反射板 R、音源 S、マイクロフォン M が一直線上に並んでいます。S は R から \(L\)、M は R から \(2L\)（つまり S から見て M は \(L\) 先）の位置にあります。S が M に向かって速さ \(V\) で動くとき、M には 2 つの音が届きます。
この 2 つは振動数がわずかに違うので、重なるとうなりが生じます。後半では「速度を途中で変えたときの遅れ時間」と「横風による音速の変化」を扱います。
この問題で与えられている記号は 音速 \(c\)、音源速度 \(V\)、音源振動数 \(f_0\) です。答えは必ずこの記号のまま表します。
S は M に近づきながら、同時に R からは遠ざかっています。近づく側（M への直接音）は波が詰まって高い音、遠ざかる側（R へ向かう音）は波が伸びて低い音になります。R は鏡のように低い音をそのまま跳ね返すので、M には「高い直接音」と「低い反射音」が同時に届き、その差がうなりになります。
音源 S が観測者 M に近づくドップラー効果です。M は静止（\(v_{\text{obs}}=0\)）、音源は M に近づくので分母は \(c-V\)：
$$ f_1 = \frac{c}{c - V}\, f_0 $$近づく音源なので分母が小さくなり、\(f_1 > f_0\)（音が高くなる）と確認できます。
まず S から R に向かう音を考えます。S は R から遠ざかっているので、R に届く音の振動数 \(f_R\) は分母が \(c+V\)：
$$ f_R = \frac{c}{c + V}\, f_0 $$R は静止した完全反射板なので、振動数を変えずにこの音をそのまま跳ね返します（動かない鏡と同じ）。反射音は静止した R から出た音とみなせ、静止した M で受けても振動数は変わりません：
$$ f_2 = f_R = \frac{c}{c+V}\, f_0 $$うなりの振動数は、同時に届く 2 音の振動数の差の絶対値です。\(f_1 > f_2\) なので：
$$ f_{\text{beat}} = f_1 - f_2 = \frac{c}{c-V}f_0 - \frac{c}{c+V}f_0 $$通分して整理します：
$$ = cf_0\left(\frac{(c+V)-(c-V)}{(c-V)(c+V)}\right) = cf_0\cdot\frac{2V}{c^2-V^2} $$反射板 R を鏡とみなすと、その向こう側に音源 S の鏡像 S′ができます。S が R から遠ざかると、S′ も R から遠ざかる（M から見ると S′ が遠ざかる）ので、M では S′ からの遠ざかる音として \(f_2=\dfrac{c}{c+V}f_0\) が受け取れます。直接音 \(f_1\) と像からの音 \(f_2\) の差がうなりになり、同じ結論 \(\dfrac{2cVf_0}{c^2-V^2}\) を得ます。
反射音は「R から遠ざかる音源」→「R で振動数不変の反射」の 2 段階。R も M も静止なので、反射の前後・M で受ける段階では振動数は変わりません。
S が急に減速しても、M にはすぐには伝わりません。いま出た音は今の速さの情報を持って旅をするので、M に届くまでの時間だけ遅れて「うなりの変化」が現れます。直接音は近道（S→M）なので早く、反射音は遠回り（S→R→M）なので遅れて変わります。だから変化は 2 回に分かれて起こります。
S は M から \(\dfrac{3}{4}L\) の位置、すなわち R から見て \(2L-\dfrac{3}{4}L=\dfrac{5}{4}L\) の位置で、速さを \(\dfrac{1}{4}V\) に変えました。この瞬間を \(t=0\) とします。速度変化の「情報」は、そのとき出た音波にのって伝わります。
立式：速度変化の瞬間に S から出た直接音は、S の位置 \(\dfrac{5}{4}L\)（R 基準）から M（R 基準 \(2L\)）まで進みます。距離は \(\dfrac{3}{4}L\)、音速 \(c\) なので到達時刻は：
$$ t_1 = \frac{\frac{3}{4}L}{c} = \frac{3L}{4c} \ \text{[s]} $$変化後の直接音の振動数：音源の速さが \(\dfrac{V}{4}\) に変わったので、(1) で \(V\to\dfrac{V}{4}\) と置き換えて：
