熱力学の総合問題です。全体を通じて外部から気体に加えた熱量を正、気体が外部にした仕事を正とし、気体定数を \(R\)、単原子分子理想気体の定積モル比熱を \(C_v=\dfrac{3}{2}R\) とします。
気体をゆっくり温めると、加えた熱 \(Q_p\) は 2 つの行き先に分かれる。一部は分子の運動を激しくして内部エネルギー \(\Delta U\) を増やし、残りはピストンを押して外へ仕事 \(W\) をする。この「熱の会計」がそのまま熱力学第一法則 \(Q_p=\Delta U+W\) である。
1 mol の理想気体を考える。語句ア＝熱力学第一法則より、加えた熱 \(Q_p\) は内部エネルギー変化 \(\Delta U\) と気体が外部にする仕事 \(W\) に分配される（式①）：
$$Q_p = \Delta U + W$$定圧変化では気体はピストンを押して膨張する。1 mol の状態方程式 \(pV=RT\) の両辺の変化をとると、圧力 \(p\) 一定のもとで \(p\,\Delta V = R\,\Delta T\)。したがって仕事 \(W=p\,\Delta V\) は（式②）：
$$W = p\,\Delta V = R\,\Delta T$$また、定圧モル比熱 \(C_p\) の定義（1 mol・温度差 \(\Delta T\) あたりに要する熱）から（式③）：
$$Q_p = C_p\,\Delta T$$1 mol の理想気体で \(pV=RT\)。圧力 \(p\) を一定に保ったまま温度を \(\Delta T\) 変えると、体積が \(\Delta V\) 変わる。\(pV=RT\) の \(V\) だけを変数とみた変化は \(p\,\Delta V = R\,\Delta T\)。気体がゆっくり膨張するときの仕事は \(W=p\,\Delta V\) なので、\(W=R\,\Delta T\) が出る。圧力によらず温度差だけで決まるのがポイント。
定圧変化の 3 点セット：第一法則 \(Q_p=\Delta U+W\)、仕事 \(W=R\,\Delta T\)（1 mol）、熱 \(Q_p=C_p\,\Delta T\)。この 3 つが問1後半のマイヤーの関係の材料になる。
体積を固定して温めると、ピストンが動かないので仕事はゼロ。加えた熱はまるごと分子の運動エネルギー（＝内部エネルギー）を上げるためだけに使われる。だから定積変化では「熱＝内部エネルギー変化」がそのまま成り立つ。
体積を一定に保つと、ピストンは動かず気体は膨張も収縮もしない。したがって外部にする仕事は（式④）：
$$W = 0$$これを第一法則（式①の形）に入れると、加えた熱 \(Q_v\) はそのまま内部エネルギー変化に等しい（式⑤）。すなわち \(Q_v\) は語句イ＝内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) に等しい：
$$Q_v = \Delta U + W = \Delta U$$定積モル比熱 \(C_v\) の定義から、1 mol・温度差 \(\Delta T\) に必要な熱は（式⑥）：
$$Q_v = C_v\,\Delta T$$理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数で、\(\Delta U=nC_v\Delta T\) と書ける。式⑤・式⑥から 1 mol では \(\Delta U=C_v\Delta T\)。この関係は定積変化に限らず、定圧でも他のどんな変化でも成り立つ（等温では \(\Delta T=0\) なので \(\Delta U=0\)）。だから「\(\Delta T\) が同じならどんな過程でも \(\Delta U\) は同じ」という問題文の記述が成り立ち、これが次のマイヤーの関係の要になる。
定積変化は仕事ゼロだから、加えた熱が全部 \(\Delta U\) に化ける。逆に言えば \(\Delta U=C_v\Delta T\) は過程によらず使える万能式。
同じ温度差 \(\Delta T\) だけ温めても、定圧のほうが定積より多くの熱がいる。理由は明快で、定圧では内部エネルギーを上げる分（\(C_v\Delta T\)）に加えて、膨張して外に仕事をする分（\(R\Delta T\)）も余分に熱を食うから。この「差額 \(R\)」がマイヤーの関係 \(C_p=C_v+R\) の正体。
「温度変化 \(\Delta T\) が同じなら内部エネルギー変化 \(\Delta U\)（＝語句イ）はどの過程でも等しい」ので、定積で得た \(\Delta U=Q_v\)（式⑤）を、定圧の第一法則にそのまま使える。式①（\(Q_p=\Delta U+W\)）に、式⑤（\(\Delta U=Q_v\)）と式②（\(W=R\,\Delta T\)）を代入すると（式⑦）：
$$Q_p = Q_v + R\,\Delta T$$ここへ式⑥（\(Q_v=C_v\,\Delta T\)）を代入すると（式⑧）：
