解法の指針

コイル（自己インダクタンス $L$）に関する基本から応用までの問題です。前半は直流での自己誘導とエネルギー蓄積、後半は RL 直列交流回路の解析です。

全体の流れ

(1)〜(2)：自己誘導起電力と仕事の基礎
(3)：仕事率のグラフ
(4)：コイルのエネルギー $\frac{1}{2}LI^2$
(5)〜(9)：RL 交流回路の位相差と電力

直流回路での自己誘導（(1)〜(4)）

(1) 電流変化による電位差

自己インダクタンス $L$ のコイルに電流 $I$ が流れており、微小時間 $\Delta t$ の間に $\Delta I$ だけ変化したとき、点Bを基準とした点Aの電位は：

$$ V_A = -L\frac{\Delta I}{\Delta t} $$

（レンツの法則：電流の増加を妨げる方向に誘導起電力が生じる）

答え
$$ V_A = -L\frac{\Delta I}{\Delta t} $$

(2) 電流を流すための仕事

微小時間 $\Delta t$ の間にコイルに電流 $I$ を流すための仕事は：

$$ \Delta W = V_A \cdot I \cdot \Delta t = L\frac{\Delta I}{\Delta t} \cdot I \cdot \Delta t = LI\Delta I $$

答え
$$ \Delta W = LI\Delta I $$ （$L$, $I$, $\Delta I$ を用いて表す）

(3) 仕事率のグラフ

電流を $I = at$（$a > 0$ は定数）で増加させる場合、仕事率は：

$$ \frac{\Delta W}{\Delta t} = LI \cdot a = La^2 t $$

これは時間 $t$ に比例するので、グラフは原点を通る右上がりの直線です。

答え
仕事率は $t$ に比例して増加する直線（原点を通る）。

(4) コイルに蓄えるエネルギー

電流を0から $I_0$ まで増加させるときの仕事の総和は：

$$ W = \int_0^{I_0} LI\,dI = \frac{1}{2}LI_0^2 $$

（仕事率グラフの三角形の面積としても求まる）

答え
$$ W = \frac{1}{2}LI_0^2 $$

RL 交流回路（(5)〜(9)）

(5) RL 回路の電圧

電流 $I = I_0\sin\omega t$ が流れるとき：

$$ V_R = RI_0\sin\omega t, \quad V_L = \omega LI_0\cos\omega t $$

電源電圧は $V = V_R + V_L = RI_0\sin\omega t + \omega LI_0\cos\omega t$ です。

(6) tan φ

$V = V_0\sin(\omega t + \phi)$ と表すと、合成振幅と位相差は：

$$ V_0 = I_0\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}, \quad \tan\phi = \frac{\omega L}{R} $$

答え
$$ \tan\phi = \frac{\omega L}{R} $$

(7) V₀ の ω 依存性

$V_0 = I_0\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ なので、$\omega$ が大きくなると $V_0$ は単調増加します。

$\omega = 0$ で $V_0 = I_0 R$、$\omega \to \infty$ で $V_0 \to I_0\omega L$（線形増加）。

答え
$V_0$ は $\omega$ が増加すると単調に増加。$\omega = 0$ で $V_0 = I_0 R$ から始まり、大きな $\omega$ では $V_0 \fallingdotseq I_0\omega L$ に漸近。

(8) 消費電力のグラフ

抵抗の消費電力 $W_R = RI^2 = RI_0^2\sin^2\omega t$。コイルの消費電力 $W_L = V_L \cdot I = \omega LI_0^2\sin\omega t\cos\omega t = \frac{1}{2}\omega LI_0^2\sin 2\omega t$。

$W_R$ は常に正（エネルギー散逸）、$W_L$ は正負を繰り返す（エネルギーの蓄積と放出）。

答え
$W_R$: 0〜$RI_0^2$ の範囲で振動（常に正）、最大値 $RI_0^2$、最小値 0。
$W_L$: $-\frac{1}{2}\omega LI_0^2$〜$+\frac{1}{2}\omega LI_0^2$ の範囲で振動（周期は $W_R$ の半分）。

(9) 一周期あたりの消費電力

コイルは一周期で正味のエネルギーを消費しません（蓄積と放出が相殺）。したがって回路全体の平均消費電力は抵抗のみ：

$$ P = \frac{1}{T}\int_0^T RI_0^2\sin^2\omega t\,dt = \frac{1}{2}RI_0^2 $$

$I_0$、$R$、$L$ を用いて表すと：

答え
$$ P_{\text{avg}} = \frac{1}{2}I_0^2 R $$ コイルの消費電力は一周期で打ち消し合い、正味の消費は抵抗のみ。

💡 別解：力率を用いた表現

平均電力は「力率」$\cos\phi$ を用いても表せます：

$$ P = \frac{1}{2}V_0 I_0 \cos\phi = \frac{1}{2}I_0^2\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}} = \frac{1}{2}I_0^2 R $$

力率 $\cos\phi = R/Z$ は、回路がどの程度「抵抗的」かを表す指標です。

まとめ

自己誘導起電力：$V = -L\frac{dI}{dt}$（レンツの法則）
コイルのエネルギー：$W = \frac{1}{2}LI^2$
RL 回路の位相差：$\tan\phi = \omega L/R$（電圧が電流より進む）
平均消費電力：コイルは正味0、抵抗のみ $\frac{1}{2}I_0^2 R$

前期 大問３：電磁気（コイルの自己誘導と RL 交流回路）