前期 大問１：力学（台上の小物体と摩擦・弾性衝突）

解法の指針

水平面上の台（質量 \(M\)）の上で、小物体（質量 \(m\)）が摩擦を受けながら運動する問題です。台が固定された場合と自由に動ける場合を比較します。

キーポイント

台が固定された場合（(1)〜(3)）

(1) 速度

台が固定されているとき、摩擦による減速度は \(a = -\mu g\) です。エネルギー保存より：

$$ v_x^2 = v^2 - 2\mu g x $$ $$ v_x = \sqrt{v^2 - 2\mu gx} $$
答え
\(v_x = \sqrt{v^2 - 2\mu gx}\)

(2) 時刻

等加速度運動 \(v_x = v - \mu gt\) から \(x = vt - \frac{1}{2}\mu gt^2\)。\(x\) の位置に到達する時刻は：

$$ t = \frac{v - \sqrt{v^2 - 2\mu gx}}{\mu g} $$
答え
\(t = \frac{v - \sqrt{v^2 - 2\mu gx}}{\mu g}\)

(3) A と弾性衝突後の条件

小物体がAに到達するには \(v^2 - 2\mu gL > 0\)、すなわち \(v > \sqrt{2\mu gL}\) が必要です。衝突後に台の左端から落ちないための条件も考えます。

答え
衝突直前の速さ \(v_A = \sqrt{v^2 - 2\mu gL}\)。弾性衝突後、左向きに同じ速さで跳ね返ります。 落下条件: 衝突後に距離 \(L\) を摩擦で減速しながら戻るので、\(v_A^2 \leq 2\mu gL\) すなわち \(v^2 \leq 4\mu gL\) のとき台上で停止。 \(\mu = 0\) のとき、落下しない条件は存在しません。

台が自由に動ける場合（(4)〜(8)）

(4) 台の加速度

台は床との摩擦がないので、小物体からの摩擦力 \(\mu mg\) で右向きに加速します：

$$ Ma_{\text{台}} = \mu mg \quad \Rightarrow \quad a_{\text{台}} = \frac{\mu mg}{M} $$

(5) 速度が一致する時刻

小物体: \(v_1 = v - \mu gt_1\)、台: \(v_2 = \frac{\mu mg}{M}t_1\)。一致するとき：

$$ v - \mu gt_1 = \frac{\mu mg}{M}t_1 $$ $$ v = \mu gt_1\left(1 + \frac{m}{M}\right) = \mu gt_1 \cdot \frac{M+m}{M} $$
答え
$$ t_1 = \frac{Mv}{(M+m)\mu g} $$ 一致速度: \(v_c = \frac{mv}{M+m}\)

(6) x₁(t) と x(t) のグラフ

台の左端の位置 \(x_1(t)\) と小物体の位置 \(x(t)\) を \(t\) の関数としてグラフに描きます。

\(t < t_1\): 小物体は減速する放物線、台は加速する放物線。

\(t > t_1\): 一体となって等速直線運動（速度 \(\frac{mv}{M+m}\)）。

(7) 衝突条件

小物体がAに衝突するには、速度が一致する前に小物体がAに到達する必要があります。相対変位が \(L\) に達する条件：

答え
$$ v > \sqrt{\frac{(M+m)\mu gL}{M}} $$

(8) 弾性衝突後の速度

壁Aは台に固定されているので、衝突は「小物体と台の弾性衝突」です。衝突直前の小物体の速度を \(v_c\)、台の速度を \(V_c\) とすると、弾性衝突の公式：

$$ v' = \frac{m - M}{m + M}v_c + \frac{2M}{m + M}V_c $$ $$ V' = \frac{M - m}{m + M}V_c + \frac{2m}{m + M}v_c $$
答え
弾性衝突後の小物体の速度は $$ v' = \frac{m - M}{m + M}v_c + \frac{2M}{m + M}V_c $$ 衝突直前の各速度は運動方程式とエネルギー保存から求める。
💡 別解：運動量保存と反発係数

弾性衝突では反発係数 \(e = 1\) なので：

$$ v' - V' = -(v_c - V_c) $$

これと運動量保存 \(mv_c + MV_c = mv' + MV'\) を連立すれば解けます。

まとめ