$$Q_p = C_v\,\Delta T + R\,\Delta T = (C_v + R)\,\Delta T$$一方、式③は \(Q_p=C_p\,\Delta T\)。式③と式⑧を見比べれば、\(C_p\,\Delta T=(C_v+R)\Delta T\) がどんな \(\Delta T\) でも成り立つので：
$$C_p = C_v + R$$すなわち定圧モル比熱 \(C_p\) は、定積モル比熱 \(C_v\) に語句ウ＝気体定数 \(R\) を加えた大きさである。
単原子分子理想気体では \(C_v=\dfrac{3}{2}R\) なので、マイヤーの関係から \(C_p=\dfrac{3}{2}R+R=\dfrac{5}{2}R\)。比熱比は \(\gamma=\dfrac{C_p}{C_v}=\dfrac{5/2}{3/2}=\dfrac{5}{3}\fallingdotseq 1.67\)。二原子分子では \(C_v=\dfrac{5}{2}R,\ C_p=\dfrac{7}{2}R,\ \gamma=\dfrac{7}{5}=1.4\) となる。どちらも \(C_p-C_v=R\) はそのまま成り立つのがマイヤーの関係の普遍性。
マイヤーの関係 \(C_p=C_v+R\) の導出は「定積の熱＝ΔU」を定圧の第一法則に流用するのが核心。差の \(R\) は膨張で外にする仕事 \(R\Delta T\) の分。
気体の量（モル数）はサイクルの間ずっと変わらない。だから 4 状態のうち数値がわかっている 1 点（例えば A）で状態方程式 \(pV=nRT\) を立てれば、\(n\) が決まる。A は圧力 \(2p_0\)、温度 \(T_0\)、体積 \(V_A\)。
物質量 \(n\) はサイクル中で一定なので、体積が \(V_A\) とわかっている状態 A で状態方程式を立てる。A の圧力は \(2p_0\)、温度は \(T_0\)：
$$p_A V_A = n R T_A \quad\Longrightarrow\quad 2p_0\,V_A = n R T_0$$これを \(n\) について解く：
$$n = \frac{2p_0 V_A}{R T_0}$$上の結果を書き換えると \(nR=\dfrac{2p_0V_A}{T_0}\)、すなわち \(nRT_0=2p_0V_A\)。この一手間で、以降に出てくる \(nRT\) 型の量がすべて \(p_0V_A\) の倍数で書ける。たとえば A→B の温度差 \(\Delta T=T_0\) なら \(nR\Delta T=2p_0V_A\)。仕事・熱量・内部エネルギーの計算が一気に軽くなる。
モル数は数値のそろった 1 点で状態方程式を立てれば出る。A は圧力が \(2p_0\)（\(p_0\) ではない）である点に注意。
各状態の体積は \(V=\dfrac{nRT}{p}\) で決まる。温度が高いほど、圧力が低いほど体積は大きい。基準の A（\(T_0,\ 2p_0,\ V_A\)）と比べると、温度が 2 倍になれば体積 2 倍、圧力が半分になれば体積 2 倍——この比例・反比例だけで暗算できる。
問2(1)で \(nR=\dfrac{2p_0V_A}{T_0}\)（＝\(nRT_0=2p_0V_A\)）が得られた。各状態で \(V=\dfrac{nRT}{p}\) に代入する。
状態 B（\(T=2T_0,\ p=2p_0\)）：
$$V_B = \frac{nR\cdot 2T_0}{2p_0} = \frac{nRT_0}{p_0} = \frac{2p_0V_A}{p_0} = 2V_A$$状態 C（\(T=2T_0,\ p=p_0\)）：
$$V_C = \frac{nR\cdot 2T_0}{p_0} = \frac{2\cdot 2p_0V_A}{p_0} = 4V_A$$状態 D（\(T=T_0,\ p=p_0\)）：
$$V_D = \frac{nRT_0}{p_0} = \frac{2p_0V_A}{p_0} = 2V_A$$基準 A は \((T_0,\,2p_0,\,V_A)\)。\(V\propto \dfrac{T}{p}\) なので、A からの倍率で考えると速い：
B と D は体積が同じ \(2V_A\)（p‑V 図では真上・真下に並ぶ）という事実は、問2(5)の作図で効いてくる。
\(V=\dfrac{nRT}{p}\) に \(nRT_0=2p_0V_A\) を代入するだけ。B と D は同体積 \(2V_A\)、C が最大の \(4V_A\)。
A→B は圧力 \(2p_0\) を保ったまま膨張する定圧変化。定圧なら仕事は「一定の圧力 × 体積の増加」＝ \(p\,\Delta V\)。p‑V 図では長方形の面積そのものだ。膨張（体積増）なので気体は正の仕事をする。
A→B は圧力 \(2p_0\) 一定の定圧変化。体積は \(V_A\) から \(V_B=2V_A\)（問2(2)）へ増える。定圧の仕事は \(W=p\,\Delta V\)：