$$ f_1' = \frac{c}{c-\frac{V}{4}}\, f_0 = \frac{4c}{4c-V}\, f_0 $$このとき反射音はまだ変化前（\(f_2=\dfrac{c}{c+V}f_0\)）のままなので、1回目の変化後のうなりの振動数は：
$$ f_{\text{beat},1} = f_1' - f_2 = \frac{4c}{4c-V}f_0 - \frac{c}{c+V}f_0 $$立式：速度変化の瞬間に S から出て R へ向かった音は、\(\dfrac{5}{4}L\) 進んで R に達し、反射して M（R 基準 \(2L\)）まで \(2L\) 進みます。合計の経路長は：
$$ \frac{5}{4}L + 2L = \frac{13}{4}L $$音速 \(c\) なので到達時刻は：
$$ t_2 = \frac{\frac{13}{4}L}{c} = \frac{13L}{4c} \ \text{[s]} $$変化後の反射音の振動数：(2) で \(V\to\dfrac{V}{4}\) として：
$$ f_2' = \frac{c}{c+\frac{V}{4}}f_0 = \frac{4c}{4c+V}f_0 $$2回目の変化後は、直接音・反射音ともに速さ \(\dfrac{V}{4}\) 由来になるので、うなりの振動数は (3) で \(V\to\dfrac{V}{4}\) とした形：
$$ f_{\text{beat},2} = f_1' - f_2' = \frac{4c}{4c-V}f_0 - \frac{4c}{4c+V}f_0 $$ $$ = 4cf_0\cdot\frac{(4c+V)-(4c-V)}{(4c-V)(4c+V)} = \frac{8cVf_0}{16c^2-V^2} $$M で聞こえるうなりは「直接音」と「反射音」の重ね合わせです。速度変化の情報は、まず経路の短い直接音（0.75L）で先に届き、遅れて経路の長い反射音（3.25L）で届きます。だから、直接音だけ新しい振動数・反射音は古い振動数、という中間状態が存在し、うなりが 2 段階で変化するのです。シミュレーションのスライダーで、2 本の波が別々に M へ到達する様子を確認できます。
「音源がいつ変化したか」ではなく「その音が M にいつ届くか」で変化時刻を決めるのがカギ。距離 ÷ 音速で遅れ時間を求めます。
2回目の変化（反射音の到達）は速度変化から \(t_2=\dfrac{13L}{4c}\) 秒後。ところが S 自身も M へ近づいており、S が M に着いてしまうと問題の設定（S が M に到達する前）が終わります。反射音が M に届く前に S が M に着いてしまわないことが、2回目の変化が観測される条件です。
立式：速度変化後、S は速さ \(\dfrac{V}{4}\) で M（S から見て残り \(\dfrac{3}{4}L\)）へ進みます。S が M に到達する時刻は：
$$ t_{\text{reach}} = \frac{\frac{3}{4}L}{\frac{V}{4}} = \frac{3L}{V} \ \text{[s]} $$2回目の変化（反射音の到達 \(t_2=\dfrac{13L}{4c}\)）が、S が M に着く前に起こる条件は \(t_2 < t_{\text{reach}}\)：
$$ \frac{13L}{4c} < \frac{3L}{V} $$途中計算：両辺に \(\dfrac{4cV}{L}\)（正）を掛けて整理します：
$$ 13V < 12c \quad\Rightarrow\quad V < \frac{12}{13}\,c $$百分率に直す：
$$ \frac{V}{c} < \frac{12}{13} = 0.9230\cdots = 92.30\cdots\ \% $$「小数点以下を切り捨てて」答えるので、\(92\ \%\) 以下である必要があります。
