質量 $M$ の2つの小球 A・B を、ばね定数 $k$・自然長 $L$ の3本のばね（S1, S2, S3）で壁 P と壁 Q の間に直列連結した系です。前半は水平面上での単振動、後半は装置全体を斜面に固定したときのつりあいを扱います。
設定：A の右向き変位を $x_A$、B の右向き変位を $x_B$ とする（自然長状態を基準、右向きを正）。各ばねの伸びは次の通り：
立式：フックの法則で各ばねの張力を求め、A・B の運動方程式を書く。A には S1 が左向きに $k x_A$、S2 が右向きに $k(x_B - x_A)$：
$$M\ddot{x}_A = -k x_A + k(x_B - x_A) = -2k x_A + k x_B$$B には S2 が左向きに $k(x_B - x_A)$、S3 が左向きに $k x_B$：
$$M\ddot{x}_B = -k(x_B - x_A) - k x_B = k x_A - 2k x_B$$この2式が本問の「核」である。辺々を足し引きすると、2つの独立な単振動に分離できる：
連立微分方程式は、変数の組み合わせ $u=x_A+x_B,\ w=x_A-x_B$ を作ると各々が独立な単振動方程式になります（基準振動＝ノーマルモード）。一般の初期条件は、この2つの単振動の重ね合わせで表せます。$x_A = \tfrac12(u+w),\ x_B = \tfrac12(u-w)$ で元に戻せます。
立式：A・B を同時に右へ $X$ ずらして放すので、初期条件は $x_A=x_B=X$、初速 0。この対称な初期条件では以後つねに $x_A=x_B\ (\equiv x)$ が保たれる（同相モード）。基本式に $x_A=x_B=x$ を代入：
$$M\ddot{x} = -2k x + k x = -k x$$角振動数は $\omega_+ = \sqrt{\dfrac{k}{M}}$、振幅 $X$ の単振動。振動中心は $x=0$（＝S1 が自然長 $x_A=0$ の位置）である。
速さの計算：単振動では中心で速さが最大となり、その値は $v_{\max}=\omega_+ X$。S1 が自然長になる瞬間はまさに中心なので：
$$V = \omega_+ X = X\sqrt{\dfrac{k}{M}}$$同相運動では S2 は自然長のままなので、蓄えられるのは S1・S3 の弾性エネルギーのみ。始状態（変位 $X$、静止）から中心（変位 0、速さ $V$）までのエネルギー保存：
$$\underbrace{\tfrac12 kX^2 + \tfrac12 kX^2}_{\text{S1,S3の弾性E}} = \underbrace{\tfrac12 M V^2 + \tfrac12 M V^2}_{\text{A,Bの運動E}}$$左辺 $=kX^2$、右辺 $=MV^2$ より $V^2 = \dfrac{kX^2}{M}$、すなわち $V = X\sqrt{k/M}$。本解と一致する。
立式：設問(1)と同じ初期条件（A・B ともに右へ $X$、初速 0）なので、B も $x_B=x_A=x$ の同相運動：
$$M\ddot{x}_B = k x_A - 2k x_B = k x - 2k x = -k x$$したがって B の角振動数は $\omega_+ = \sqrt{\dfrac{k}{M}}$。周期は $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ より：
$$T_B = \dfrac{2\pi}{\omega_+} = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}$$同相モードでは A・B が完全に一体で動くため、両者の角振動数・周期は同一です。よって $T_A=T_B=2\pi\sqrt{M/k}$。設問(1)の A の運動と同じ周期であることを確認しておきましょう。
立式：初期条件は $x_A=X,\ x_B=-X$、初速 0。この対称性から以後つねに $x_B=-x_A\ (\equiv -x)$ が保たれる（逆相モード）。基本式に $x_B=-x_A$ を代入：
$$M\ddot{x}_A = -2k x_A + k(-x_A) = -3k x_A$$角振動数は $\omega_- = \sqrt{\dfrac{3k}{M}}$。初期変位が $X$、初速 0 なので振幅は $X$。周期は：