$$W_{AB} = p\,\Delta V = 2p_0\,(V_B - V_A) = 2p_0\,(2V_A - V_A)$$これを計算する：
$$W_{AB} = 2p_0\,V_A$$定圧変化の仕事は 1 mol あたり \(R\Delta T\)（問1・式②）だから、\(n\) mol では \(W=nR\Delta T\)。A→B の温度変化は \(\Delta T=2T_0-T_0=T_0\)。\(nRT_0=2p_0V_A\) を使うと：
$$W_{AB} = nR\,\Delta T = nRT_0 = 2p_0V_A$$面積計算と完全に一致する。体積が \(V_A\) 増えるのに圧力が \(2p_0\) だから、素直に掛け算しても同じ。
定圧変化の仕事は\(p\,\Delta V\)＝p‑V 図の長方形の面積。膨張なら正、圧縮なら負。ここでは \(2p_0\times V_A=2p_0V_A\)。
A→B で加えた熱は 2 つに分かれる。内部エネルギーを上げる分 \(\Delta U\)（温度が \(T_0\) 上がるので必ず正）と、膨張して外にする仕事 \(W\)。定圧だから両方とも正で、その和が吸収した熱 \(Q_{AB}\) になる。
まず内部エネルギー変化。単原子分子なので \(C_v=\dfrac{3}{2}R\)、温度変化は \(\Delta T=T_0\)。\(nRT_0=2p_0V_A\) を使う：
$$\Delta U = n C_v \Delta T = \frac{3}{2}nR\,T_0 = \frac{3}{2}\cdot 2p_0V_A = 3p_0V_A$$仕事は問2(3)で \(W_{AB}=2p_0V_A\)。熱力学第一法則 \(Q=\Delta U+W\) より：
$$Q_{AB} = \Delta U + W_{AB} = 3p_0V_A + 2p_0V_A = 5p_0V_A$$定圧変化なら \(Q=nC_p\Delta T\)。単原子分子は \(C_p=\dfrac{5}{2}R\)（マイヤーの関係、問1）だから：
$$Q_{AB} = nC_p\Delta T = \frac{5}{2}nR\,T_0 = \frac{5}{2}\cdot 2p_0V_A = 5p_0V_A$$\(\Delta U:W:Q = 3:2:5\)（＝\(C_v:R:C_p\) の比）になっているのがきれい。定圧で加えた熱の \(\tfrac{2}{5}\) が仕事に、\(\tfrac{3}{5}\) が内部エネルギーに回る。
定圧の吸収熱は \(Q=\Delta U+W\)。単原子分子では \(\Delta U=\dfrac32 nR\Delta T\)、\(W=nR\Delta T\) なので比が \(3:2:5\)。\(C_p=\dfrac52 R\) を覚えていれば \(Q=nC_p\Delta T\) で即答できる。
p‑T 図の長方形を p‑V 図に描き直すと、定圧の 2 辺は水平線、等温の 2 辺は反比例曲線 \(pV=\text{一定}\) になる。サイクルは時計回りに閉じ、その囲む面積が正味の仕事。膨張側（上）で外にした仕事から、圧縮側（下）で外からされた仕事を差し引いた残りだ。等温部分には自然対数が現れる。
作図：p‑V 平面での 4 点は A\((V_A,2p_0)\)、B\((2V_A,2p_0)\)、C\((4V_A,p_0)\)、D\((2V_A,p_0)\)。A→B と C→D は水平線（定圧）、B→C と D→A は反比例曲線 \(pV=\text{一定}\)（等温）。矢印は A→B→C→D→A の時計回りで、囲む領域が正味の仕事の面積（上のシムの斜線部）。
各過程の仕事を求める。等温では \(pV=nRT\) が一定で、仕事は \(W=nRT\log_e\dfrac{V_{\text{後}}}{V_{\text{前}}}\)。
A→B（定圧・膨張）：問2(3)より
$$W_{AB} = 2p_0V_A$$B→C（等温・\(2T_0\)・\(2V_A\to4V_A\)）：\(nR\cdot 2T_0 = 2\cdot 2p_0V_A = 4p_0V_A\) だから
$$W_{BC} = nR(2T_0)\log_e\frac{4V_A}{2V_A} = 4p_0V_A\,\log_e 2$$C→D（定圧・圧縮・\(p_0\)・\(4V_A\to2V_A\)）：
$$W_{CD} = p_0(2V_A - 4V_A) = -2p_0V_A$$D→A（等温・\(T_0\)・\(2V_A\to V_A\)）：\(nRT_0=2p_0V_A\) だから
$$W_{DA} = nRT_0\log_e\frac{V_A}{2V_A} = 2p_0V_A\,\log_e\frac{1}{2} = -2p_0V_A\,\log_e 2$$正味の仕事は 4 つの和：
