一辺 L の正方形の極板で構成された平行板コンデンサー（間隔 L = 正方形）に、誘電体の液体が底から入る問題。液体の高さを変えると電気容量が変わり、静電エネルギーと仕事の関係から液面にかかる力を考察する。
平行板コンデンサーで極板間電位差 V、間隔 L のとき、一様電場 E は E = V/L。液体が入っていない部分と入っている部分で電場は同じ（並列配置なので電位差は同じ、間隔も同じ）。
極板間電位差 V、極板間隔 L。一様電場は：
$$E = \frac{V}{L}$$液体が入っている部分と空気部分は並列配置（同じ電位差 V が両方にかかる）で、どちらも間隔 L なので電場は同じ。
ただし誘電体内では「電気変位 D」や「自由電荷密度 σ」の関係では異なる。電場 E は同じでも：
誘電体内では分極電荷が生じて電場を弱める効果があるが、コンデンサーが電池に接続されている限り、極板間電位差は V のまま。したがって電場 E = V/L も変わらない。変わるのは「電極に溜まる電荷 Q」。
平行板コンデンサーでE = V/d（d は間隔）。誘電体があっても電池接続なら E は不変。
液体部分（高さ a × 奥行き L）と空気部分（高さ L-a × 奥行き L）は並列接続のコンデンサーとみなせる。両者の容量を足し合わせる。
液体部分と空気部分を並列コンデンサーとして捉える。極板は正方形（一辺 L）、間隔も L。
液体部分（面積 \(a \times L\)、誘電率 \(\varepsilon_r \varepsilon_0\)、間隔 L）：
$$C_l = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \cdot aL}{L} = \varepsilon_r \varepsilon_0 a$$空気部分（面積 \((L-a) \times L\)、誘電率 \(\varepsilon_0\)、間隔 L）：
$$C_a = \frac{\varepsilon_0 (L-a) L}{L} = \varepsilon_0 (L-a)$$並列なので合計：
$$C(a) = C_l + C_a = \varepsilon_r \varepsilon_0 a + \varepsilon_0 (L-a) = \varepsilon_0 [a \varepsilon_r + L - a] = \varepsilon_0 [L + (\varepsilon_r - 1) a]$$a=0（液体なし）：\(C = \varepsilon_0 L\) → 面積 \(L^2\)、間隔 L、誘電率 \(\varepsilon_0\) で \(C_0 = \varepsilon_0 L^2/L = \varepsilon_0 L\)。OK。
a=L（全部液体）：\(C = \varepsilon_r \varepsilon_0 L\) → 全部誘電体で \(C = \varepsilon_r \cdot C_0\)。OK。
コンデンサー内に誘電体が部分的に入る場合、並列または直列として容量を計算。液体と空気の境界が電場に垂直なら並列、電場方向に並ぶなら直列。
電池接続状態（V 一定）で液体を注入すると、容量 C が増える → 電荷 Q = CV も増える → 電池から追加電荷が供給される。静電エネルギー \(U = \tfrac{1}{2}CV^2\) も C に比例して増える。
静電エネルギーの一般形式：\(U = \tfrac{1}{2}CV^2\)
液体が入る前（\(a = 0\)）：\(C_0 = \varepsilon_0 L\)、\(U_0 = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 L V^2\)
液体が高さ \(a\) まで入った後：\(C(a) = \varepsilon_0[L + (\varepsilon_r - 1)a]\)、\(U_a = \tfrac{1}{2}C(a)V^2\)
静電エネルギーの変化：
$$\Delta U = U_a - U_0 = \frac{1}{2}[C(a) - C_0]V^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)a V^2$$電池接続状態では、電池は電荷の増分 \(\Delta Q = (C(a) - C_0)V\) を電位差 V で運ぶ仕事をする：
$$W_{電池} = V \cdot \Delta Q = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)a V^2$$静電エネルギー増加は半分のみ \(\tfrac{1}{2}W_{電池}\)。残りの半分は液体を引き込む仕事（外力なしでも誘電体が引き込まれる）。
電池接続での静電エネルギー：ΔU = ½·ΔC·V²。電池の仕事の半分だけエネルギー増加（残りは誘電体の引き込みに使われる）。
誘電体液面はコンデンサーの電場方向に引き込まれる力を受ける。この力はエネルギー保存則から計算できる：液面を微小距離 dx 持ち上げるために必要な外力と、静電エネルギー変化＋電池の仕事の関係。
電池接続状態（V 一定）で液面の高さを a から a+da に上げたとき、系全体のエネルギー収支：
$$dW_{電池} = V \cdot dQ = V \cdot dC \cdot V = V^2 \cdot dC$$静電エネルギー変化：\(dU = \tfrac{1}{2}V^2 dC\)
外力がする仕事 \(dW_{外} = -F \cdot da\)（液体が上方向に引き込まれるなら、外力は下方向に働く反作用）。エネルギー保存：
