解法の指針

ヤングの複スリット干渉実験の標準的な設定問題です。光源 Q から発した単色光が複スリット S₀ を通り、その後複スリット S₁, S₂ で2つの波源となり、スクリーン C 上で干渉縞を作ります。

問題の構成

• (1) スリットから点 P への経路差の近似式
• (2) 明線の位置の一般式
• (3) 具体的な数値での波長計算
• (4) 太陽光（白色）の場合の明線スペクトル
• (5) S₀ を点 N にずらしたときの影響
• (6) ガラス板の挿入による光路差と縞の移動

設問(1)：経路差 S₁P - S₂P ≃ dx/R

S₁, S₂ からの光が点 P = (0, x)（原点 O からの高さ $x$）に届くまでの距離を計算する。スクリーンとスリット面の距離 $R$、スリット間隔 $d$。

$S_1 = (0, d/2), S_2 = (0, -d/2), P = (R, x)$ とすると：

$$S_1 P = \sqrt{R^2 + (x - d/2)^2}$$ $$S_2 P = \sqrt{R^2 + (x + d/2)^2}$$

$x, d \ll R$ のもとで $\sqrt{1 + \alpha} \simeq 1 + \alpha/2$ を使うと：

$$S_1 P \simeq R + \frac{(x - d/2)^2}{2R}$$ $$S_2 P \simeq R + \frac{(x + d/2)^2}{2R}$$

経路差：

$$S_2 P - S_1 P \simeq \frac{(x + d/2)^2 - (x - d/2)^2}{2R} = \frac{2 \cdot 2 \cdot x \cdot d/2}{2R} = \frac{xd}{R}$$

あるいは $S_1 P - S_2 P \simeq -xd/R$（符号は向きに依存する）、絶対値で：

$$|S_1 P - S_2 P| \simeq \frac{d x}{R}$$

別解：幾何学的近似（直感的）

S₁S₂ の垂線の足が P から見えているとすると、S₁S₂ の差分は光の到達方向 $\theta$ に対して $d \sin\theta$。$\sin\theta \simeq x/R$ なので、$d \sin\theta \simeq dx/R$。これも同じ結果。

設問(2)：明線の位置 x_m

明線（強め合い）の条件：経路差 = 波長の整数倍 $m$。

$$\frac{d x_m}{R} = m \lambda$$

これを $x_m$ について解く：

$$x_m = \frac{m \lambda R}{d}, \quad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

隣り合う明線の間隔：

$$\Delta x = x_{m+1} - x_m = \frac{\lambda R}{d}$$

別解：暗線の位置

暗線（弱め合い）の条件：経路差 = $(m + 1/2)\lambda$。$$x_m^{\text{暗}} = \frac{(m + 1/2)\lambda R}{d}$$明線と暗線が交互に並ぶ。

設問(3)：数値から波長 λ を計算

設問(2)の式 $x_m = m\lambda R / d$ を $\lambda$ について解く：

$$\lambda = \frac{d \cdot x_m}{m \cdot R}$$

与えられた値（SI単位系に揃える）：$d = 2.0 \times 10^{-4}$ m, $R = 0.40$ m, $m = 1$, $x_1 = 1.2 \times 10^{-3}$ m を代入：

$$\lambda = \frac{(2.0 \times 10^{-4})(1.2 \times 10^{-3})}{1 \cdot 0.40}$$ $$= \frac{2.4 \times 10^{-7}}{0.40} = 6.0 \times 10^{-7} \text{ m}$$

これは可視光の橙色〜赤色付近に相当する（600 nm）。

補足：可視光の波長範囲

紫（400 nm）〜赤（700 nm）の範囲で、600 nm は橙色付近。ナトリウムランプ（黄色）は589 nm。

設問(4)：太陽光（白色光）での明線

白色光は連続スペクトル。$x_m = m\lambda R / d$ より、波長 $\lambda$ が大きい（赤）ほど原点から遠くなる。$m = 1$ の位置：

紫色 $\lambda_\text{紫} \simeq 400$ nm: $x_1^\text{紫} = \frac{400 \times 10^{-9} \cdot R}{d}$

赤色 $\lambda_\text{赤} \simeq 700$ nm: $x_1^\text{赤} = \frac{700 \times 10^{-9} \cdot R}{d}$

