解法の指針

半径 $r$ の球形容器 A と半径 $r/2$ の球形容器 B がコックで接続された気体分子運動の問題。A 内にはヒーターがあり、閉じた単原子分子気体の圧力・温度を求める。気体分子の運動論の演習。

問題の構成

• (1)(2) 1分子の速度と衝突運動量
• (3) 球面内での周期
• (4) 球面への運動量流入率
• (5) N分子系の熱量
• (6) コック開放後の混合温度
• (7) 気体分子運動論から圧力の表式

設問(1)：1分子の速度成分

分子が球内を速度 $v$、角度 $\theta$ の方向に運動する場合、直交成分：

$$v_x = v \cos\theta, \quad v_y = v \sin\theta$$

（2次元での分解。3次元なら $v_z = v \sin\theta \sin\phi$ などさらに分解）

補足：3次元での分解

球面座標 $(\theta, \phi)$ で $v_x = v\sin\theta\cos\phi$, $v_y = v\sin\theta\sin\phi$, $v_z = v\cos\theta$。平均値は $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \overline{v^2}/3$。

設問(2)：衝突時の運動量変化 Δp

球面は局所的に平面とみなせる。分子の速度を法線方向と接線方向に分解：

• 法線方向成分：$v\cos\theta$（弾性衝突で $-v\cos\theta$ に反転）
• 接線方向成分：$v\sin\theta$（不変）

運動量変化（法線方向）：

$$\Delta p = m \cdot (-v\cos\theta) - m \cdot (v\cos\theta) = -2 m v \cos\theta$$

絶対値 $|\Delta p| = 2mv\cos\theta$。

補足：弾性衝突の条件

分子と壁の衝突は弾性と仮定（エネルギー保存）。運動エネルギー保存 $\frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m v'^2$ と運動量の法線成分反転から $v = v'$（速さは不変）。

設問(3)：次に同じ場所に戻る時間

球の中心を通る弦（分子の軌道）の長さは：

$$L = 2 r \cos\theta$$

（球内の弦で、中心から垂線の足までの距離 $r\sin\theta$、弦の半分 $r\cos\theta$、全長 $2r\cos\theta$）

分子は速さ $v$ で弦を進むので、1 回分の時間：

$$t = \frac{2 r \cos\theta}{v}$$

この時間で分子は反対側の壁にぶつかり、反射。次に元の点に戻るには、さらに 1 往復する必要があるので全周期は $2t = 4r\cos\theta/v$。

補足：球内での分子軌道

角度 $\theta$ が中心軸との角度。球内の軌道は正多角形（正 $n$ 角形、$n = 2\pi/(\pi - 2\theta)$）を描く。特定の $\theta$ では閉軌道になる。

設問(4)：単位時間に球面が受ける運動量 f'

1分子が時間 $T = 2r\cos\theta/v$ ごとに $2mv\cos\theta$ の運動量を球面に与える。単位時間あたりの運動量：

$$f' = \frac{2 m v \cos\theta}{2 r \cos\theta / v} = \frac{m v^2}{r}$$

$\theta$ に依らず一定になる点が重要。これは「1分子 1 個が球面に与える力」を角度に依らない形で表現できることを意味する。

補足：圧力公式との関係

$N$ 個の分子で球面全体にかかる力は $N f' = N m v^2 / r$。圧力 $p = \text{力}/\text{面積} = Nmv^2/(r \cdot 4\pi r^2) = Nmv^2/(4\pi r^3) = Nmv^2/(3V) \cdot 3/(4\pi)$...（球体積 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ から導ける）

設問(5)：N分子系の熱量 W_AB

単原子分子気体の内部エネルギー：

$$U = \frac{3}{2} N k T$$

温度が $T_A$ から $T_A'$ に変わったとき（ヒーターで加熱）、内部エネルギー変化：

$$\Delta U = \frac{3}{2} N k (T_A' - T_A)$$

コック閉めで定積加熱なら、気体がする仕事 0、第1法則 $\Delta U = Q - W = Q$：

$$W_\text{AB} = \frac{3}{2} N k (T_A' - T_A) = \frac{3}{2} N k \Delta T$$

ただし問題文の $W_\text{AB}$ の定義を正確に確認する必要がある。B 容器への熱流入なら 0（コック閉じているので）。

補足：モル熱容量

単原子分子の定積モル熱容量 $C_V = \frac{3}{2}R$、定圧 $C_p = \frac{5}{2}R$。比熱比 $\gamma = C_p/C_V = 5/3$。

設問(6)：コック開放後の混合温度 T'

内部エネルギー保存（断熱混合、体積和一定）：

$$N_A \cdot \frac{3}{2} k T_A + N_B \cdot \frac{3}{2} k T_B = (N_A + N_B) \cdot \frac{3}{2} k T'$$ $$T' = \frac{N_A T_A + N_B T_B}{N_A + N_B}$$

$N_A, N_B$ が同じ圧力 $p$ での気体分子数なら $N \propto V / T$（理想気体 $pV = NkT$）：$N_A/V_A T_A = N_B/(V_B T_B)$ ... これは圧力が違えば成立しない。

ここでは圧力一定と仮定した場合：$N_i = p V_i / (k T_i)$。混合後：

$$T' = \frac{p V_A/k + p V_B/k}{p V_A/(k T_A) + p V_B/(k T_B)} = \frac{V_A + V_B}{V_A/T_A + V_B/T_B}$$

より簡単な形では、容積の比 $V_A : V_B = r^3 : (r/2)^3 = 8 : 1$ を使って：

$$T' = \frac{8 T_A + T_B}{8/T_A + 1/T_B} \cdot \frac{1}{9}$$

あるいは圧力一定で：

$$T' = \frac{8 T_A + T_B}{9}$$

補足：混合後の圧力

混合後の総分子数 $N_A + N_B$、体積 $V_A + V_B$、温度 $T'$：$p' = (N_A + N_B) k T' / (V_A + V_B)$。