$$T = \dfrac{2\pi}{\omega_-} = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{3k}}$$位置の式（グラフ）：A は $t=0$ で正の最大変位 $X$、初速 0 なので余弦関数で表される：
$$x_A(t) = X\cos\!\left(\sqrt{\dfrac{3k}{M}}\;t\right)$$横軸に時間 $t$、縦軸に A の位置 $x_A$ をとると、$t=0$ で $+X$ から始まり、$\tfrac{T}{2}$ で $-X$、$T$ で再び $+X$ に戻る余弦波を1周期分描けばよい（上のシミュレーション下部のグラフがその形）。
逆相運動では B は A の鏡像として動く。A を右へ $x$ ずらすと B は左へ $x$ ずれるので、S2 の伸びは $x_B-x_A=-2x$。A に働く復元力は S1 から $-kx$、S2 から $k(x_B-x_A)=-2kx$。合計 $-3kx$ なので有効ばね定数 $k_{\text{eff}}=3k$。$T=2\pi\sqrt{M/k_{\text{eff}}}=2\pi\sqrt{M/3k}$ と本解に一致する。
設定：壁 Q を右へ $Y$ 動かした。A・B の右向き変位を $x_A,\ x_B$ とする。壁 Q が動いたので、S3 の伸びは（右端が $Y$、左端が $x_B$ 動くから）$Y - x_B$ に変わる。
立式：準静的なのでつりあい（$\ddot{x}=0$）。A のつりあいは基本式の左辺を 0 として：
$$-2k x_A + k x_B = 0 \quad\Rightarrow\quad x_B = 2 x_A \quad\text{…①}$$B のつりあいは、S2 が左向きに $k(x_B-x_A)$、S3 が右向きに $k(Y-x_B)$：
$$-k(x_B - x_A) + k(Y - x_B) = 0 \quad\Rightarrow\quad x_A - 2x_B + Y = 0 \quad\text{…②}$$計算：①を②へ代入する。$x_B=2x_A$ を使うと：
$$x_A - 2(2x_A) + Y = 0 \quad\Rightarrow\quad -3x_A + Y = 0 \quad\Rightarrow\quad x_A = \dfrac{Y}{3}$$①より $x_B = 2x_A = \dfrac{2Y}{3}$。B の右への変位 $\Delta Y$ はこの $x_B$ そのもの：
$$\Delta Y = x_B = \dfrac{2}{3}Y$$A も B も自由なら、A の右のばね（S2, S3 が B を介して直列）と A の左のばね（S1）が A を挟む。B の位置は「S1・S2 の直列（定数 $k/2$）」と「S3（定数 $k$）」が Q の変位 $Y$ を分担する比で決まる。直列合成 $k/2$ と $k$ の伸びはばね定数に反比例して分配されるので、B より左側（S1+S2 直列, $k/2$）が $Y\cdot\dfrac{k}{k/2+k}=\dfrac{2Y}{3}$ を伸び、これが B の変位。$\Delta Y=\dfrac{2Y}{3}$ と一致する。
立式：壁 Q 移動後の新しいつりあい位置を基準に、A・B のそこからの変位を $u_A,\ u_B$ とする。ばねの張力は変位の一次関数なので、つりあいのぶんを差し引くと、$u_A,\ u_B$ に対する運動方程式は基本式とまったく同じ形になる：
$$M\ddot{u}_A = -2k u_A + k u_B,\qquad M\ddot{u}_B = k u_A - 2k u_B$$初期条件は「A を右・B を左へ $X$」なので $u_A=X,\ u_B=-X$。これは逆相モード（$u_B=-u_A$）で、設問(3)と同じく：
$$M\ddot{u}_A = -3k u_A \quad\Rightarrow\quad \omega_- = \sqrt{\dfrac{3k}{M}}$$よって周期は：
$$T_A = \dfrac{2\pi}{\omega_-} = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{3k}}$$壁 Q を動かすと各ばねの自然状態からの伸びは変わりますが、それはつりあい点（振動中心）を移動させるだけ。復元力の比例係数（ばね定数）は変わらないので角振動数・周期は不変です。これは設問(3)と(5)で周期が一致する理由でもあります。
設定：斜面下向き（P→Q 向き）を正とし、A・B の変位を $x_A,\ x_B$ とする。ばねの伸びは水平のときと同じく S1$=x_A$、S2$=x_B-x_A$、S3$=-x_B$。各球には斜面下向きに重力成分 $Mg\sin\theta$ が加わる。
