質量 $M$ の箱の天井中心Oから長さ $\ell$、伸びない糸でおもり（質量 $M$）をつるしてある系。おもりを鉛直下向きから角度 $\theta$ の位置まで引き上げて放し、糸が切れないという条件のもと、単振り子運動・板との衝突・箱が加速度で動く場合の張力の問題を総合的に考える。
$\theta = 60°$ の位置から $\theta = 0°$（鉛直真下、板に衝突する位置）までのおもりの高さの変化：
$$\Delta h = \ell - \ell \cos 60° = \ell(1 - \cos 60°) = \ell\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{\ell}{2}$$エネルギー保存則：位置エネルギーの減少 = 運動エネルギーの増加。最下点では運動エネルギーのみ：
$$Mg \cdot \frac{\ell}{2} = \frac{1}{2} M v_0^2$$$v_0$ について解く：
$$v_0^2 = g\ell$$ $$v_0 = \sqrt{g\ell}$$角度 $\theta$ から放すと最下点での速さ：$v_0 = \sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta)}$。$\theta = 60°$ では $\cos\theta = 1/2$ なので $v_0 = \sqrt{g\ell}$。
最下点でおもりは水平方向に運動しているが、軌道が円なので向心加速度が鉛直上向きに $v_0^2/\ell$。
鉛直方向の運動方程式（上向き正）：
$$T_0 - Mg = M \frac{v_0^2}{\ell}$$$v_0^2 = g\ell$ を代入：
$$T_0 = Mg + M \cdot \frac{g\ell}{\ell} = Mg + Mg = 2 Mg$$問題文では $\theta = 60°$ の位置での張力を求めると解釈する場合もあるが、衝突直前 ($\theta = 0$) のほうが標準。
角度 $\theta$ の位置では、糸方向の向心力方程式：$T - Mg\cos\theta = Mv^2/\ell$。さらに $v^2 = 2g\ell(\cos\theta - \cos\theta_0)$ を代入：$T = Mg(3\cos\theta - 2\cos\theta_0)$。$\theta = 0$ で $T = Mg(3 - 2\cos\theta_0)$。$\theta_0 = 60°$ で $T = Mg(3 - 1) = 2Mg$。
板は鉛直に立っているので、おもりの水平方向の速度 $v_0$ が板の法線方向成分。反発係数の定義：
$$e = \frac{|\text{反発後の法線速度}|}{|\text{入射の法線速度}|} = \frac{v_1}{v_0}$$よって：
$$v_1 = e \cdot v_0 = e\sqrt{g\ell}$$反射後のおもりは逆方向（例えば左向き）に速さ $e v_0$ で運動する。
衝突による運動エネルギーの変化：$\Delta K = \frac{1}{2}M v_1^2 - \frac{1}{2}M v_0^2 = \frac{1}{2}M v_0^2 (e^2 - 1)$。$e < 1$ ならエネルギーは失われる（熱などになる）。$e = 1$ は弾性衝突、$e = 0$ は完全非弾性。
反発直後、おもりは水平左向きに速さ $v_1 = e\sqrt{g\ell}$ で運動。糸はたるみ、おもりは放物運動を始める。糸の長さ $\ell$ だけ離れた円周上に達したときに糸が再び張り切る。
糸が張り切る瞬間、糸方向（O→おもり）の速度成分は不連続に 0 になる（糸が急激に制動をかける）。接線方向の速度は保存される。
おもりが $\theta = 60°$ の位置（初期位置と対称な位置）に来たとき糸が張ったと仮定する。糸が鉛直から $60°$ 傾いている。おもりの速度は水平方向に $v_1$、鉛直下向きに $gt$ の放物運動中だが、ここでは簡略化して水平速度 $v_1$ のみを考える。糸の方向と速度方向の角度を使って：
$$v_2 = v_1 \cos(\alpha)$$ただし $\alpha$ は速度と糸接線方向の成す角。$\alpha = 90° - 60° = 30°$ なら：
$$v_2 = v_1 \cos 30° = v_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$しかし正確な計算では $v_2 = v_1 \sin 60° = v_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$：
$$v_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot e\sqrt{g\ell}$$糸が瞬間的に張り切るとき、糸方向の速度成分は急激に 0 になる（糸が張力を瞬間的に発生）。接線方向成分は保存される。この「衝撃反発」の概念は、重力下での放物運動と糸張力のハイブリッドで扱う。
この衝撃でおもりはエネルギーを失う（糸張力が仕事をしない方向に解釈する特殊な境界条件）。
糸が張った瞬間、おもりは円軌道上で運動する。糸方向の力の釣り合いおよび向心力方程式（糸方向中心向きを正）：
$$T_2 - Mg\cos 60° = M \frac{v_2^2}{\ell}$$$v_2^2 = \frac{3}{4}e^2 g\ell$ と $\cos 60° = 1/2$ を代入：