設問(7)：圧力の運動論的表式

全分子 $N$ 個が各々 $mv^2/r$ の力で球面を押すと、全力 $F = Nmv^2/r$。球の表面積 $4\pi r^2$ で割って圧力：

$$p = \frac{N m v^2/r}{4 \pi r^2} = \frac{N m v^2}{4\pi r^3}$$

球の体積 $V = \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow 4\pi r^3 = 3V$：

$$p = \frac{N m v^2}{3 V}$$

これは気体分子運動論の基本式。

補足：温度との関係

$\frac{1}{2}m v^2 = \frac{3}{2}kT$ より $m v^2 = 3kT$。$p V = N k T$ （理想気体法則）が得られる。これは気体分子運動論からの導出。

総合理解と関連トピック

物理問題解法の一般的フロー：

1. 状況把握：図を描き、物体・力・速度・エネルギーをベクトル/スカラーで整理する。与えられた量と求めるべき量を明確に区別する
2. 原理選択：運動量保存則、エネルギー保存則、運動方程式のどれが最適か判断する。各問題で最適な手法は異なるため、問題の構造を見抜く力が必要
3. 立式：文字式で書き、次元（単位）の正しさをチェック。時間 [s]、長さ [m]、質量 [kg] など各量の次元を確認する
4. 数値代入：SI 単位に揃えて代入、有効数字を意識する。計算の途中で単位を書くと誤算防止に役立つ
5. 結果検証：物理的に合理的な値か確認。極限値（$\theta \to 0$、$m \to \infty$ など）を試して公式の整合性をチェック

よく使う近似・公式まとめ：

• 小角近似：$\sin\theta \simeq \theta$, $\cos\theta \simeq 1 - \theta^2/2$, $\tan\theta \simeq \theta$ （$\theta \ll 1$、ラジアン）
• テイラー展開：$(1 + x)^n \simeq 1 + nx$, $e^x \simeq 1 + x + x^2/2$, $\ln(1+x) \simeq x$ （$|x| \ll 1$）
• 運動量保存：外力が無視できる系では $\sum_i m_i \vec{v}_i = $ 一定（時間に依らず保存）
• エネルギー保存：保存力のみ働く系では $K + U = $ 一定（$K$: 運動エネルギー、$U$: 位置エネルギー）
• 円運動の向心力：$F = m v^2/r$（径方向、円の中心向き）
• 単振動の周期：$T = 2\pi\sqrt{m/k}$（復元力 $F = -kx$ の形）
• 熱力学第1法則：$\Delta U = Q - W$（$Q$: 吸熱、$W$: 気体の仕事）
• クーロン則：$F = k_e q_1 q_2 / r^2$（$k_e \simeq 9 \times 10^9$ Nm²/C²）
• ファラデー則：$\varepsilon = -d\Phi/dt$（磁束の時間変化率の負号）

$$E_\text{mechanical} = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + U(\vec{r}) = \text{const}$$ $$\vec{p}_\text{total} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \text{const} \quad \text{(外力 = 0)}$$ $$\vec{F}_\text{net} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}$$ $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \quad \text{(ファラデーの法則)}$$

補足：入試頻出パターンと対策

名古屋市立大学の物理は、(1) 力学での複合系（多体、非慣性系、衝突）、(2) 電磁気の回路とローレンツ力の組合せ、(3) 波動・光学の精密実験の3テーマが伝統的に出題される。本問もこのパターンに沿っている。

類題対策：マイケルソン干渉計、ドップラー効果、LC 共振、ヤング干渉、ケプラー望遠鏡。これらは名古屋市立大の過去問で頻繁に見かけるテーマ。

対策のコツ：単一の公式を暗記するよりも、物理現象の因果関係を理解することが重要。例えば、電磁誘導では「磁場の変化 → 起電力 → 電流 → 磁場の変化を打ち消そうとする（レンツの法則）」という連鎖を辿れるようになると、個別の公式を忘れても導出できる。

微積分の活用：高校物理では微積分を使った解法が解法を簡潔にする場面が多い。例えば、変動する電流による磁束変化や、加速度が位置に依存する単振動の運動方程式など、微積分で扱った方がすっきりする。

補足：物理の学習のヒント

理解を深める3つのアプローチ：

1. 極限値のチェック：式が得られたら、$\theta = 0$, $m \to \infty$, $v = 0$ などの極限で物理的に妥当か確認する。例えば、反発係数 $e = 1$ のとき弾性衝突になり運動エネルギー保存、$e = 0$ のとき完全非弾性で一緒に動く、など
2. 次元解析：答えの次元（単位）が正しいか必ずチェック。[kg·m/s²] が力、[kg·m²/s²] がエネルギー、[V/m] が電場、など基本的な組合せを頭に入れておく
3. 別解との比較：同じ問題を「運動方程式」「エネルギー保存」「運動量保存」など複数の方法で解き、同じ結果になるか確認。これにより物理原理の深い理解につながる

数値計算のコツ：

• 有効数字：答えは与えられた数値の有効数字数と同じかそれ以下で書く。$g = 9.8$ m/s² は 2 桁、$g = 9.80$ m/s² は 3 桁
• 10 のべき乗：大きい数や小さい数は $3.0 \times 10^8$ などの科学記法で書くと計算ミスが減る
• 近似：$\pi \simeq 3.14$, $\sqrt{2} \simeq 1.41$, $\sqrt{3} \simeq 1.73$ は覚えておく