皆既月蝕中に月がわずかに赤く光る理由を、地球大気による太陽光の屈折と散乱で説明する問題。地球を半径 $R$ の球、その周りに一定の厚さの一様な大気（屈折率 $n$、真空は $1$）を置いた簡単なモデルを使う。角度はすべてラジアンで表す。
大気表面 $\mathrm{A}$ での法線は半径 $\mathrm{OA}$ の方向。$\angle\mathrm{AOP}=\alpha$ より、$\mathrm{OA}$ は鉛直 $\mathrm{OP}$ から角 $\alpha$ 傾いている。よって $\mathrm{OA}$ と水平方向（$\mathrm{OQ}$ 向き＝太陽光の向き）のなす角は：
$$\angle(\mathrm{OA},\ \text{水平}) = \frac{\pi}{2} - \alpha$$入射角 $\theta_1$ は入射光線（水平）と法線 $\mathrm{OA}$ のなす角そのものなので：
$$\theta_1 = \frac{\pi}{2} - \alpha$$$\alpha \to 0$（$\mathrm{A}$ が真上 $\mathrm{P}$ に近づく）と $\theta_1 \to \dfrac{\pi}{2}$。このとき水平光は大気の頂点をかすめる「すれすれ入射」となり、入射角が $90°$ に近づくことと一致する。逆に $\alpha$ が大きい（$\mathrm{A}$ が横に来る）ほど $\theta_1$ は小さく、正面から当たる。
点 $\mathrm{A}$ での屈折はスネルの法則より（真空側 $1$、大気側 $n$）：
$$1\cdot\sin\theta_1 = n\cdot\sin\theta_2$$$\sin\theta_2$ について解くと：
$$\sin\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{n}$$設問(1)の $\theta_1 = \dfrac{\pi}{2}-\alpha$ を使えば $\sin\theta_1 = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$ なので、$\sin\theta_2 = \dfrac{\cos\alpha}{n}$ とも書ける。設問(4)ではこの形を使う。
三角形 $\mathrm{OAB}$ は $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=R$ の二等辺三角形。大気中の光線 $\mathrm{AB}$ が $\mathrm{A}$ で半径 $\mathrm{OA}$ となす角が $\theta_2$ なら、対称性から $\mathrm{B}$ で半径 $\mathrm{OB}$ となす角も $\theta_2$。よって点 $\mathrm{B}$ での屈折（大気→真空）は：
$$n\sin\theta_2 = 1\cdot\sin\theta_3$$設問(2)より $n\sin\theta_2 = \sin\theta_1$ だから、これを代入して：
$$\sin\theta_3 = n\sin\theta_2 = \sin\theta_1$$「入るときと出るときで屈折率の関係が逆になり、二等辺三角形で角度が同じ」なので、出射角 $\theta_3$ は入射角 $\theta_1$ に等しく戻る。これは平面ガラス板を通った光が元の向きに平行移動して出るのと同じ理屈（球殻では平行にはならず、後述のように全体で $\delta$ だけ曲がる）。
$\dfrac{\pi}{2}$ 近傍の近似式を $\theta_1=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ に適用（$\theta_1-\dfrac{\pi}{2}=-\alpha$）：
$$\sin\theta_1 \fallingdotseq 1 - \frac12\alpha^2$$$\theta_2$ が $\dfrac{\pi}{2}$ に近いので $\theta_2 = \dfrac{\pi}{2}-\beta$（$\beta>0$）とおくと、同じ近似で $\sin\theta_2 \fallingdotseq 1-\dfrac12\beta^2$。これを $\sin\theta_2 = \dfrac{\sin\theta_1}{n}$ に代入：
$$1 - \frac12\beta^2 = \frac{1}{n}\left(1 - \frac12\alpha^2\right)$$$\dfrac12\beta^2$ について整理すると：
$$\frac12\beta^2 = 1 - \frac{1}{n}\left(1-\frac12\alpha^2\right) = \frac{n - 1 + \tfrac12\alpha^2}{n}$$ $$\beta^2 = \frac{2(n-1)+\alpha^2}{n} \quad\Longrightarrow\quad \beta = \sqrt{\frac{2(n-1)+\alpha^2}{n}}$$よって $\theta_2 = \dfrac{\pi}{2}-\beta$：
$$\theta_2 = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{2(n-1)+\alpha^2}{n}}$$すれすれ入射では $\theta_1,\theta_2$ が $90°$ に極めて近く、$\sin\theta$ は $1$ に張り付いて $\theta$ の1次近似（$\sin\theta\fallingdotseq\theta$）が使えない。そこで頂点 $\dfrac{\pi}{2}$ まわりの2次近似 $\sin\phi\fallingdotseq 1-\dfrac12(\phi-\tfrac{\pi}{2})^2$ を使う。$n-1$ も $\alpha^2$ も微小量なので、$\beta$ がそれらの平方根で表れるのが特徴。
入口 $\mathrm{A}$ と出口 $\mathrm{B}$ でそれぞれ $(\theta_1-\theta_2)$ ずつ、同じ向き（$\mathrm{OQ}$ 軸側）に曲がる。光線 $\mathrm{BC}$ が $\mathrm{OQ}$ となす角 $\delta$ は全偏向角に等しく：