色の分離幅：

$$\Delta x = x_1^\text{赤} - x_1^\text{紫} = \frac{(700 - 400) \times 10^{-9} R}{d} = \frac{3 \times 10^{-7} R}{d}$$

$R = 0.40$ m, $d = 2.0 \times 10^{-4}$ m での値：$\Delta x = 6 \times 10^{-4}$ m = 0.6 mm

原点（$m = 0$）では全ての波長が強め合うので白色のまま。$m = 1, 2, \ldots$ の明線は波長ごとに位置が違うのでスペクトル帯状に広がる。

補足：なぜ原点は白か

$m = 0$ では経路差 $= 0$。どの波長でも強め合うので、原色の足し算 = 白になる。$m \neq 0$ では波長ごとに強め合う位置がずれるので分光される。

設問(5)：S₀ が点 N にずれたときの縞の移動

光源 S₀ が中央軸から $d_N$ だけずれると、$S_0 S_1 - S_0 S_2$ の経路差が追加される。幾何的に：

$$S_0 S_1 - S_0 S_2 \simeq \frac{d_N d}{L}$$

点 P での全経路差は、スリット前後の和：

$$\Delta = (S_0 S_1 + S_1 P) - (S_0 S_2 + S_2 P) = \frac{d_N d}{L} + \frac{x d}{R}$$

明線の条件 $\Delta = m\lambda$：

$$\frac{d_N d}{L} + \frac{x_m d}{R} = m \lambda$$ $$x_m = \frac{m \lambda R}{d} - \frac{R d_N}{L}$$

全明線は同じだけシフトする。シフト量 $\Delta x_s = -\frac{R d_N}{L}$（$S_0$ が上にずれたら明線は下にずれる、つまり逆方向）。

別解：中央極大の移動

$m = 0$ では $x_0 = -R d_N / L$。つまり中央明線が $S_0$ の位置に応じて反対側にシフトする（光軸が曲がった効果）。これは光源の方向が変わると「基準方向」もそれに追随するためと解釈できる。

設問(6)：ガラス板挿入による干渉じまの移動

ガラス板（屈折率 $n$、厚さ $D$）を S₀ から S₁ への光路に挿入すると、その区間の光学距離（光路長）が：

$$\text{元の長さ } D \rightarrow \text{新しい長さ } nD$$

光路差の追加量：

$$\delta = nD - D = (n - 1)D$$

S₁ 側の光路が光学的に長くなるので、S₂ 側との差を打ち消すには点 P が S₁ 側（上）にずれる必要がある。明線条件：

$$\frac{x_m d}{R} + (n - 1)D = m\lambda$$

$m$ を固定すると：

$$x_m = \frac{m\lambda R}{d} - \frac{(n - 1)D \cdot R}{d}$$

中央極大（$m = 0$）のずれ：

$$\Delta x = -\frac{(n - 1) D R}{d}$$

マイナスの符号は「$S_1$ 側と反対方向にずれる」と解釈されるが、問題の文脈では「上下どちらか」を聞いている。ガラス板が挿入された S₁ 側の光路を補うように、明線は S₁ の反対側（下方）にシフトする…と誤解されやすい。実際は、S₁ 側の光路が長くなった分、点 P も S₁ 側に近い位置でないと S₂ の光路とバランスしない。したがってS₁ 側（上方向）にシフト。

$$|\Delta x| = \frac{(n - 1) D R}{d}$$

別解：光学的距離の考え方

光路長は「幾何距離 × 屈折率」。真空中の光路長換算で考えると、ガラス中の $D$ は実効的に $nD$。中央極大は「2つの光路長が等しい位置」なので、$S_1$ 側が長くなったら、点 P は $S_1$ 側に近づくことで $S_2$ 側の幾何距離を長くしてバランスを取る。

総合理解と関連トピック

物理問題解法の一般的フロー：

1. 状況把握：図を描き、物体・力・速度・エネルギーをベクトル/スカラーで整理する。与えられた量と求めるべき量を明確に区別する
2. 原理選択：運動量保存則、エネルギー保存則、運動方程式のどれが最適か判断する。各問題で最適な手法は異なるため、問題の構造を見抜く力が必要
3. 立式：文字式で書き、次元（単位）の正しさをチェック。時間 [s]、長さ [m]、質量 [kg] など各量の次元を確認する
4. 数値代入：SI 単位に揃えて代入、有効数字を意識する。計算の途中で単位を書くと誤算防止に役立つ
5. 結果検証：物理的に合理的な値か確認。極限値（$\theta \to 0$、$m \to \infty$ など）を試して公式の整合性をチェック

