解法の指針

本問は2つの独立した光・波動の問題。

3-1: 超音波ドップラー効果（血流速度の測定）、3-2: ケプラー式望遠鏡の光学。

問題の構成

• 3-1 (1)〜(4): 血液中の超音波、ドップラー効果、血流速度の計算
• 3-2 (5)〜(9): 対物レンズ・接眼レンズの倍率、焦点距離の計算

設問(1)：送信波の波長 λ

送信機から周波数 $f_0$ の超音波が発せられ、血液中を音速 $C$ で伝わる。波長は速度÷周波数：

$$\lambda = \frac{C}{f_0}$$

例：$C = 1.5 \times 10^3$ m/s, $f_0 = 5.0 \times 10^6$ Hz なら $\lambda = 3.0 \times 10^{-4}$ m = 0.3 mm。

補足：超音波の波長

医療用超音波は 1〜20 MHz で、血液中音速 ~1.5 km/s では波長 0.075〜1.5 mm。この短い波長で細かい構造を分解する。

設問(2)：血液に受信される周波数 f'

音源静止、観測者（血液）が速度 $V\cos\theta$ で送信機に近づく場合のドップラー効果：

$$f' = f_0 \cdot \frac{C + V\cos\theta}{C}$$

これは観測者から見て、波面が相対的に $C + V\cos\theta$ の速度で接近してくるので、単位時間に受け取る波数が増えるため。

別解：波の山の到達時間

波の山が観測者に到達する時間間隔 $T' = \lambda/(C + V\cos\theta)$、周波数 $f' = 1/T' = (C + V\cos\theta)/\lambda = (C+V\cos\theta)f_0/C$。

設問(3)：送信機が再受信する周波数 f_1

第1段階：血液が受信する周波数 $f' = f_0 \cdot \dfrac{C + V\cos\theta}{C}$

第2段階：血液が $f'$ で再発信（音源移動、観測者静止）。血液が送信機に近づく速度は $V\cos\theta$。音源接近のドップラー効果：

$$f_1 = f' \cdot \frac{C}{C - V\cos\theta}$$

代入：

$$f_1 = f_0 \cdot \frac{C + V\cos\theta}{C} \cdot \frac{C}{C - V\cos\theta}$$ $$= f_0 \cdot \frac{C + V\cos\theta}{C - V\cos\theta}$$

補足：低速近似

$V \ll C$ のとき $f_1 \simeq f_0 (1 + 2V\cos\theta/C)$。つまり周波数差 $\Delta f = f_1 - f_0 \simeq 2 f_0 V\cos\theta / C$ が血流速度に比例する。これが臨床的ドップラー測定の基礎。

設問(4)：血流速度 V の数値

近似式 $\Delta f = f_1 - f_0 \simeq 2 f_0 V \cos\theta / C$ から：

$$V = \frac{C \cdot \Delta f}{2 f_0 \cos\theta}$$

数値代入：$C = 1.5 \times 10^3$, $\Delta f = 1.0 \times 10^3$, $f_0 = 5.0 \times 10^6$, $\cos 30° = \sqrt{3}/2$：

$$V = \frac{(1.5 \times 10^3)(1.0 \times 10^3)}{2 \cdot 5.0 \times 10^6 \cdot \sqrt{3}/2}$$ $$= \frac{1.5 \times 10^6}{5.0 \times 10^6 \cdot \sqrt{3}} = \frac{0.3}{\sqrt{3}}$$ $$V = \frac{0.3}{1.732} \simeq 0.173 \text{ m/s}$$

つまり約 17 cm/s。血流速度として現実的な値。

補足：血流速度の臨床値

動脈：ピーク 1 m/s、平均 30-50 cm/s。静脈：10-20 cm/s。毛細血管：0.1-1 mm/s。本問の 0.17 m/s は細動脈程度。

設問(5)：対物レンズの倍率 M_o

遠方物体（無限遠近似）から入る平行光線は対物レンズによって焦点距離 $F_o$ の位置に実像を結ぶ。像は「角倍率」で表現することが多いが、ここでは実像の大きさ（線倍率）を考える：

近軸近似では、物体距離 $d \gg F_o$ のとき、像倍率は $F_o / d$ 程度。しかし「倍率 $L/F_o$」という表現は「対物レンズから像までの距離 $L$」を使った計算で、これは望遠鏡の鏡筒構造を表す。

