：ガウスの法則から

無限平板の片側電場 $E_1 = \sigma/(2\epsilon_0)$。2枚の平板（反対電荷）で挟むと内部では $E = \sigma/\epsilon_0 = Q/(\epsilon_0 S)$。

(う) 極板間引力 F

コンデンサーの極板間引力は、片方の極板が作る電場が他方の極板に及ぼす力。無限平板1枚の電場は $E_1 = \sigma/(2\epsilon_0) = Q/(2\epsilon_0 S)$。もう一方の極板の電荷 $Q$ に働く力：

$$F = Q \cdot E_1 = Q \cdot \frac{Q}{2 \epsilon_0 S} = \frac{Q^2}{2 \epsilon_0 S}$$

$Q = \epsilon_0 S V/d$ を代入：

$$F = \frac{(\epsilon_0 S V/d)^2}{2 \epsilon_0 S} = \frac{\epsilon_0 S V^2}{2 d^2}$$

補足：なぜ E の半分か

極板 A 内の電場は「A 自身から半分 $+E/2$、B から $+E/2$」の和。A 自身の電場は自己相互作用なので力には寄与しない（内部エネルギーの再分配）。極板間の電場 $E$ は両者の和で、A が受ける力は B からの寄与のみ $E/2$ 倍。

(え) 初期静電エネルギー U_0

コンデンサーの静電エネルギー：

$$U_0 = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\epsilon_0 S}{d} V^2 = \frac{\epsilon_0 S V^2}{2 d}$$

補足：エネルギー密度

電場のエネルギー密度 $u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$。コンデンサーの場合、体積 $Sd$ で積分すると同じ結果。

(お) 極板間隔 d+x の静電エネルギー U(x)

極板 A が $x$ だけ動き、極板間隔が $d + x$ になったときの静電容量：

$$C(x) = \frac{\epsilon_0 S}{d + x}$$

スイッチ開放（電気量 $Q = Q_0$ 一定）の場合：

$$U(x) = \frac{Q_0^2}{2 C(x)} = \frac{Q_0^2 (d + x)}{2 \epsilon_0 S}$$

スイッチ閉（電圧 $V$ 一定）の場合：

$$U(x) = \frac{1}{2} C(x) V^2 = \frac{\epsilon_0 S V^2}{2(d + x)}$$

補足：スイッチ開閉の違い

$Q$ 一定：極板を引き離すと $U$ 増加（抗力が仕事をする）。$V$ 一定：$U$ 減少（電源にエネルギーが戻る）。

(か) Δx 変化時の ΔQ

$Q(x) = CV = \epsilon_0 S V/(d + x)$。微分：

$$\frac{dQ}{dx} = -\frac{\epsilon_0 S V}{(d + x)^2}$$

$x \ll d$ のとき：

$$\Delta Q \simeq -\frac{\epsilon_0 S V}{d^2} \Delta x$$

極板間隔が増える（$\Delta x > 0$）と電気量は減る（$\Delta Q < 0$）。電源側に電流が戻る。

補足：テイラー展開

$Q(x) = Q_0 \cdot d/(d+x) = Q_0(1 - x/d + O(x^2))$。線形項のみ残す近似。

(き) 単位時間の仕事率 P

電源は電圧 $V$ で電流 $i = dQ/dt$ を流す。単位時間あたりの仕事率：

$$P = V \cdot i = V \cdot \frac{dQ}{dt}$$

設問(か)の結果から $dQ/dt = (dQ/dx)(dx/dt) = -\frac{\epsilon_0 S V}{d^2} v$（$v$ は極板 A の速度）：

$$P = -\frac{\epsilon_0 S V^2}{d^2} v$$

補足：電源のエネルギー収支

電源は電気量を流すか受け取るかで仕事をする。$Q$ が減るとき（極板間隔が開くとき）、電源はエネルギーを受け取る（$P < 0$）。

(く) 外力の仕事 W_ext

極板 A を $\Delta x$ 動かすエネルギー保存：

$$W_\text{ext} = \Delta U - V \Delta Q$$

$\Delta U$ は静電エネルギー変化、$V \Delta Q$ は電源が供給したエネルギー（正の $\Delta Q$ なら電源が仕事する）。

$V$ 一定の場合：$\Delta U = \frac{1}{2} V \Delta Q$（$\Delta Q < 0$ なら $\Delta U < 0$）。

$$W_\text{ext} = \frac{1}{2} V \Delta Q - V \Delta Q = -\frac{1}{2} V \Delta Q$$

$\Delta Q < 0$（極板を引き離す）なら $W_\text{ext} > 0$、すなわち外力が正の仕事をする。

別解：極板間引力の仕事

外力 $W_\text{ext} = F \Delta x = (\epsilon_0 S V^2/(2 d^2)) \Delta x$。これは上と一致する。

(け) 静電容量 C(x)

極板間隔 $d + x$ での静電容量：

$$C(x) = \frac{\epsilon_0 S}{d + x}$$

$x \ll d$ の近似：

$$C(x) \simeq \frac{\epsilon_0 S}{d}\left(1 - \frac{x}{d}\right) = C_0 (1 - x/d)$$

補足：C の変化率

$dC/dx = -\epsilon_0 S/(d+x)^2 \simeq -C_0/d$。極板を引き離すと $C$ が減る。

(こ) 単振動の周期 T

極板 A の運動方程式（変位 $x$ は平衡位置から）：

$$m \ddot{x} = -k x - F(x)$$

$F(x) = \epsilon_0 S V^2 / [2(d + x)^2]$ を $x = 0$ 周りで展開：

$$F(x) \simeq F_0 \left(1 - \frac{2 x}{d}\right), \quad F_0 = \frac{\epsilon_0 S V^2}{2 d^2}$$

