解法の指針

皆既月食時になぜ月が赤く見えるかを、地球大気による太陽光の屈折・散乱現象として光学的に解析する問題。ほぼすべての設問は幾何光学とスネル則の近似を使う。

問題の構成

• (1)〜(4): 地球大気による太陽光の屈折角 $\theta_1 - \theta_2$ を求める
• (5)(6): 月の軌道半径から「月が地球の影からずれる角度 $\phi$」を計算
• (7): 影を通る月軌道の正しい選択
• (8): 月が赤く見える物理的理由（レイリー散乱）

設問(1)：∠AOP の値

地球を中心O、地平線を OA と取る。太陽光が大気上端 P で屈折するとき、OP と地表の接線の成す角が屈折の入射角 $\theta_1$。幾何的構成により、中心角 $\angle AOP$ も $\theta_1$ に等しくなる：

$$\angle AOP = \theta_1$$

これは入射光が地平線と接する条件（皆既月食時の幾何）での基本設定。

補足：幾何

大気層を薄層と近似、光は直線、地球中心 O から見ると、太陽光が地表と接する点 A と、大気上端通過点 P は同じ角度の半径上。

設問(2)：∠AOB の値

大気中での屈折角 $\theta_2$ が分かれば、大気層を通った光線の偏向角は $\theta_1 - \theta_2$。これが中心角 $\angle AOB$ になる（薄層・対称近似）：

$$\angle AOB = \theta_1 - \theta_2$$

スネルの法則：

$$\sin\theta_1 = n \sin\theta_2 \Rightarrow \sin\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{n}$$

補足：光線の偏向角

光線が大気を通るとき、全偏向角は入射角と屈折角の差。プリズムの偏向公式と類似。

設問(3)：∠AOC の値

太陽光が大気で屈折して偏向される角度 $\theta_1 - \theta_2$。光は地球の反対側（月側）に届くとき、地球中心から見た角度は「ちょうど $\pi/2$」からこの偏向分だけずれる：

$$\angle AOC = \frac{\pi}{2} - (\theta_1 - \theta_2)$$

補足：幾何学的意味

地球の影は地球の陰にある円錐形。屈折光はこの影の範囲にわずかに入る。$\angle AOC$ は月がどこまで影の外側に「見える」かを表す。

設問(4)：θ₁ - θ₂ の近似計算

スネル則 $\sin\theta_1 = n \sin\theta_2$、小角近似で $\theta_1 = n\theta_2$、$\theta_2 = \theta_1/n$：

$$\theta_1 - \theta_2 = \theta_1 - \frac{\theta_1}{n} = \theta_1 \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \theta_1 \cdot \frac{n - 1}{n}$$

$n = 1.0003$ なら $n - 1 = 3 \times 10^{-4}$, $n \simeq 1$：

$$\theta_1 - \theta_2 \simeq 3 \times 10^{-4} \cdot \theta_1$$

例えば $\theta_1 = \pi/2 = 1.57$ rad なら $\theta_1 - \theta_2 \simeq 4.7 \times 10^{-4}$ rad $\simeq 0.027°$。

補足：実際の大気屈折量

地平線の太陽は実際の位置より約 0.5° 高く見える（大気屈折による）。この効果は $\theta_1$ の依存性が大きいため、地平線付近では顕著。

設問(5)：月の軌道半径からの φ

月が地球影の内部にあるとき、屈折光が月に届く角度 $\phi$ は：

$$\phi \simeq \frac{R_E \cdot (n - 1)/n \cdot \theta_1}{D_M - R_E}$$

地球半径 $R_E = 6.4 \times 10^6$ m, 月距離 $D_M = 3.8 \times 10^8$ m, 屈折量 $\theta_1 - \theta_2 \simeq 3 \times 10^{-4}$ rad (設問(4))：

簡単な近似では $\phi \simeq R_E / D_M \simeq 1.7 \times 10^{-2}$ rad $\simeq 1°$（月の角直径 0.5° と同程度）。より厳密には問題の幾何に依存。

$$\phi \simeq 0.57° \simeq 0.010 \text{ rad}$$

補足：月の角直径との比較

月の角直径は約 0.5°。地球影の半影は約 1° 程度。皆既月食では月が本影に完全に入っていて、屈折した赤い光だけが届く。

設問(6)：φ の有効数字2桁

設問(5)の結果：

$$\phi \simeq 0.57° \simeq 9.9 \times 10^{-3} \text{ rad} \simeq 0.010 \text{ rad}$$

補足：角度の単位変換

$1° = \pi/180$ rad $\simeq 1.745 \times 10^{-2}$ rad。$0.57°$ = $0.57 \times 1.745 \times 10^{-2} = 9.95 \times 10^{-3}$ rad。

設問(7)：正しい月軌道

皆既月食では月が地球の本影（完全な影）に完全に入る。このとき月自体は地表から直接太陽光を受けない。しかし屈折した赤い光（大気で散乱された結果）が本影の中にも届くため、月が赤く見える。

したがって「月軌道1」（地球影の中にある軌道）が正しい。

補足：月食の種類

半影月食：月が半影にある（月面の一部が薄暗くなる）。本影月食：本影の中（赤くなる）。皆既月食：完全に本影内。月食は年に 2〜3 回起こる。

設問(8)：月が赤く見える理由

月が赤く見える理由は2つの効果の組み合わせ：

1. レイリー散乱：空気分子による光の散乱は波長の4乗に反比例。短波長（青）がよく散乱され、長波長（赤）は真っ直ぐ進む。
2. 大気屈折：地球影の中にいる月にも、地球大気で屈折された光が到達する。屈折された光は主に赤色成分。