立式：A のつりあい（下向き正）。S1 は上向きに $kx_A$、S2 は下向きに $k(x_B-x_A)$、重力成分 $Mg\sin\theta$ が下向き：
$$Mg\sin\theta - k x_A + k(x_B - x_A) = 0 \quad\Rightarrow\quad Mg\sin\theta - 2k x_A + k x_B = 0 \quad\text{…①}$$B のつりあい。S2 は上向きに $k(x_B-x_A)$、S3 は上向きに $kx_B$、重力成分 $Mg\sin\theta$ が下向き：
$$Mg\sin\theta + k x_A - 2k x_B = 0 \quad\text{…②}$$計算：①と②を辺々引くと重力項が消え、$-3k x_A + 3k x_B = 0$、すなわち $x_A = x_B$。これを①に代入：
$$Mg\sin\theta - 2k x_A + k x_A = 0 \quad\Rightarrow\quad Mg\sin\theta - k x_A = 0 \quad\Rightarrow\quad x_A = \dfrac{Mg\sin\theta}{k}$$壁 P から A までの距離は「S1 の自然長 $L$」＋「S1 の伸び $x_A$」：
$$d_{\mathrm{PA}} = L + x_A = L + \dfrac{Mg\sin\theta}{k}$$①＋②より $2Mg\sin\theta - k x_A - k x_B = 0$。A・B 系全体で見ると、外から支えるのは S1（上向き $kx_A$）と S3（上向き $kx_B$）、重力は $2Mg\sin\theta$。対称性から $x_A=x_B$ が言えるので $2Mg\sin\theta = 2kx_A$、$x_A=\dfrac{Mg\sin\theta}{k}$。同じ結果を得る。$x_A=x_B$ なので中央 S2 は自然長のまま（伸び $x_B-x_A=0$）である点も確認できる。
設定：設問(6)のつりあい状態を基準に、そこからの追加変位を考える。B は Q 方向（下向き）へ $Z$ 動かして保持され、A の追加変位を $\Delta Z$ とする（ともに下向き正）。重力はすでにつりあいで支えられているので、追加分の力（ばね張力の変化）だけを考えればよい。
立式：A の追加のつりあい。S1 は追加で $k\,\Delta Z$ 上向き、S2 の伸びは追加で $(Z - \Delta Z)$ だけ増える（B が $Z$、A が $\Delta Z$ 動くから）ので S2 は A を下向きに $k(Z-\Delta Z)$ で引く：
$$-k\,\Delta Z + k(Z - \Delta Z) = 0$$計算：整理すると：
$$-2k\,\Delta Z + kZ = 0 \quad\Rightarrow\quad \Delta Z = \dfrac{Z}{2}$$「つりあい状態からの追加変位」に着目すると、重力成分 $Mg\sin\theta$ はつりあいの式ですでに相殺済み。追加で効くのはばねの張力変化だけなので、$\Delta Z$ は $Z$ のみで決まり、$g$ や $\theta$ には依存しません。斜面の傾きは A・B の「静止位置」を決めるだけで、そこからのずれの応答には無関係です。
設定：設問(7)より、B は Q 方向へ $Z$、A は Q 方向へ $\Delta Z=\dfrac{Z}{2}$ 動いている。斜面下向き（Q 向き）を正とし、つりあいからの追加分の力だけを考える（重力はつりあい済み）。
立式：B にはたらく力を追加分で書き出す。
B の追加のつりあい：
$$F - k\cdot\dfrac{Z}{2} - k Z = 0$$計算：
$$F = k\cdot\dfrac{Z}{2} + kZ = \dfrac{kZ}{2} + \dfrac{2kZ}{2} = \dfrac{3kZ}{2}$$A と B を1つの系とみて追加分の力を考える。系の外にあるばねは S1（左端固定）と S3（右端固定）。追加変位は A が $\dfrac{Z}{2}$、B が $Z$。
系全体のつりあい（下向き正、外力 $F$ のみ外部から）：
$$F - k\cdot\dfrac{Z}{2} - kZ = 0 \;\Rightarrow\; F = \dfrac{3kZ}{2}$$内力である S2 は打ち消し合うので現れず、本解と同じ結果になる。