角倍率の観点では、物体の視角 $\alpha$ と像の視角 $\beta$ の比：

$$M_o = \frac{\tan\beta}{\tan\alpha}$$

遠方物体では $\alpha \simeq $ 物体大きさ / 物体距離、$\beta \simeq$ 像大きさ / $F_o$。具体式は設問の文脈による。

補足：なぜ像は倒立か

対物レンズの焦点距離より遠い物体が作る実像は、常に倒立・縮小（$d > 2F_o$ では縮小、$F_o < d < 2F_o$ では拡大）。望遠鏡では物体が遠方なので像は焦点位置付近に縮小倒立像を作る。

設問(6)：接眼レンズの倍率 M_e

接眼レンズは対物レンズの実像を焦点距離より内側に置き、虚像を作る。この虚像は拡大されて目に入る（ルーペと同じ）。

虚像が目から距離 $D$ に形成されるとき、接眼レンズの倍率：

$$M_e = \frac{D}{F_e}$$

$D$ は一般に「明視の距離」(25 cm) または無限遠（リラックス観察）を使う。

別解：無限遠での倍率

虚像を無限遠にすると目のピント調整が不要でリラックス観察できる。このとき倍率は $D/F_e = \infty$ ではなく、$D$ を明視の距離 25 cm として $M_e = 25/F_e$（cm 単位）。

設問(7)：F_o と F_e の計算

ケプラー式望遠鏡の基本関係：

$$L = F_o + F_e, \quad M = \frac{F_o}{F_e}$$

与えられた値 $L = 165$ mm, $M = 10$ を代入：

$$F_o + F_e = 165 \quad \cdots \text{(i)}$$ $$\frac{F_o}{F_e} = 10 \Rightarrow F_o = 10 F_e \quad \cdots \text{(ii)}$$

(ii) を (i) に代入：

$$10 F_e + F_e = 165 \Rightarrow 11 F_e = 165 \Rightarrow F_e = 15 \text{ mm}$$ $$F_o = 150 \text{ mm}$$

補足：高倍率望遠鏡

倍率を上げるには $F_o$ を大きく、$F_e$ を小さくする。例えば $F_o = 1000$ mm, $F_e = 10$ mm なら 100倍。実用では色収差や球面収差で限界がある。

設問(8)：レンズの厚みを考慮した問題

レンズ厚みを無視する条件のもとでは、設問(7)と同じ関係式：

$$F_o + F_e = L = 165 \text{ mm}, \quad \frac{F_o}{F_e} = M = 10$$

解は変わらず：$F_o = 150$ mm, $F_e = 15$ mm。

補足：厚みを考慮する場合

実際のレンズは厚みを持ち、主要点（principal points）が複数ある。厚いレンズの場合、焦点距離の計算に主点位置を考慮する必要があり、$L \neq F_o + F_e$ となる場合もある。

設問(9)：物体Aの像の大きさ

望遠鏡の倍率は角倍率 $M$ と定義される。観察者が裸眼で見たときの視角 $\alpha$ に対し、望遠鏡を通して見たときの視角 $\beta = M\alpha$。

$M = F_o / F_e = 10$ なので、物体 A の像は視角が10 倍に拡大されて見える。

「像の大きさ」を「見かけの大きさ」と解釈すれば 10 倍、「物体の実寸 vs 像の実寸の比」と解釈するなら違う値（対物レンズによる線倍率 × 接眼レンズによる線倍率）。

補足：天体観測での倍率

月の角直径 約 0.5°。10 倍望遠鏡で見ると 5° に拡大され、はっきり表面の模様が識別できる。100 倍なら 50° で視野いっぱい。倍率を上げすぎると像のボケ（回折限界）や振動の影響が大きくなる。

総合理解と関連トピック

物理問題解法の一般的フロー：

1. 状況把握：図を描き、物体・力・速度・エネルギーをベクトル/スカラーで整理する。与えられた量と求めるべき量を明確に区別する
2. 原理選択：運動量保存則、エネルギー保存則、運動方程式のどれが最適か判断する。各問題で最適な手法は異なるため、問題の構造を見抜く力が必要
3. 立式：文字式で書き、次元（単位）の正しさをチェック。時間 [s]、長さ [m]、質量 [kg] など各量の次元を確認する
4. 数値代入：SI 単位に揃えて代入、有効数字を意識する。計算の途中で単位を書くと誤算防止に役立つ
5. 結果検証：物理的に合理的な値か確認。極限値（$\theta \to 0$、$m \to \infty$ など）を試して公式の整合性をチェック