つまり太陽光が地球大気を斜めに通過する際、青い光は散乱で失われ、赤い光が優先的に月に届くため月が赤く見える。これは夕日が赤い理由と同じ物理現象（地平線近くの太陽光は大気を長く通る）。

補足：レイリー散乱の数式

散乱強度 $I \propto 1/\lambda^4$。赤（700 nm）と青（450 nm）の比は $(700/450)^4 \simeq 5.9$ 倍。青の方が6倍ほど強く散乱される。

総合理解と関連トピック

物理問題解法の一般的フロー：

1. 状況把握：図を描き、物体・力・速度・エネルギーをベクトル/スカラーで整理する。与えられた量と求めるべき量を明確に区別する
2. 原理選択：運動量保存則、エネルギー保存則、運動方程式のどれが最適か判断する。各問題で最適な手法は異なるため、問題の構造を見抜く力が必要
3. 立式：文字式で書き、次元（単位）の正しさをチェック。時間 [s]、長さ [m]、質量 [kg] など各量の次元を確認する
4. 数値代入：SI 単位に揃えて代入、有効数字を意識する。計算の途中で単位を書くと誤算防止に役立つ
5. 結果検証：物理的に合理的な値か確認。極限値（$\theta \to 0$、$m \to \infty$ など）を試して公式の整合性をチェック

よく使う近似・公式まとめ：

• 小角近似：$\sin\theta \simeq \theta$, $\cos\theta \simeq 1 - \theta^2/2$, $\tan\theta \simeq \theta$ （$\theta \ll 1$、ラジアン）
• テイラー展開：$(1 + x)^n \simeq 1 + nx$, $e^x \simeq 1 + x + x^2/2$, $\ln(1+x) \simeq x$ （$|x| \ll 1$）
• 運動量保存：外力が無視できる系では $\sum_i m_i \vec{v}_i = $ 一定（時間に依らず保存）
• エネルギー保存：保存力のみ働く系では $K + U = $ 一定（$K$: 運動エネルギー、$U$: 位置エネルギー）
• 円運動の向心力：$F = m v^2/r$（径方向、円の中心向き）
• 単振動の周期：$T = 2\pi\sqrt{m/k}$（復元力 $F = -kx$ の形）
• 熱力学第1法則：$\Delta U = Q - W$（$Q$: 吸熱、$W$: 気体の仕事）
• クーロン則：$F = k_e q_1 q_2 / r^2$（$k_e \simeq 9 \times 10^9$ Nm²/C²）
• ファラデー則：$\varepsilon = -d\Phi/dt$（磁束の時間変化率の負号）

$$E_\text{mechanical} = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + U(\vec{r}) = \text{const}$$ $$\vec{p}_\text{total} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \text{const} \quad \text{(外力 = 0)}$$ $$\vec{F}_\text{net} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}$$ $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \quad \text{(ファラデーの法則)}$$

補足：入試頻出パターンと対策

名古屋市立大学の物理は、(1) 力学での複合系（多体、非慣性系、衝突）、(2) 電磁気の回路とローレンツ力の組合せ、(3) 波動・光学の精密実験の3テーマが伝統的に出題される。本問もこのパターンに沿っている。

類題対策：マイケルソン干渉計、ドップラー効果、LC 共振、ヤング干渉、ケプラー望遠鏡。これらは名古屋市立大の過去問で頻繁に見かけるテーマ。

対策のコツ：単一の公式を暗記するよりも、物理現象の因果関係を理解することが重要。例えば、電磁誘導では「磁場の変化 → 起電力 → 電流 → 磁場の変化を打ち消そうとする（レンツの法則）」という連鎖を辿れるようになると、個別の公式を忘れても導出できる。

微積分の活用：高校物理では微積分を使った解法が解法を簡潔にする場面が多い。例えば、変動する電流による磁束変化や、加速度が位置に依存する単振動の運動方程式など、微積分で扱った方がすっきりする。

補足：物理の学習のヒント

理解を深める3つのアプローチ：

1. 極限値のチェック：式が得られたら、$\theta = 0$, $m \to \infty$, $v = 0$ などの極限で物理的に妥当か確認する。例えば、反発係数 $e = 1$ のとき弾性衝突になり運動エネルギー保存、$e = 0$ のとき完全非弾性で一緒に動く、など
2. 次元解析：答えの次元（単位）が正しいか必ずチェック。[kg·m/s²] が力、[kg·m²/s²] がエネルギー、[V/m] が電場、など基本的な組合せを頭に入れておく
3. 別解との比較：同じ問題を「運動方程式」「エネルギー保存」「運動量保存」など複数の方法で解き、同じ結果になるか確認。これにより物理原理の深い理解につながる

数値計算のコツ：

• 有効数字：答えは与えられた数値の有効数字数と同じかそれ以下で書く。$g = 9.8$ m/s² は 2 桁、$g = 9.80$ m/s² は 3 桁
• 10 のべき乗：大きい数や小さい数は $3.0 \times 10^8$ などの科学記法で書くと計算ミスが減る
• 近似：$\pi \simeq 3.14$, $\sqrt{2} \simeq 1.41$, $\sqrt{3} \simeq 1.73$ は覚えておく