解法の指針

音源 S、反射板 R、マイクロフォン M が一直線上に配置された状況でのドップラー効果を分析する問題です。音源の移動、速度変化、風の影響など、段階的に条件が追加されます。

基本設定と(1)〜(3)

(1) 直接音の振動数

音源 S が速さ \(V\) [m/s] で M に向かって一直線に移動します（S→R→M の順）。マイクロフォン M は静止。

音源が近づく場合のドップラー効果：

$$ f_{\text{direct}} = \frac{V}{V - v} f $$

ここで \(v = V\) [m/s]（音源の速さ）ではなく、問題文の音源速度記号に合わせます。音源 S が速さ \(V\) [m/s]（< 音速。問題文では音速の記号も \(V\)）で M に向かっているので：

(2) 反射音の振動数

反射板 R は音源 S の反対側（S から見て M と同方向）にあります。S が R から遠ざかっているので、R に到達する音の振動数は：

$$ f_R = \frac{V}{V + v} f $$

R で反射された音は振動数を変えずに M に到達するので（R も M も静止）：

(3) うなりの振動数

うなりの振動数は直接音と反射音の振動数の差：

$$ f_{\text{beat}} = f_{\text{direct}} - f_{\text{reflect}} = \frac{V}{V-v}f - \frac{V}{V+v}f $$ $$ = Vf\left(\frac{1}{V-v} - \frac{1}{V+v}\right) = Vf \cdot \frac{2v}{V^2-v^2} $$

速度変化とうなりの変化（(4)〜(6)）

(4)〜(5) 速度変化によるうなりの変化

音源 S が M から \(\frac{3}{4}L\) の位置に達したとき、速さを \(\frac{1}{4}V\) に変えます。うなりの振動数が2回変化します。

1回目の変化：S から直接 M に届く音の振動数が変わるとき。速さが変わった音波が M に届くまでの時間は、S-M 間の距離を音速で割った値です。

1回目の変化後の直接音の振動数：

$$ f_1' = \frac{V}{V - v/4}f = \frac{4V}{4V - v}f $$

2回目の変化：反射板 R で反射された音が変わるとき。S から R に届き、反射して M に戻るまでの時間が追加でかかります。

(6) S が M に到達する前に2回目の変化が起こる条件

S から R への反射音が M に届く前に S が M に到達してはいけません。音がS→R→Mと進む時間と、S→M の時間を比較します。

風がある場合（(7)〜(8)）

(7) 風がある場合の音速

S→M 方向に一様な風（速さ \(w\)）が吹いている場合、S から M に向かう音の伝搬速度は：

$$ V_{\text{eff}} = V + w $$

(8) 風がある場合の M での振動数

風がある場合のドップラー効果では、音速を \(V + w\) に置き換えます：

$$ f' = \frac{V + w}{V + w - v} f $$

💡 別解：風の影響の物理的解釈

風は空気（媒質）を動かします。音は媒質に対して速さ \(V\) で伝わるので、地面に対する音速は \(V + w\)（追い風）または \(V - w\)（向かい風）になります。

重要なのは、波長は風の影響を受けるが、振動数の変化は音源と観測者の媒質に対する速度で決まるということです。

まとめ

• ドップラー効果：\(f' = \frac{V \pm v_{\text{obs}}}{V \mp v_{\text{src}}} f\)
• 反射板：反射板を「新たな音源」として扱い、2段階のドップラー効果を適用
• うなり：振動数差 \(|f_1 - f_2|\) がうなりの振動数
• 風の影響：音速を \(V \pm w\) に置き換えるだけで、公式の構造は同じ