斜面を滑り降りた小球 P が、水平面のばね付き小球 Q と衝突し、合体または弾性衝突を経て斜面を飛び出す総合問題。保存則（運動量・エネルギー）を使い分けることがポイント。
静止していた小球 P は、A 点から斜面を滑り落ちて B 点に達する。滑面に摩擦がないので、位置エネルギー \(Mgh\) がすべて運動エネルギーに変わる。
A 点（高さ h、静止）→ B 点（高さ 0）まで、摩擦がないのでエネルギー保存則：
$$Mgh = \frac{1}{2}M v_{PB}^2$$両辺を M で割って解くと：
$$v_{PB}^2 = 2gh \quad \Rightarrow \quad v_{PB} = \sqrt{2gh}$$摩擦のない斜面では、高さの変化だけがエネルギー変化を決める。同じ高さ h からの滑降であれば、斜面の角度や長さにかかわらず B 点での速さは \(\sqrt{2gh}\) で同じ。
摩擦のない滑面ではエネルギー保存：\(\tfrac{1}{2}mv^2 = mgh\)。これは自由落下と同じ結果 \(v = \sqrt{2gh}\)。
質量 M の P が速さ \(\sqrt{2gh}\) で質量 m の Q に衝突し、完全非弾性（合体）。運動量保存で衝突後の共通速度が決まる。\(M > m\) なら衝突後は元の速度より少し遅く（質量が増えた分）、\(M = m\) なら半分に。
運動量保存則（衝突前：Q 静止、P 速さ \(\sqrt{2gh}\)、衝突後：合体して速さ V）：
$$M\sqrt{2gh} + m \cdot 0 = (M + m) V$$V について解くと：
$$V = \frac{M}{M+m}\sqrt{2gh}$$衝突前の運動エネルギー：\(K_0 = \tfrac{1}{2}M \cdot 2gh = Mgh\)
衝突後：\(K_1 = \tfrac{1}{2}(M+m)V^2 = \tfrac{1}{2}(M+m) \cdot \tfrac{M^2 \cdot 2gh}{(M+m)^2} = \tfrac{M^2 gh}{M+m}\)
損失：\(\Delta K = Mgh - \tfrac{M^2 gh}{M+m} = \tfrac{Mmgh}{M+m}\)
\(M = m\) なら半分のエネルギーが失われる。
完全非弾性衝突では運動量保存は成り立つが運動エネルギーは保存しない。失われたエネルギーは変形・熱になる。
合体した P+Q（質量 M+m、速さ V）の運動エネルギーがすべてばねの弾性エネルギーに変換された瞬間、ばねは最も縮み、瞬間的に停止する。
合体後の運動エネルギー \(\tfrac{1}{2}(M+m)V^2\) がすべてばねの弾性エネルギー \(\tfrac{1}{2}kx^2\) に変換：
$$\frac{1}{2}(M+m)V^2 = \frac{1}{2}k x^2$$x について解くと：
$$x^2 = \frac{(M+m) V^2}{k}, \quad x = V\sqrt{\frac{M+m}{k}}$$V に問(2)の結果を代入：
$$x = \frac{M\sqrt{2gh}}{M+m} \cdot \sqrt{\frac{M+m}{k}} = \frac{M\sqrt{2gh}}{\sqrt{k(M+m)}} = \sqrt{\frac{2M^2 g h}{k(M+m)}}$$ばねが自然長に戻ったとき、エネルギーは全部運動エネルギーに戻るので、合体物体の速さは V に戻る（エネルギー損失がない理想ばね）。このあと P+Q は速さ V で元の方向（左）に戻る。
ばねの最大縮みは運動エネルギー → 弾性エネルギーの変換で決まる。\(\tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2}kx^2\) → \(x = v\sqrt{m/k}\)。
合体前は P の運動エネルギーだけ、合体後は P+Q の運動エネルギー。運動量は保存するが運動エネルギーは減る。減った分は変形や熱になる。
衝突前：P のみ運動 \(K_0 = \tfrac{1}{2}M(\sqrt{2gh})^2 = Mgh\)
衝突後：合体物体 \(K_1 = \tfrac{1}{2}(M+m)V^2\)
\(V = \tfrac{M}{M+m}\sqrt{2gh}\) を代入：
$$K_1 = \frac{1}{2}(M+m) \cdot \frac{M^2 \cdot 2gh}{(M+m)^2} = \frac{M^2 gh}{M+m}$$失われた運動エネルギー：
$$\Delta K = K_0 - K_1 = Mgh - \frac{M^2 gh}{M+m} = \frac{Mgh(M+m) - M^2 gh}{M+m} = \frac{Mmgh}{M+m}$$換算質量 \(\mu = Mm/(M+m)\) を使うと、損失は \(\Delta K = \tfrac{1}{2}\mu(v_{rel})^2\) で、相対速度の運動エネルギーに等しい（全部失われる）。
完全非弾性衝突の損失は\(\tfrac{1}{2}\mu v_{rel}^2\)（\(\mu\) = 換算質量）。これが合体後の変形・熱・音になる。
完全弾性衝突では運動量とエネルギーの両方が保存。反発係数 e=1 で、衝突後の P の速さは \((M-m)/(M+m)\) 倍。\(M > m\) なら P は元の向きに進み続け、\(M < m\) なら逆向きに跳ね返る。
完全弾性衝突（\(e=1\)）の公式：P（質量M、初速 \(v_0=\sqrt{2gh}\)）が静止している Q（質量 m）に衝突：
$$v_P' = \frac{M - m}{M + m} v_0 = \frac{M-m}{M+m}\sqrt{2gh}$$ $$v_Q' = \frac{2M}{M + m} v_0 = \frac{2M}{M+m}\sqrt{2gh}$$\(M > m\) なら正（P は進み続ける）、\(M < m\) なら負（逆向きに跳ね返る）。
