問1 は平行板コンデンサーのスイッチ切替による電場・電位差の変化。問2 は陽イオンを電場で加速し、偏向電場で蛍光板上の位置を調べる荷電粒子の運動（陰極線管モデル）です。
状態1ではスイッチ1だけ閉じ、コンデンサー1にのみ電池から充電される。コンデンサー2は切り離されているので電気を持たない。コンデンサー1の電位差は電荷 Q と容量 C の関係 \(V = Q/C\) で決まる。
コンデンサー1（面積 S、間隔 d、真空の誘電率は問題文で \(\varepsilon_0/m\) と表される）の静電容量：
$$C_1 = \frac{(\varepsilon_0 / m) \cdot S}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{m d}$$電池から電荷 Q が蓄えられたとき、極板間電位差は \(V = Q/C\) より：
$$V_1 = \frac{Q}{C_1} = Q \cdot \frac{m d}{\varepsilon_0 S} = \frac{Qmd}{\varepsilon_0 S}$$電位差と間隔の関係 \(E = V/d\) より：
$$E_1 = \frac{V_1}{d} = \frac{Qm}{\varepsilon_0 S}$$これは以降の問題でも基準値として使う。
コンデンサーの基本関係 \(Q = CV\) と \(C = \varepsilon_0 S / d\)。電位差は極板間隔 d に比例（電荷一定なら）、容量に反比例。
状態1からスイッチ1を開いて電池を切り離し、次にスイッチ2を閉じるとコンデンサー1と2が並列接続となる。電荷が再分配され、両者の電位差が等しくなる。C₂ は間隔が2dなので容量はC₁の半分 → 電荷は C₁:C₂ = 2:1 の比で分配される。
状態1でC₁に蓄えられた電荷 Q はスイッチ1を開いても保存。次にスイッチ2を閉じると、C₁とC₂が並列接続となり電荷再分配。
容量比：
$$C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{md}, \quad C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{m \cdot 2d} = \frac{C_1}{2}$$電荷保存：\(Q_1 + Q_2 = Q\)。電位差等しい：\(V = Q_1/C_1 = Q_2/C_2\) より \(Q_2 = Q_1 \cdot C_2/C_1 = Q_1/2\)。よって：
$$Q_1 + \frac{Q_1}{2} = Q \quad \Rightarrow \quad Q_1 = \frac{2Q}{3}, \quad Q_2 = \frac{Q}{3}$$C₁ の電位差と電場：
$$V_2 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{2Q/3}{C_1} = \frac{2Qmd}{3\varepsilon_0 S}$$ $$E_1 = \frac{V_2}{d} = \frac{2Qm}{3\varepsilon_0 S}$$初期エネルギー：\(U_1 = Q^2/(2C_1)\)
最終エネルギー：\(U_2 = Q_1^2/(2C_1) + Q_2^2/(2C_2) = (2Q/3)^2/(2C_1) + (Q/3)^2/C_1 = \frac{2Q^2}{3C_1} \cdot \frac{1}{2}\)
実は \(U_2 = 2U_1/3\) で、1/3 のエネルギーが抵抗でジュール熱になる。
スイッチ操作後は電荷保存と電位差が等しいの2条件を連立。並列接続では電荷は容量に比例して分配される。
状態2からスイッチ1を閉じると、電池と両コンデンサーが並列になる。電池はC₁の電位差を元のV₁に戻すので、C₁の電場は状態1と同じ値に復帰する。
状態3ではスイッチ1と2が両方閉じて電池が両コンデンサーに並列接続。定常状態（電流ゼロ）で、電池の電位差 \(V_1 = Qmd/(\varepsilon_0 S)\) が両コンデンサーに加わる：
$$V = V_1 = \frac{Qmd}{\varepsilon_0 S}$$C₁ の電場（間隔 d）：
$$E_1 = \frac{V}{d} = \frac{Qm}{\varepsilon_0 S}$$これは状態1の電場と同じ。電池が C₁ の電位差を維持している。
状態3での C₂ の電荷：
$$Q_2 = C_2 V_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{2md} \cdot \frac{Qmd}{\varepsilon_0 S} = \frac{Q}{2}$$電池から C₂ に追加で \(Q/2\) が流れ込む。
電池と並列に接続されたコンデンサーの電位差は電池の電位差に等しい。これが「電池接続状態」の重要な制約。
C₁ の間隔を広げても、電池と並列に接続されている限り C₂ の電位差は電池電圧 V₁ のまま不変。したがって C₂ の電場は変化しない。
状態3の回路では電池・C₁・C₂ が並列接続。定常状態で電流は 0、電池の電位差 \(V_1\) がそのまま両コンデンサーに加わる。
C₁ の間隔を \(3d\) に広げても、電池が接続されているため C₁ と C₂ の電位差は \(V_1\) のまま不変。
C₂ の極板間隔は \(2d\) で不変。したがって電場は：
$$E_2 = \frac{V_1}{2d} = \frac{Qmd/(\varepsilon_0 S)}{2d} = \frac{Qm}{2\varepsilon_0 S}$$C₁ の容量は 3d に広げると \(C_1' = \varepsilon_0 S / (3md) = C_1/3\) に減る。電位差 \(V_1\) は一定なので：
$$Q_1' = C_1' V_1 = \frac{C_1 V_1}{3} = \frac{Q}{3}$$電荷は電池に戻される（電池が仕事をされる）。
電池接続状態では「電圧不変」、電池切離し状態では「電荷不変」。どちらなのかで電場・電荷の計算が変わる。