運動方程式の線形化：

$$m \ddot{x} = -k x - F_0 + \frac{2 F_0}{d} x = -\left(k - \frac{2 F_0}{d}\right) x - F_0$$

平衡位置のずれ $x_0 = -F_0/(k - 2F_0/d)$、単振動の周期：

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k - 2 F_0 / d}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k - \epsilon_0 S V^2/d^3}}$$

補足：安定条件

$k > \epsilon_0 S V^2/d^3$ でないと有効ばね定数が負になり、系は不安定（極板が引き寄せ合ってくっつく）。これはコンデンサー引力がばね復元力を上回る「プルインアスタビリティ」。MEMS デバイスで重要。

総合理解と関連トピック

物理問題解法の一般的フロー：

1. 状況把握：図を描き、物体・力・速度・エネルギーをベクトル/スカラーで整理する。与えられた量と求めるべき量を明確に区別する
2. 原理選択：運動量保存則、エネルギー保存則、運動方程式のどれが最適か判断する。各問題で最適な手法は異なるため、問題の構造を見抜く力が必要
3. 立式：文字式で書き、次元（単位）の正しさをチェック。時間 [s]、長さ [m]、質量 [kg] など各量の次元を確認する
4. 数値代入：SI 単位に揃えて代入、有効数字を意識する。計算の途中で単位を書くと誤算防止に役立つ
5. 結果検証：物理的に合理的な値か確認。極限値（$\theta \to 0$、$m \to \infty$ など）を試して公式の整合性をチェック

よく使う近似・公式まとめ：

• 小角近似：$\sin\theta \simeq \theta$, $\cos\theta \simeq 1 - \theta^2/2$, $\tan\theta \simeq \theta$ （$\theta \ll 1$、ラジアン）
• テイラー展開：$(1 + x)^n \simeq 1 + nx$, $e^x \simeq 1 + x + x^2/2$, $\ln(1+x) \simeq x$ （$|x| \ll 1$）
• 運動量保存：外力が無視できる系では $\sum_i m_i \vec{v}_i = $ 一定（時間に依らず保存）
• エネルギー保存：保存力のみ働く系では $K + U = $ 一定（$K$: 運動エネルギー、$U$: 位置エネルギー）
• 円運動の向心力：$F = m v^2/r$（径方向、円の中心向き）
• 単振動の周期：$T = 2\pi\sqrt{m/k}$（復元力 $F = -kx$ の形）
• 熱力学第1法則：$\Delta U = Q - W$（$Q$: 吸熱、$W$: 気体の仕事）
• クーロン則：$F = k_e q_1 q_2 / r^2$（$k_e \simeq 9 \times 10^9$ Nm²/C²）
• ファラデー則：$\varepsilon = -d\Phi/dt$（磁束の時間変化率の負号）

$$E_\text{mechanical} = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + U(\vec{r}) = \text{const}$$ $$\vec{p}_\text{total} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \text{const} \quad \text{(外力 = 0)}$$ $$\vec{F}_\text{net} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}$$ $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \quad \text{(ファラデーの法則)}$$

補足：入試頻出パターンと対策

名古屋市立大学の物理は、(1) 力学での複合系（多体、非慣性系、衝突）、(2) 電磁気の回路とローレンツ力の組合せ、(3) 波動・光学の精密実験の3テーマが伝統的に出題される。本問もこのパターンに沿っている。

類題対策：マイケルソン干渉計、ドップラー効果、LC 共振、ヤング干渉、ケプラー望遠鏡。これらは名古屋市立大の過去問で頻繁に見かけるテーマ。

対策のコツ：単一の公式を暗記するよりも、物理現象の因果関係を理解することが重要。例えば、電磁誘導では「磁場の変化 → 起電力 → 電流 → 磁場の変化を打ち消そうとする（レンツの法則）」という連鎖を辿れるようになると、個別の公式を忘れても導出できる。

微積分の活用：高校物理では微積分を使った解法が解法を簡潔にする場面が多い。例えば、変動する電流による磁束変化や、加速度が位置に依存する単振動の運動方程式など、微積分で扱った方がすっきりする。

補足：物理の学習のヒント

理解を深める3つのアプローチ：

1. 極限値のチェック：式が得られたら、$\theta = 0$, $m \to \infty$, $v = 0$ などの極限で物理的に妥当か確認する。例えば、反発係数 $e = 1$ のとき弾性衝突になり運動エネルギー保存、$e = 0$ のとき完全非弾性で一緒に動く、など
2. 次元解析：答えの次元（単位）が正しいか必ずチェック。[kg·m/s²] が力、[kg·m²/s²] がエネルギー、[V/m] が電場、など基本的な組合せを頭に入れておく
3. 別解との比較：同じ問題を「運動方程式」「エネルギー保存」「運動量保存」など複数の方法で解き、同じ結果になるか確認。これにより物理原理の深い理解につながる

数値計算のコツ：

• 有効数字：答えは与えられた数値の有効数字数と同じかそれ以下で書く。$g = 9.8$ m/s² は 2 桁、$g = 9.80$ m/s² は 3 桁
• 10 のべき乗：大きい数や小さい数は $3.0 \times 10^8$ などの科学記法で書くと計算ミスが減る
• 近似：$\pi \simeq 3.14$, $\sqrt{2} \simeq 1.41$, $\sqrt{3} \simeq 1.73$ は覚えておく