斜面付きの台の上で小球 A（ばねに繋がれて静止）と小球 B（斜面から離された）が運動する問題。問1 は台が固定されている場合、問2 は台も運動する場合（摩擦なし）。
水平面を基準にしたとき、B は高さ h の位置にあるので、重力による位置エネルギーは \(mgh\)。これがすべて運動エネルギーに変換されて B は水平面に着く。
重力による位置エネルギーは、基準面から測った高さと質量の積：
$$U_B = m \cdot g \cdot h = mgh$$（水平面を基準とした場合）
基準面の選び方は任意だが、問題で「水平面を基準」と指定されている。地面を基準にすると \(U_B = mg(h + H_{台})\) だが、ばねは台の上にあるので同じ台表面を基準にする方が自然。
位置エネルギーは基準面からの高さで決まる。基準を明確にすることが重要。
斜面上の小球には重力 mg と垂直抗力 N が働く。重力を斜面に沿う方向と垂直方向に分解すると、斜面方向の成分は \(mg\sin\phi\)（下向き）。摩擦がないのでこれが加速の原因。
斜面上で B の運動方程式（斜面方向）：
$$ma = mg\sin\phi$$両辺を m で割って：
$$a = g\sin\phi$$これは斜面の傾き \(\phi\) のみに依存（質量に無関係）、重力加速度の斜面成分。
重力 mg は鉛直下向き。これを斜面に平行な成分と垂直な成分に分解：
斜面上の運動では重力を斜面平行・垂直の2成分に分解する。摩擦なしでは加速度 \(g\sin\phi\) は角度のみに依存。
B が斜面上で動くとき、斜面と垂直な方向の力のつり合いから垂直抗力 N が決まる。台が壁に押さえられているので、台が壁から受ける反作用が「B が斜面を押す力の水平成分」と釣り合う。
【問(3) 垂直抗力】斜面に垂直方向の力のつり合い：
$$N = mg\cos\phi$$B が斜面を押す力は、作用反作用で \(N = mg\cos\phi\)（斜面を押す方向＝斜面に垂直内向き）。
【問(4) 壁が台を押す力】B が台に及ぼす力の水平成分（斜面を押す力が水平方向にも成分を持つ）は \(N\sin\phi\)。台が静止しているなら壁の力 \(F_{wall}\) がこれと釣り合う：
$$F_{wall} = N\sin\phi = mg\cos\phi \cdot \sin\phi = \frac{mg\sin 2\phi}{2}$$【問(5) 斜面終端の速さ】水平面を基準とした場合、A 点の高さ h から B 点（水平面）まで摩擦なく滑り降りる。エネルギー保存則：
$$mgh = \frac{1}{2}m v_B^2$$ $$v_B = \sqrt{2gh}$$(3) \(N = mg\cos\phi\)
(4) \(F_{wall} = \tfrac{mg\sin 2\phi}{2} = mg\sin\phi\cos\phi\)
(5) \(v_B = \sqrt{2gh}\)
斜面の長さ \(\ell = h/\sin\phi\)、加速度 \(g\sin\phi\)。等加速度運動 \(\ell = \tfrac{1}{2}at^2\) より：
$$t = \sqrt{\frac{2\ell}{a}} = \sqrt{\frac{2h/\sin\phi}{g\sin\phi}} = \frac{1}{\sin\phi}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$斜面問題の三点セット：加速度 \(g\sin\phi\)、垂直抗力 \(mg\cos\phi\)、終端速度 \(\sqrt{2gh}\)（エネルギー保存）。
B（速さ \(\sqrt{2gh}\)）が静止している A と完全非弾性衝突で合体。運動量保存で一体の速度。その後ばねと繋がっているので単振動になり、振動中心はばねの自然長位置。
【問(7) 一体化後の速さ】運動量保存（A 静止、B 速さ \(\sqrt{2gh}\)、質量ともに m）：
$$m\sqrt{2gh} + m \cdot 0 = (m + m) V$$ $$V = \frac{\sqrt{2gh}}{2}$$【問(8) 失われた力学的エネルギー】
$$K_0 = \frac{1}{2}m \cdot 2gh = mgh$$ $$K_1 = \frac{1}{2}(2m) V^2 = m \cdot \frac{2gh}{4} = \frac{mgh}{2}$$ $$\Delta K = K_0 - K_1 = mgh - \frac{mgh}{2} = \frac{mgh}{2}$$【問(9) 単振動の周期】合体した質量 2m がばね定数 k のばねと繋がる単振動：
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}$$振幅は初速 V で決まる。エネルギー保存 \(\tfrac{1}{2}(2m)V^2 = \tfrac{1}{2}k A^2\) より：
$$A = V\sqrt{\frac{2m}{k}} = \sqrt{2gh} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2m}{k}} = \sqrt{\frac{mgh}{k}}$$(7) \(V = \sqrt{2gh}/2\)
(8) \(\Delta K = mgh/2\)
(9) 周期 \(T = 2\pi\sqrt{2m/k}\)、振幅 \(A = \sqrt{mgh/k}\)
失われたエネルギー \(\Delta K = mgh/2\) は、完全非弾性衝突の過程で熱・音・変形に変わる。元の位置エネルギー \(mgh\) の半分が「無駄」になる典型。
単振動の周期は\(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)、ここでは合体質量 2m。振幅は初期エネルギー保存から決まる。
ストッパーを外すと台も自由に動ける。B が斜面を下ると、作用反作用で台は逆方向に押される。外力が水平方向にないので、系全体の水平方向運動量は保存。ここが重心運動の基本。
系全体（台 M + 小球 A・B ともに m, m）は最初静止していたので、水平方向運動量は 0：
$$P_x = M v_M + m v_A + m v_B = 0$$この総運動量が時間的に不変（水平方向の外力なし）。重心速度：
$$v_G = \frac{M v_M + m v_A + m v_B}{M + 2m} = \frac{P_x}{M + 2m} = 0$$つまり重心は最初から最後まで静止したまま。台が右に動けば小球が左に動き、合計して相殺する。
運動量保存：\(M v_M + (2m) v_{ball} = 0\)
重心位置 \(x_G = (Mx_M + mx_A + mx_B)/(M+2m)\) は時間的に不変。これは外力が水平方向になかったため。ただし初期状態からの物体の位置関係は、各物体の動きを追う必要がある。
B が斜面を下って台上の A に衝突する間、台は逆方向に動くので、相対位置（台から見た B の動き）と絶対位置（地面から見た動き）は異なる。
閉じた系では重心は外力のない方向に等速直線運動（または静止）。水平方向の運動量保存は絶対的。