$$T_2 = \frac{Mg}{2} + \frac{M \cdot (3/4) e^2 g \ell}{\ell}$$ $$T_2 = \frac{Mg}{2} + \frac{3 Me^2 g}{4}$$ $$T_2 = Mg\left(\frac{1}{2} + \frac{3 e^2}{4}\right) = \frac{Mg(2 + 3 e^2)}{4}$$$T_2 > 0$ が必要。$2 + 3e^2 > 0$ は常に成り立つので、どんな $e$ でも糸は張る。ただし「糸が張り切る瞬間に運動エネルギーが 0 になる」ような特殊ケースでは $v_2 = 0$、$T_2 = Mg/2$（単に重力成分のみ）。
箱の加速方向を水平左向きとする。非慣性系で見ると、おもりには慣性力 $Ma$ が右向きに働く（加速度の逆向き）。
おもりは静止状態（箱と一緒に加速）では、3力（重力 $Mg$ 下、慣性力 $Ma$ 右、張力 $T$ 糸方向上）の釣り合いで決まる。糸は重力＋慣性力の合力方向に沿う。
糸と鉛直の成す角 $\theta_a$：
$$\tan \theta_a = \frac{Ma}{Mg} = \frac{a}{g}$$見かけの重力加速度の大きさ：
$$g_\text{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$$糸の張力は $T = M g_\text{eff} = M\sqrt{g^2 + a^2}$。
エレベーターが上向きに加速（$a > 0$）すると、慣性力は下向きで重力に加算される。見かけの重力 $g + a$。逆に下向き加速では $g - a$。自由落下（$a = g$）では糸が張らない。
加速系での「見かけの重力」の大きさ $g_\text{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$、方向は鉛直から角度 $\theta_a = \arctan(a/g)$ だけずれた方向。おもりを元の問題文の $\theta_0$ の位置（見かけの鉛直から測った角度）から放すと、振り子のエネルギー保存：
見かけの重力方向の高さ変化 $\Delta h' = \ell(1 - \cos\theta_0)$。
$$\frac{1}{2} M v_\text{max}^2 = M g_\text{eff} \cdot \Delta h'$$ $$v_\text{max} = \sqrt{2 g_\text{eff} \ell (1 - \cos\theta_0)}$$ $$= \sqrt{2 \ell (1 - \cos\theta_0) \sqrt{g^2 + a^2}}$$実質的には「見かけの鉛直」での通常の振り子と同じ式。
$g_\text{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ を使うと、全ての振り子公式で $g \rightarrow g_\text{eff}$ に置き換えるだけで成立。加速系での振り子周期も $T = 2\pi\sqrt{\ell/g_\text{eff}}$。
見かけの最下点での張力 $T_\text{max}$：
$$T_\text{max} - M g_\text{eff} = M \frac{v_\text{max}^2}{\ell}$$$v_\text{max}^2 = 2 g_\text{eff} \ell (1 - \cos\theta_0)$ を代入：
$$T_\text{max} = M g_\text{eff} + 2 M g_\text{eff} (1 - \cos\theta_0)$$ $$= M g_\text{eff} (3 - 2\cos\theta_0)$$ $$= M \sqrt{g^2 + a^2} \cdot (3 - 2\cos\theta_0)$$特に $\theta_0 = 60°$, $a = 0$ なら $T_\text{max} = Mg \cdot 2 = 2Mg$（設問(2)と一致）。
大きな $\theta_0$ ほど高い位置から放すので、最下点での速度が大きく、張力も大きくなる。$\theta_0 = 90°$ なら $T_\text{max} = 3 M g_\text{eff}$（水平から放す場合）。
代表的な値を代入して計算してみる。物理の式は記号だけでは実感しにくいが、具体的な数値で計算すると実際のスケールが見える。
代表値の例：
例えば、ある問題の結果が $v_0 = \sqrt{g\ell}$ となった場合：
$$v_0 = \sqrt{9.8 \times 0.5} = \sqrt{4.9} \approx 2.2 \text{ m/s}$$時間の計算例：$t = \sqrt{2h/g}$、$h = 1.0$ m なら：
$$t = \sqrt{2 \times 1.0 / 9.8} = \sqrt{0.204} \approx 0.45 \text{ s}$$エネルギー計算例：$E = \frac{1}{2}mv^2$、$m = 2.0$ kg, $v = 3.0$ m/s なら：
$$E = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 9.0 = 9.0 \text{ J}$$電気量計算例：$Q = CV$, $C = 1.0 \times 10^{-6}$ F, $V = 5.0$ V なら：
$$Q = 1.0 \times 10^{-6} \times 5.0 = 5.0 \times 10^{-6} \text{ C} = 5.0 \mu\text{C}$$基本単位：長さ m (メートル)、質量 kg、時間 s、電流 A、温度 K、物質量 mol、光度 cd。
組立単位の例：速度 m/s、加速度 m/s²、力 N = kg·m/s²、エネルギー J = N·m、電力 W = J/s、電気量 C = A·s、電圧 V = J/C、抵抗 Ω = V/A、磁束密度 T = kg/(A·s²) など。