$$\delta = (\theta_1-\theta_2) + (\theta_3-\theta_2) = 2(\theta_1-\theta_2)$$設問(1)の $\theta_1=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ と設問(4)の $\theta_2=\dfrac{\pi}{2}-\beta$（$\beta=\sqrt{\tfrac{2(n-1)+\alpha^2}{n}}$）を代入：
$$\theta_1 - \theta_2 = \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) - \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) = \beta - \alpha$$ $$\delta = 2(\beta - \alpha) = 2\left(\sqrt{\frac{2(n-1)+\alpha^2}{n}} - \alpha\right)$$$\alpha$ が大きい（正面に近い入射）ほど大気を通る距離が短く、$\delta$ は小さくなる。逆に $\alpha\to 0$（地表すれすれ）で $\delta$ は最大となり、$\delta_{\max}=2\sqrt{\dfrac{2(n-1)}{n}}$。次の設問(6)ではこの最大の場合（すれすれ光線）を数値評価する。
地表すれすれの光線は $\alpha = 0$。設問(5)の式に代入：
$$\delta = 2\sqrt{\frac{2(n-1)+0}{n}} = 2\sqrt{\frac{2(n-1)}{n}}$$$n = 1.0003$ より $2(n-1) = 6\times10^{-4}$、$n = 1.0003$：
$$\delta = 2\sqrt{\frac{6\times10^{-4}}{1.0003}} = 2\times10^{-2}\sqrt{\frac{6}{1.0003}}$$与えられた近似値 $\sqrt{\dfrac{6}{1.0003}}\fallingdotseq 2.45$ を用いて：
$$\delta = 2\times10^{-2}\times 2.45 = 4.9\times10^{-2}\ \text{rad}$$度に直すと $\delta = 4.9\times10^{-2}\times\dfrac{180}{\pi} \fallingdotseq 2.8°$。
問題文は $\sqrt{\tfrac{2}{1.0003}}\fallingdotseq1.41$, $\sqrt{\tfrac{3}{1.0003}}\fallingdotseq1.73$, $\sqrt{\tfrac{6}{1.0003}}\fallingdotseq2.45$ を用意している。これは $2(n-1)=6\times10^{-4}$ の平方根を $\sqrt{6}\times10^{-2}$ の形に分解して計算させるための誘導。今回は $6$ が現れるので $\sqrt{6/1.0003}\fallingdotseq2.45$ を使う。$\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\fallingdotseq1.41\times1.73\fallingdotseq2.44$ と検算もできる。
点 $\mathrm{B}$ は大気の頂上（$\mathrm{OP}$ 上、$\mathrm{O}$ から高さ $R$）と見なせる。すれすれ光線はここから角 $\delta$ だけ $\mathrm{OQ}$ 軸へ向かって下り、点 $\mathrm{C}$ で軸と交わる。近似式 $\tan\delta\fallingdotseq\delta$ を使うと、$\mathrm{OC}$ は：
$$\mathrm{OC} = \frac{R}{\tan\delta} \fallingdotseq \frac{R}{\delta}$$$R = 6.4\times10^3$ km, $\delta = 4.9\times10^{-2}$ rad を代入：
$$\mathrm{OC} \fallingdotseq \frac{6.4\times10^3}{4.9\times10^{-2}} \fallingdotseq 1.3\times10^5\ \text{km}$$月までの距離は $3.8\times10^5$ km。これは $\mathrm{OC}\fallingdotseq1.3\times10^5$ kmより遠い。すなわち月は点 $\mathrm{C}$ を通り過ぎた外側にあり、大気を通った光は $\mathrm{C}$ で軸を横切ったあと反対側へ広がって、影の奥にある月に届く。図では $\mathrm{C}$ より右（外側）が月軌道2なので：
地球の縁を全周にわたって通った光は、それぞれ $\delta$ だけ軸へ曲げられ、$\mathrm{C}$ 付近に集まって軸を横切る（レンズのように一度収束する）。$\mathrm{C}$ より内側（月軌道1）は屈折光がまだ交差前で、影の中心には光が回り込んでいない。$\mathrm{C}$ より外側（月軌道2）では交差した光が影の中を満たすので、そこにある月が照らされる。だから皆既月蝕で月が見える軌道は月軌道2。
月が赤く見えるのは、次の2つの効果が重なるため：
したがって、影の中にあるはずの月に、大気で屈折し赤みを帯びた太陽光が届くため、皆既月蝕中の月がわずかに赤く光って見える。これは地平線近くの太陽（夕日）が赤く見えるのと本質的に同じ現象である。
散乱強度 $I\propto 1/\lambda^4$。青 $\lambda\fallingdotseq450$ nm と赤 $\lambda\fallingdotseq700$ nm を比べると、散乱の比は
$$\frac{I_\text{青}}{I_\text{赤}} = \left(\frac{700}{450}\right)^4 \fallingdotseq 5.9$$青は赤の約6倍散乱されて横に逃げるため、まっすぐ通り抜けて月に届くのは赤い光が中心になる。空が青く夕日が赤いのも同じ理由。