解法の指針

磁場中で移動・回転する導体に生じる誘導起電力の問題。問1 は直線移動、問2 は回転運動（ア、イ部分が回路を形成）。ローレンツ力とアンペールの法則の関係を理解することがポイント。

問題の構成

• 問1(1)-(3)：x軸に平行な導線が一定速度 v で y 方向に動く。磁場 B は z 方向
• 問2(4)-(8)：導線（ア〜エ）が z 軸まわりに角速度 \(\omega\) で回転、抵抗 R または容量 C の負荷を接続

問1(1) - 電子が受けるローレンツ力

導線は y 軸正方向に速度 v で動く。導線中の電子（電荷 -e）も同じ速度 v を持つ。磁場 B は z 軸正方向。

ローレンツ力の公式：\(F = qv \times B\)。電子の電荷は \(q = -e\)。

\(v = (0, v, 0)\)、\(B = (0, 0, B)\) のベクトル積：

$$v \times B = (v \cdot B - 0, 0 - 0, 0) = (vB, 0, 0)$$

つまり \(v \times B\) は x 軸正方向。電子にかかる力は負符号がつくので：

$$F_{\text{電子}} = -e (v \times B) = -evB \hat{x}$$

大きさは \(F = evB\)、向きは x 軸負方向。

補足：右手の法則による方向確認

正電荷の場合、右手の法則で \(v \times B\) の向きは「v（y+）から B（z+）へ」で x+ 方向。電子は負電荷なので逆向き（x-）。

問1(2) - 導線内の電場の大きさと向き

電子が x- 端に集まると、導線内部に x 軸負方向の電場 E が生じる。この電場による力 \(eE\) は電子（負電荷）を x 軸正方向に引き戻す。

平衡状態：電場による力 = ローレンツ力の大きさ

$$eE = evB \quad \Rightarrow \quad E = vB$$

向きは電場の定義（正電荷が受ける力の向き）から、電場は +端（x+）から −端（x-）に向かう = x 軸負の向き。

補足：モーター・発電機の原理

この平衡状態が「磁場中で動く導線に誘導起電力が生じる」仕組み。発電機は磁場中でコイルを動かし、この起電力を使って電流を取り出す。

問1(3) - 誘導起電力の大きさ

一様電場の場合、起電力は電位差：

$$V_0 = E \cdot \ell = vB \cdot \ell = vB\ell$$

別の見方：\(\Phi = B \cdot S = B \cdot v t \cdot \ell\)（面積は時間 t で \(v t \ell\)）。ファラデーの法則：

$$V_0 = \frac{d\Phi}{dt} = Bv\ell$$

どちらの方法でも同じ結果になる。

補足：x 軸正の端を高電位とする理由

電子が x- 端に集まる → x+ 端に正電荷が残る → x+ 端が高電位。つまり x 軸正方向に電位勾配があり、電流を取り出すと x+ → 外部回路 → x- の向きに流れる（電流は正電荷の流れ方向）。

問2(4) - 回転する直線部の速度 x, y 成分

時刻 t = 0 でイ（端点）が x 軸正方向にあり、角速度 \(\omega\) で反時計回りに回転する。位置ベクトルは \(\vec{r}(t) = (a\cos\omega t, a\sin\omega t, 0)\)。

速度は位置の時間微分：

$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (-a\omega\sin\omega t, a\omega\cos\omega t, 0)$$

補足：円運動の速度は半径に垂直

\(\vec{r} \cdot \vec{v} = a\cos\omega t \cdot (-a\omega\sin\omega t) + a\sin\omega t \cdot a\omega\cos\omega t = 0\)。よって速度は位置（半径）に垂直、大きさは \(|\vec{v}| = a\omega\)（一定）。