$$W_{\text{正味}} = 2p_0V_A + 4p_0V_A\log_e 2 - 2p_0V_A - 2p_0V_A\log_e 2$$ $$= 2p_0V_A\,\log_e 2$$1 サイクルでは内部エネルギーが元に戻る（\(\Delta U_{\text{cycle}}=0\)）ので、第一法則より 正味の仕事＝正味の吸収熱。各過程の熱を足す：
仕事の合計と一致。作図の面積計算が正しいことの確認になる。
p‑V 図で時計回りのループの面積＝正味の仕事（正）。定圧は長方形、等温は \(pV=\)一定の曲線で \(W=nRT\log_e\dfrac{V_2}{V_1}\)。膨張の等温（高温 \(2T_0\)）と圧縮の等温（低温 \(T_0\)）で係数が違うため、差が残って \(2p_0V_A\log_e2\) になる。
熱効率は「もらった熱のうち、どれだけを仕事に変えられたか」の割合 \(\eta=\dfrac{W_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸収}}}\)。正味の仕事は p‑V 図の形だけで決まるので気体の種類を変えても不変。ところが二原子分子は比熱が大きく、同じ温度上昇（A→B）により多くの熱を吸う。分母 \(Q_{\text{吸収}}\) だけが増えるので、効率は下がる。
熱効率の定義は、1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事 \(W_{\text{正味}}\) を、その間に外部から吸収した熱量 \(Q_{\text{吸収}}\)（正の熱だけの合計）で割ったもの：
$$\eta = \frac{W_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸収}}}$$このサイクルで吸熱するのは A→B（定圧加熱）と B→C（等温膨張）。放熱するのは C→D と D→A。したがって \(Q_{\text{吸収}} = Q_{AB} + Q_{BC}\)。ここで \(W_{\text{正味}}=2p_0V_A\log_e2\) と \(Q_{BC}=4p_0V_A\log_e2\) は p‑V 図の形だけで決まり、気体の種類にはよらない。変わるのは定圧加熱 \(Q_{AB}=nC_p\Delta T\) だけである。
単原子分子（\(C_p=\dfrac{5}{2}R\)）：\(Q_{AB}=nC_pT_0=\dfrac{5}{2}\cdot2p_0V_A=5p_0V_A\)。
$$\eta_1 = \frac{2p_0V_A\log_e2}{5p_0V_A + 4p_0V_A\log_e2} = \frac{2\log_e2}{5+4\log_e2}\fallingdotseq 0.178\ (17.8\%)$$二原子分子（\(C_p=\dfrac{7}{2}R\)）：\(Q_{AB}=\dfrac{7}{2}\cdot2p_0V_A=7p_0V_A\) に増える。
$$\eta_2 = \frac{2p_0V_A\log_e2}{7p_0V_A + 4p_0V_A\log_e2} = \frac{2\log_e2}{7+4\log_e2}\fallingdotseq 0.142\ (14.2\%)$$分子（正味の仕事）は同じなのに、分母（吸収熱）が \(5p_0V_A\to7p_0V_A\) と増えるため、\(\eta_2<\eta_1\)。よって熱効率は下がる。
熱効率は \(\eta=\dfrac{W_{\text{正味}}}{Q_{\text{吸収}}}\) で定義される。正味の仕事 \(W_{\text{正味}}=2p_0V_A\log_e2\) は p‑V 図の面積で決まり気体の種類によらないが、二原子分子は定積・定圧モル比熱が大きく、定圧加熱 A→B での吸収熱 \(Q_{AB}=nC_p\Delta T\) が \(5p_0V_A\) から \(7p_0V_A\) へ増える。分子が同じで分母だけ大きくなるので、\(\eta\) は下がる。
正味の仕事は p‑V 図上の閉曲線が囲む面積で、圧力と体積の関係（＝状態方程式と与えられた 4 点）だけで決まる。比熱は「同じ温度変化にどれだけ熱が要るか」の係数であって、p と V の値そのものは変えない。だから面積＝仕事は不変。一方で内部エネルギーや吸収熱は \(C_v,\,C_p\) を通じて気体の自由度（単原子 3、二原子 5）に依存する。結果として「仕事は同じ・吸収熱だけ増える → 効率低下」となる。
数値でも確認できる：\(\log_e2\fallingdotseq0.693\) として \(\eta_1=\dfrac{1.386}{7.77}\fallingdotseq0.178\)、\(\eta_2=\dfrac{1.386}{9.77}\fallingdotseq0.142\)。確かに下がっている。
効率の増減は「分子（正味の仕事）は不変、分母（吸収熱）が比熱の増加で大きくなる」と捉えるのが最短。定義 \(\eta=W_{\text{正味}}/Q_{\text{吸収}}\) を必ず明示し、\(Q_{\text{吸収}}\) がどの過程の熱かを特定するのがコツ。