\(V=\dfrac{12}{13}c\) のときは \(t_2=t_{\text{reach}}\) で、S が M に到達するのと反射音到達が同時になります。この境界を「変化が起こる」に含めるかは解釈によりますが、\(\dfrac{12}{13}=92.3\%\) を切り捨てた \(92\%\) 以下という答えは変わりません。設問が「小数点以下切り捨て」を要求しているのは、この \(92.3\%\) を \(92\%\) にするためです。
「音の到達時刻」と「音源の到達時刻」の競争。速い音（反射）が間に合うかどうかを不等式で比較し、最後に切り捨てで整数％にします。
風は S–M 直線に垂直に吹いています。音は空気に対して速さ \(c\) で広がりますが、空気ごと横に流されます。M にまっすぐ届く音は、風で横に流される分を斜めに打ち消す向きに進む必要があり、その結果 S→M 方向の実効速度は \(c\) より遅くなります。追い風・向かい風ではなく「斜めに撃つ」イメージです。
立式：音は空気に対して速さ \(c\) で伝わり、空気（風）は S–M 直線に垂直に速さ \(w\) で動きます。地面に対する音の速度は「空気に対する音速ベクトル」と「風速ベクトル」の和です。M へまっすぐ届くには、この合成ベクトルが S–M 直線方向を向く必要があるので、垂直成分が打ち消し合うように音を斜めに出します。
音の速度ベクトル（大きさ \(c\)）の垂直成分で風 \(w\) を相殺するので、直線方向の成分は三平方の定理より：
$$ c_{\text{eff}} = \sqrt{c^2 - w^2} $$数値代入：\(w=\dfrac{5}{13}c\) を代入します：
$$ c_{\text{eff}} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{5}{13}c\right)^2} = \sqrt{c^2 - \frac{25}{169}c^2} = \sqrt{\frac{144}{169}c^2} $$ $$ c_{\text{eff}} = \frac{12}{13}\,c \ \text{[m/s]} $$立式：M へ向かう向きの実効音速が \(c_{\text{eff}}=\dfrac{12}{13}c\) になりました。S は M に向かって速さ \(V\)（S–M 直線方向）で近づき、M は静止しています。風は直線に垂直なので、S・M の直線方向の速度成分には風は寄与しません。したがってドップラー効果は、音速を \(c_{\text{eff}}\) に置き換えた次式で表せます：
$$ f_8 = \frac{c_{\text{eff}}}{c_{\text{eff}} - V}\, f_0 $$数値代入：\(c_{\text{eff}}=\dfrac{12}{13}c\)、\(V=\dfrac{1}{13}c\) を代入します：
$$ f_8 = \frac{\frac{12}{13}c}{\frac{12}{13}c - \frac{1}{13}c}\, f_0 = \frac{\frac{12}{13}c}{\frac{11}{13}c}\, f_0 $$途中計算：分母・分子の \(\dfrac{c}{13}\) を約分して：
$$ f_8 = \frac{12}{11}\, f_0 \ \text{[Hz]} $$周期 \(T=\dfrac{1}{f_0}\) の間に、地面から見て S–M 直線方向へ、波面は \(c_{\text{eff}}T\)、音源は \(VT\) 進みます。よって直線方向の波長は
$$ \lambda = (c_{\text{eff}} - V)\,T = \frac{c_{\text{eff}} - V}{f_0}. $$静止した M は実効音速 \(c_{\text{eff}}\) でこの波を受けるので、
$$ f_8 = \frac{c_{\text{eff}}}{\lambda} = \frac{c_{\text{eff}}}{c_{\text{eff}} - V}f_0 = \frac{12}{11}f_0. $$公式暗記に頼らず、波長の定義から同じ結論が得られます。
横風は「音速を速くする／遅くする」ではなく、まっすぐ届かせるために斜めに撃つぶん実効音速を \(\sqrt{c^2-w^2}\) に下げます。ドップラーはこの実効音速で計算すればよく、風の項を分子・分母に足し引きするのは誤りです。