陽イオンはまず電位差 \(V_1\) で x 軸方向に加速され、初速 \(v_x\) を持つ。次に、長さ \(\ell\) の領域で y 軸方向の一様電場 \(E\) を受け、水平投射と似た運動をする（一定力 + 等速運動）。電場領域を抜けた後は直進して蛍光板に到達。
【加速部】陽イオン（電荷 q, 質量 \(m_{ion}\)）が電位差 \(V_1\) で加速されると、仕事とエネルギーの関係：
$$qV_1 = \frac{1}{2}m_{ion} v_x^2 \quad \Rightarrow \quad v_x = \sqrt{\frac{2qV_1}{m_{ion}}}$$【偏向部】長さ \(\ell\) の領域で y 方向の電場 \(E\) を受ける。x 方向は等速 \(v_x\)、y 方向は等加速度運動：
$$a_y = \frac{qE}{m_{ion}}, \quad t_\ell = \frac{\ell}{v_x}$$偏向領域を抜けた時点での y 座標と y 速度：
$$y_1 = \frac{1}{2}a_y t_\ell^2 = \frac{qE \ell^2}{2 m_{ion} v_x^2}$$ $$v_y = a_y t_\ell = \frac{qE\ell}{m_{ion} v_x}$$【ドリフト部】偏向領域の中央から蛍光板まで距離 \(r\) を等速直線運動（近似として偏向領域を点で扱うと中央から r、正確には偏向領域の出口から r）。出口から等速直線運動で距離 \(r\) 進むと：
$$y_2 = v_y \cdot \frac{r}{v_x} = \frac{qE\ell r}{m_{ion} v_x^2}$$蛍光板上の z 座標（y_1 と y_2 の和）：
$$z = y_1 + y_2 = \frac{qE\ell}{m_{ion} v_x^2}\left(\frac{\ell}{2} + r\right)$$\(v_x^2 = 2qV_1/m_{ion}\) を代入：
$$z = \frac{qE\ell}{m_{ion} \cdot 2qV_1/m_{ion}}\left(\frac{\ell}{2} + r\right) = \frac{E\ell}{2V_1}\left(\frac{\ell}{2} + r\right)$$\(v_x^2 = 2qV_1/m\) を代入すると \(qE/(mv_x^2) = E/(2V_1)\) となり、\(z\) の表式から電荷 q と質量 m が消える。つまり \(z\) は加速電位 \(V_1\) と偏向電場 \(E\) のみの関数になる（イオンの種類に依存しない）。これは陰極線管（CRT）の典型的な挙動。
荷電粒子の偏向は水平投射の類推：x 方向 等速、y 方向 等加速度 → 放物線軌道。偏向領域を抜けた後は直線運動で、蛍光板上の位置は直線外挿で求まる。
代表値で確認する。水素イオン H⁺（\(q = 1.6 \times 10^{-19}\) C, \(m_{ion} = 1.67 \times 10^{-27}\) kg）を加速電圧 \(V_1 = 1000\) V で加速し、電場 \(E = 2.0 \times 10^4\) V/m の偏向領域（長さ \(\ell = 0.05\) m）を通って、そこから \(r = 0.15\) m 先の蛍光板に到達する。
水素イオン（\(q = 1.6 \times 10^{-19}\) C, \(m = 1.67 \times 10^{-27}\) kg）を \(V_1 = 1000\) V で加速：
$$v_x = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}{1.67 \times 10^{-27}}} = \sqrt{\frac{3.2 \times 10^{-16}}{1.67 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{1.92 \times 10^{11}}$$ $$v_x \approx 4.4 \times 10^5 \text{ m/s} = 440 \text{ km/s}$$蛍光板上の z 座標（\(E = 2 \times 10^4\) V/m, \(\ell = 0.05\) m, \(r = 0.15\) m）：
$$z = \frac{E \ell (\ell/2 + r)}{2 V_1} = \frac{2 \times 10^4 \times 0.05 \times (0.025 + 0.15)}{2 \times 1000}$$ $$= \frac{2 \times 10^4 \times 0.05 \times 0.175}{2000} = \frac{175}{2000} = 0.0875 \text{ m} = 8.75 \text{ cm}$$コンデンサーの具体値（\(L = 0.1\) m = 10 cm, \(d = 1.0\) mm = \(10^{-3}\) m, \(Q = 10^{-10}\) C）：
$$V_1 = \frac{Q d}{\varepsilon_0 L^2} = \frac{10^{-10} \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-2}} \approx 1.13 \text{ V}$$\(v_x \approx 4.4 \times 10^5\) m/s, \(z \approx 8.75\) cm
コンデンサー例：\(V_1 \approx 1.13\) V（極板面積 \(L \times L\) に \(Q\) の電荷）
古典的なブラウン管テレビや CRT モニターは、この原理で電子ビームを偏向させて画面上の位置を決めていた。電子の速さは約 \(10^7\) m/s（光速の 3% 程度）で、偏向電圧を 100 V 変えると画面上で数 cm 移動する。
具体的な数値で計算することで物理量の規模感が掴める。水素イオンは秒速数百キロ、蛍光板上のスポットは数センチ。