$$dW_{電池} = dU + dW_{誘電体} + dW_{外}$$誘電体を引き込むために使われるエネルギー：
$$F \cdot da = dW_{電池} - dU = \frac{1}{2}V^2 dC = \frac{1}{2}V^2 \cdot \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1) \cdot da$$したがって液体を引き上げる力：
$$F = \frac{1}{2}\varepsilon_0(\varepsilon_r - 1) V^2$$（単位：幅 L あたりの力。厳密には \(F = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0(\varepsilon_r - 1) V^2/L \cdot L = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0(\varepsilon_r - 1) V^2\)）
向き：液体を極板間に引き込む方向（上向き、電場の強い方）
誘電体内では電場によって分極が生じる。分極した誘電体は「双極子」として電場から力を受け、電場の強い方に引き込まれる（Maxwell の応力）。
この現象は「キッチンペーパーでコンデンサーに水を吸わせる」のように、実験で観察できる。
誘電体にはたらく力は電場の勾配方向。電池接続（V 一定）では \(F = \tfrac{1}{2}(\varepsilon_r - 1)\varepsilon_0 V^2/L\)（単位幅あたり）。
問2 は極板に平行に（水平に）電場をかける設定（液面が垂直方向に動く液柱の電場による力）。極板間の電場によって液体中の分極電荷が静電力を受ける。液体は電場の強い領域に引き込まれる性質を持つ。
問2 では極板に平行な電場を加える設定で、液面が上向きに引き上げられる。
液柱が極板間に入るほど、コンデンサーの容量が増える。液柱の単位高さあたり（極板幅 L）の容量変化：
$$\frac{dC}{dy} = \varepsilon_0 L (\varepsilon_r - 1) \cdot \frac{L}{L} = \varepsilon_0 L (\varepsilon_r - 1)$$電池接続状態で液面が上がる時、エネルギー保存より液体を引き上げる力：
$$F = \frac{1}{2} V^2 \cdot \frac{dC}{dy} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 L (\varepsilon_r - 1) V^2$$重力による静水圧が液柱の高さ y を支えるので、つり合い：
$$\rho g y \cdot S = F = \frac{1}{2}\varepsilon_0 L (\varepsilon_r - 1) V^2$$静止時の液面の高さ y：
$$y = \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1) V^2}{2 \rho g L}$$（S = L^2、cross-section 式の整理）
液面を極板間に引き上げる力（電場の強い方向へ誘電体が引き込まれる）
液柱 y だけ上がると、液柱の重さ \(\rho g y S\)（S は極板断面積）が電場の引き込み力 F と釣り合うところで静止する：
$$\rho g y \cdot L^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 L (\varepsilon_r - 1) V^2 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{(\varepsilon_r - 1)\varepsilon_0 V^2}{2 \rho g L}$$実験：水（\(\varepsilon_r \approx 80\)）を使うと、数百ボルトの電圧で数mm の液面上昇が観察できる（キャピラリー現象とは別）。
電場による液体の引き込みは誘電体の極性による現象。電圧を上げると引き込みが強くなる（V² 依存）。
液柱にはたらく重力（下向き）と、電場による引き込み力（上向き）のつり合いで、静止状態の液面の高さが決まる。電圧が高いほど高く上がる。
液柱の重さ = 電場による引き込み力の釣り合い：
$$\rho g y \cdot L^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 L (\varepsilon_r - 1) V^2$$y について解くと：
$$y = \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1) V^2}{2 \rho g L}$$電圧 V の 2 乗に比例、液体の密度 ρ に反比例、極板間隔 L に反比例。
水（\(\varepsilon_r \approx 80\)、\(\rho = 10^3\) kg/m³）、L = 1 mm、V = 1 kV で：
$$y \approx \frac{8.85 \times 10^{-12} \cdot 79 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^3 \cdot 9.8 \cdot 10^{-3}} \approx 3.6 \times 10^{-5} \text{ m} = 36\text{ μm}$$非常にわずかな上昇だが、精密測定で検出可能。
重力と静電力のつり合いで液柱の高さが決まる。電場効果は V² に比例するので電圧を少し上げるだけで大きく変化する。