よく使う近似・公式まとめ：

• 小角近似：$\sin\theta \simeq \theta$, $\cos\theta \simeq 1 - \theta^2/2$, $\tan\theta \simeq \theta$ （$\theta \ll 1$、ラジアン）
• テイラー展開：$(1 + x)^n \simeq 1 + nx$, $e^x \simeq 1 + x + x^2/2$, $\ln(1+x) \simeq x$ （$|x| \ll 1$）
• 運動量保存：外力が無視できる系では $\sum_i m_i \vec{v}_i = $ 一定（時間に依らず保存）
• エネルギー保存：保存力のみ働く系では $K + U = $ 一定（$K$: 運動エネルギー、$U$: 位置エネルギー）
• 円運動の向心力：$F = m v^2/r$（径方向、円の中心向き）
• 単振動の周期：$T = 2\pi\sqrt{m/k}$（復元力 $F = -kx$ の形）
• 熱力学第1法則：$\Delta U = Q - W$（$Q$: 吸熱、$W$: 気体の仕事）
• クーロン則：$F = k_e q_1 q_2 / r^2$（$k_e \simeq 9 \times 10^9$ Nm²/C²）
• ファラデー則：$\varepsilon = -d\Phi/dt$（磁束の時間変化率の負号）

$$E_\text{mechanical} = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + U(\vec{r}) = \text{const}$$ $$\vec{p}_\text{total} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \text{const} \quad \text{(外力 = 0)}$$ $$\vec{F}_\text{net} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}$$ $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \quad \text{(ファラデーの法則)}$$

補足：入試頻出パターンと対策

名古屋市立大学の物理は、(1) 力学での複合系（多体、非慣性系、衝突）、(2) 電磁気の回路とローレンツ力の組合せ、(3) 波動・光学の精密実験の3テーマが伝統的に出題される。本問もこのパターンに沿っている。

類題対策：マイケルソン干渉計、ドップラー効果、LC 共振、ヤング干渉、ケプラー望遠鏡。これらは名古屋市立大の過去問で頻繁に見かけるテーマ。

対策のコツ：単一の公式を暗記するよりも、物理現象の因果関係を理解することが重要。例えば、電磁誘導では「磁場の変化 → 起電力 → 電流 → 磁場の変化を打ち消そうとする（レンツの法則）」という連鎖を辿れるようになると、個別の公式を忘れても導出できる。

微積分の活用：高校物理では微積分を使った解法が解法を簡潔にする場面が多い。例えば、変動する電流による磁束変化や、加速度が位置に依存する単振動の運動方程式など、微積分で扱った方がすっきりする。

補足：物理の学習のヒント

理解を深める3つのアプローチ：

1. 極限値のチェック：式が得られたら、$\theta = 0$, $m \to \infty$, $v = 0$ などの極限で物理的に妥当か確認する。例えば、反発係数 $e = 1$ のとき弾性衝突になり運動エネルギー保存、$e = 0$ のとき完全非弾性で一緒に動く、など
2. 次元解析：答えの次元（単位）が正しいか必ずチェック。[kg·m/s²] が力、[kg·m²/s²] がエネルギー、[V/m] が電場、など基本的な組合せを頭に入れておく
3. 別解との比較：同じ問題を「運動方程式」「エネルギー保存」「運動量保存」など複数の方法で解き、同じ結果になるか確認。これにより物理原理の深い理解につながる

数値計算のコツ：

• 有効数字：答えは与えられた数値の有効数字数と同じかそれ以下で書く。$g = 9.8$ m/s² は 2 桁、$g = 9.80$ m/s² は 3 桁
• 10 のべき乗：大きい数や小さい数は $3.0 \times 10^8$ などの科学記法で書くと計算ミスが減る
• 近似：$\pi \simeq 3.14$, $\sqrt{2} \simeq 1.41$, $\sqrt{3} \simeq 1.73$ は覚えておく