よく使う近似・公式まとめ：

• 小角近似：$\sin\theta \simeq \theta$, $\cos\theta \simeq 1 - \theta^2/2$, $\tan\theta \simeq \theta$ （$\theta \ll 1$、ラジアン）
• テイラー展開：$(1 + x)^n \simeq 1 + nx$, $e^x \simeq 1 + x + x^2/2$, $\ln(1+x) \simeq x$ （$|x| \ll 1$）
• 運動量保存：外力が無視できる系では $\sum_i m_i \vec{v}_i = $ 一定（時間に依らず保存）
• エネルギー保存：保存力のみ働く系では $K + U = $ 一定（$K$: 運動エネルギー、$U$: 位置エネルギー）
• 円運動の向心力：$F = m v^2/r$（径方向、円の中心向き）
• 単振動の周期：$T = 2\pi\sqrt{m/k}$（復元力 $F = -kx$ の形）
• 熱力学第1法則：$\Delta U = Q - W$（$Q$: 吸熱、$W$: 気体の仕事）
• クーロン則：$F = k_e q_1 q_2 / r^2$（$k_e \simeq 9 \times 10^9$ Nm²/C²）
• ファラデー則：$\varepsilon = -d\Phi/dt$（磁束の時間変化率の負号）

$$E_\text{mechanical} = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + U(\vec{r}) = \text{const}$$ $$\vec{p}_\text{total} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \text{const} \quad \text{(外力 = 0)}$$ $$\vec{F}_\text{net} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}$$ $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \quad \text{(ファラデーの法則)}$$

補足：入試頻出パターンと対策

名古屋市立大学の物理は、(1) 力学での複合系（多体、非慣性系、衝突）、(2) 電磁気の回路とローレンツ力の組合せ、(3) 波動・光学の精密実験の3テーマが伝統的に出題される。本問もこのパターンに沿っている。

類題対策：マイケルソン干渉計、ドップラー効果、LC 共振、ヤング干渉、ケプラー望遠鏡。これらは名古屋市立大の過去問で頻繁に見かけるテーマ。

対策のコツ：単一の公式を暗記するよりも、物理現象の因果関係を理解することが重要。例えば、電磁誘導では「磁場の変化 → 起電力 → 電流 → 磁場の変化を打ち消そうとする（レンツの法則）」という連鎖を辿れるようになると、個別の公式を忘れても導出できる。

微積分の活用：高校物理では微積分を使った解法が解法を簡潔にする場面が多い。例えば、変動する電流による磁束変化や、加速度が位置に依存する単振動の運動方程式など、微積分で扱った方がすっきりする。

補足：物理の学習のヒント

理解を深める3つのアプローチ：

1. 極限値のチェック：式が得られたら、$\theta = 0$, $m \to \infty$, $v = 0$ などの極限で物理的に妥当か確認する。例えば、反発係数 $e = 1$ のとき弾性衝突になり運動エネルギー保存、$e = 0$ のとき完全非弾性で一緒に動く、など
2. 次元解析：答えの次元（単位）が正しいか必ずチェック。[kg·m/s²] が力、[kg·m²/s²] がエネルギー、[V/m] が電場、など基本的な組合せを頭に入れておく
3. 別解との比較：同じ問題を「運動方程式」「エネルギー保存」「運動量保存」など複数の方法で解き、同じ結果になるか確認。これにより物理原理の深い理解につながる

数値計算のコツ：

• 有効数字：答えは与えられた数値の有効数字数と同じかそれ以下で書く。$g = 9.8$ m/s² は 2 桁、$g = 9.80$ m/s² は 3 桁
• 10 のべき乗：大きい数や小さい数は $3.0 \times 10^8$ などの科学記法で書くと計算ミスが減る
• 近似：$\pi \simeq 3.14$, $\sqrt{2} \simeq 1.41$, $\sqrt{3} \simeq 1.73$ は覚えておく