運動量保存：\(Mv_0 = Mv_P' + mv_Q'\)
運動エネルギー保存：\(\tfrac{1}{2}Mv_0^2 = \tfrac{1}{2}M(v_P')^2 + \tfrac{1}{2}m(v_Q')^2\)
これらを連立して解くと上記の公式。反発係数の定義 \(e = (v_Q' - v_P')/v_0 = 1\) からも同じ結果。
完全弾性衝突の公式は必修：\(v_P' = \tfrac{M-m}{M+m}v_0, v_Q' = \tfrac{2M}{M+m}v_0\)。運動量とエネルギーの両方が保存される特別な場合。
弾性衝突で跳ね返された P が斜面を角度 \(\theta\) で斜上方に飛び出すと、斜方投射となる。水平方向は等速、鉛直方向は等加速度運動。最高点では鉛直速度成分がゼロ、そこで高さが最大になる。
【問3(12) 最高点の高さ】斜面を飛び出した瞬間の速さ \(v = v_P'\)（問9）で、斜面の角度 \(\theta\)。初期速度の鉛直成分は \(v\sin\theta\)、水平成分は \(v\cos\theta\)。
最高点に達する時間は鉛直速度がゼロになる時：
$$v\sin\theta - gt = 0 \quad \Rightarrow \quad t_{max} = \frac{v\sin\theta}{g}$$最高点の高さ（水平面からの高さ）：
$$h_{max} = v\sin\theta \cdot t_{max} - \frac{1}{2}g t_{max}^2 = \frac{v^2 \sin^2\theta}{2g}$$【問3(13) 水平距離】最高点 → 着地までの時間は対称なので、全飛行時間は \(2 t_{max}\)。ただしここは「A 点の真下から点までの水平距離」であり、問題の文脈によると元の発射点（B 点から水平に飛び出し、重力だけで落下して D 点で着地）の水平距離。水平方向は等速運動：
$$L = v\cos\theta \cdot 2 t_{max} = \frac{2v^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$$最高点：
$$h_{max} = \frac{v^2\sin^2\theta}{2g} \quad\text{（v = (M-m)/(M+m)・√(2gh)）}$$水平距離：
$$L = \frac{v^2\sin 2\theta}{g}$$\(L = v^2\sin 2\theta / g\) は \(\sin 2\theta\) が 1 のとき最大 → \(2\theta = 90°\) → \(\theta = 45°\)。初速が一定のとき、水平距離を最大にする打ち出し角は 45°。
最高点 \(h_{max}\) は \(\sin\theta\) が大きいほど高く、\(\theta = 90°\)（真上投げ）で最大。
斜方投射は水平方向：等速、鉛直方向：等加速度で独立に考える。最高点は鉛直速度 0、飛距離は \(v^2\sin 2\theta / g\)。
代表値で各量を計算。\(M = 1.0\) kg, \(m = 0.5\) kg, \(h = 0.80\) m, \(k = 100\) N/m, \(\theta = 30°\), \(g = 9.8\) m/s² で。
代表値での計算（\(M = 1.0\) kg, \(m = 0.5\) kg, \(h = 0.80\) m, \(g = 9.8\) m/s²）：
(1) 滑り終わりの速さ：
$$v_B = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.80} = \sqrt{15.68} \approx 3.96 \text{ m/s}$$(2) 合体後の速さ：
$$V = \frac{1.0 \times 3.96}{1.0 + 0.5} = \frac{3.96}{1.5} \approx 2.64 \text{ m/s}$$(3) ばねの最大縮み（\(k = 100\) N/m）：
$$x = \sqrt{\frac{2 \times 1.0^2 \times 9.8 \times 0.80}{100 \times 1.5}} = \sqrt{\frac{15.68}{150}} \approx 0.32 \text{ m} = 32 \text{ cm}$$(5) 完全弾性衝突後の P の速さ：
$$v_P' = \frac{1.0 - 0.5}{1.0 + 0.5} \times 3.96 = \frac{0.5}{1.5} \times 3.96 \approx 1.32 \text{ m/s}$$(6) 最高点の高さ（\(\theta = 30°\)）：
$$h_{max} = \frac{1.32^2 \times (\sin 30°)^2}{2 \times 9.8} = \frac{1.74 \times 0.25}{19.6} \approx 0.022 \text{ m} = 2.2 \text{ cm}$$(7) 飛距離：
$$L = \frac{1.32^2 \times \sin 60°}{9.8} = \frac{1.74 \times 0.866}{9.8} \approx 0.154 \text{ m} = 15.4 \text{ cm}$$\(v_B \approx 3.96\) m/s, \(V \approx 2.64\) m/s, \(x \approx 0.32\) m
\(v_P' \approx 1.32\) m/s, \(h_{max} \approx 2.2\) cm, \(L \approx 15.4\) cm
合体の場合、損失率 \(\Delta K/K_0 = m/(M+m) = 0.5/1.5 = 33\%\)。つまり 1/3 のエネルギーが衝突時に失われる。
数値計算により物理量の規模感を確認。高さ 80 cm の斜面を滑って出る球は毎秒 4 m 程度、ばねを 30 cm 縮める。