問2(6) - 時刻 t の回転系の誘導起電力

直線部（ア－イ）は長さ L、半径 a の位置で回転。ア点（z 軸上）の速度は 0、イ点の速度は \(a\omega\)。

導線の方向を \(\hat{u} = (\cos\omega t, \sin\omega t, 0)\) とし、導線上の点 \(\vec{r}(s) = (a + s)\hat{u}\)（s は端点からの距離、0 ≤ s ≤ L... と定義）として、各点の速度：

$$\vec{v}(s) = (a + s)\omega \hat{u}_\perp$$

ここで \(\hat{u}_\perp = (-\sin\omega t, \cos\omega t, 0)\)。

ローレンツ力が電子を駆動する量（導線の単位長あたりの起電力）は \(v_\perp B\)（v の「導線に垂直成分」と B の積、しかしここでは導線が\(\hat{u}\)方向、速度が \(\hat{u}_\perp\) 方向なので v は完全に導線に垂直）。

注意：実際はローレンツ力 \(\vec{v} \times \vec{B}\) の導線方向成分が起電力に寄与する。しかし回転軸に垂直な B のもとでは、ローレンツ力が導線方向に成分を持つ。

問題の設定（B は x 軸正方向、導線 z 軸まわり回転）に従って、時刻 t で導線の角度が \(\omega t\) の位置にあるとき、各点 s での電場成分（導線方向）は：

$$E_{\parallel}(s) = v(s) \cdot B \cos\omega t = (a + s)\omega B \cos\omega t$$

導線全長で積分：

$$V(t) = \int_0^L (a + s)\omega B \cos\omega t \, ds = \omega B \cos\omega t \cdot \left[as + \frac{s^2}{2}\right]_0^L = \omega B \cos\omega t \cdot \left(aL + \frac{L^2}{2}\right)$$

問題の設定で半径位置が a から a+L の範囲を指す場合、主要項は \(aL\omega B\cos\omega t\) になる（\(L \ll a\) と近似）。より一般には：

$$V(t) = \omega B L \left(a + \frac{L}{2}\right)\cos\omega t$$

簡潔な表式としては \(V(t) = a B \omega L \cos(\omega t)\)（L が a に比べて短いとき）、あるいは回転半径の代表値を a とする場合：

$$V(t) = a B \omega L \cos(\omega t)$$

補足：一般的な発電機の式

面積 A のコイルが磁場 B 中で角速度 \(\omega\) で回転するとき、誘導起電力は \(V(t) = BA\omega\sin(\omega t)\)（または cos）の正弦波形。これは家庭用交流電源（50/60 Hz）の原理。

問2(8) - 起電力を最大とする a の値

起電力の振幅 \(V_0\) は \((a + L/2)\) に比例する。問題の制約条件（例えばエイイの総長が固定、回路全体の大きさに上限など）の下で最大化する。

もし「総長 a + L = const（固定）」のような条件があれば、L を大きくするほど不利、a が大きいほど \(V_0\) が大きいが L が小さくなる。具体的な条件に依る。

問題文から、回転中心から最も離れた直線部分を長くするには \(a\) の最適値は「内側の端 \(a = L/2\)」となる場合が多い（対称配置）。これは問題2(8)の設定（直線部全体が回転軸の外にあり、\(a\) を変えられる設定）による。

導出：最適化条件 \(dV_0/da = 0\) から（L 固定、a 可変の単純な場合 \(V_0 = BLω(a + L/2)\) は単調増加なので、制約条件 \(a + L \leq L_{\max}\)（物理的許容）のもとで \(a = L_{\max} - L\)）。対称配置 \(a = L/2\) で解となる典型問題：

補足：具体的な最適化

一般に \(V_0 \propto a + L/2\)。制約 \(a + L = C\)（定数）のもとでは a を増やすと L が減るが、\(a + L/2 = C - L/2\) なので L を小さくするほど有利 → \(a \to C\), \(L \to 0\) で発散 ×。

より現実的な制約（例：コイル面積 aL = 一定）の場合は最適点が存在する。具体的な制約条件次第。