浮力を復元力とする単振動を扱う頻出テーマです。「つり合いの位置」からの変位 \(Y\) を主役に据え、円柱を \(Y\) だけ動かしたときに増える浮力が \(\rho S g\,Y\) となる——という一点さえ押さえれば、問1・問2ともに同じ流れで解けます。
物が液面に浮いて静止しているとき、押しのけた液体の重さと物の重さはぴったり等しい（アルキメデスの原理）。深く沈んでいる（\(y_0\) が大きい）ほど押しのける量が多いので、重い物ほど深く沈む。
円柱が液面に浮いて静止しているとき、浮力と重力がつり合う。底面から液面までの距離が \(y_0\) なので、液体中に沈んでいる円柱の体積は \(S\,y_0\)。押しのけた液体の重さ（＝浮力）は、液体の密度 \(\rho\)・重力加速度 \(g\) を用いて \(\rho \times (S y_0) \times g\) である。
つり合いの式（上向きの浮力 ＝ 下向きの重力）を立てる：
$$\rho S y_0 g = M g$$両辺を \(g\) で割ると、円柱の質量が \(\rho,\,S,\,y_0\) だけで表せる：
$$M = \rho S y_0$$浮力は沈んでいる部分の体積だけで決まる。液面より上に出ている部分（長さ \(h - y_0\)）は液体を押しのけていないので浮力に寄与しない。したがって円柱全体の高さ \(h\) は質量を決めるうえで直接は関係せず、沈み込み \(y_0\) だけで \(M\) が定まる。
浮力は「押しのけた液体の重さ」\(= \rho V g\)。円柱では 沈んだ深さ \(\times\) 底面積 \(S\) が体積 \(V\) になる。
水平に投げ出された小球は、水平方向には等速、鉛直方向には自由落下する。鉛直方向の速さは水平初速 \(v_0\) には全く関係せず、高さ \(H\) を落ちる自由落下だけで決まる。
小球は円柱上面より \(H\) 高い位置から水平に射出され、鉛直方向には初速 \(0\) の自由落下をする。衝突するのは静止した円柱の上面で、これは液面と同じ高さにあるから、鉛直方向の落下距離はちょうど \(H\) である。
鉛直下向きを正とし、鉛直方向の自由落下に等加速度運動の公式 \(v^2 = v_{\text{初}}^2 + 2gH\)（初速 \(0\)）を用いる：
$$v^2 = 0^2 + 2gH = 2gH$$したがって衝突直前の鉛直方向速度は：
$$v = \sqrt{2gH}$$鉛直方向のみに着目すると、位置エネルギーの減少 \(mgH\) が鉛直方向の運動エネルギーの増加になる（水平方向の運動エネルギーは高さによらず一定なので相殺される）：
$$mgH = \frac{1}{2}m v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2gH}$$水平初速 \(v_0\) が答えに含まれないのは、水平方向の運動が鉛直方向とは完全に独立しているためである。
水平投射では鉛直と水平は独立。鉛直速度は自由落下だけで決まり、答えに \(v_0\) は現れない。
正面衝突では、運動量保存（全体の勢いは変わらない）と反発係数の式（衝突後の遠ざかる速さは、近づく速さの \(e\) 倍）の2本の式を連立するだけ。円柱は水面から力を受けないと仮定するので、鉛直1次元の衝突として扱える。
下向きを正とする。衝突直前は 小球（質量 \(m\)）が速度 \(v\)、円柱（質量 \(M\)）は静止 \(0\)。衝突直後の円柱の速度を \(V'\)、小球の速度を \(v'\) とおく。円柱は衝突中に液体から力を受けないので、この衝突は運動量が保存する1次元衝突として扱える。
① 運動量保存則：衝突前後で全運動量は等しい：
$$mv = MV' + mv' \quad \cdots ①$$② 反発係数の定義：「衝突後に遠ざかる相対速度 ＝ \(e\) ×（衝突前に近づく相対速度）」より：
$$e = \frac{V' - v'}{v - 0} \;\Rightarrow\; V' - v' = ev \quad \cdots ②$$②より \(v' = V' - ev\)。これを①に代入して \(V'\) を求める：
$$mv = MV' + m(V' - ev) = (M+m)V' - mev$$ $$(M+m)V' = mv + mev = m(1+e)v \;\Rightarrow\; V' = \frac{m(1+e)v}{M+m}$$これを \(v' = V' - ev\) に戻す：
$$v' = \frac{m(1+e)v}{M+m} - ev = \frac{m(1+e)v - e(M+m)v}{M+m} = \frac{(m - eM)v}{M+m}$$\(v' = \dfrac{(m-eM)v}{M+m}\) の符号は \(m\) と \(eM\) の大小で決まる。
問題文で「はねかえって容器の外に飛び出した」とあるので、実際は \(v' \lt 0\)（上向き）の状況。式はどちらの場合も同じ形で成り立つ。
衝突問題は「運動量保存」＋「反発係数の式」の2本を連立。反発係数は必ず（後の相対速度）÷（前の相対速度）で立てる。
円柱を少し押し下げると、沈む部分が増えて浮力が大きくなり、押し戻される。逆に持ち上げると浮力が減って引き戻される。この「つり合いの位置に戻そうとする力（復元力）」が変位に比例するので、単振動になる。
鉛直下向きを正とする。円柱の底面が液面から深さ \(y\) にある瞬間、円柱にはたらく力は次の2つ：
合力 \(F\)（下向き正）は、設問(1)の \(M = \rho S y_0\) を用いて：
$$F = Mg - \rho S y g = \rho S y_0 g - \rho S y g$$ $$F = \rho S g\,(y_0 - y)$$つり合いの位置からの下向きの変位を \(Y = y - y_0\) とおくと、\(y_0 - y = -Y\)。設問(4)の力 \(F\) がそのまま円柱にはたらく合力なので、質量 \(M\)・加速度 \(a\) の運動方程式 \(Ma = F\) は：
$$Ma = \rho S g\,(y_0 - y) = -\rho S g\,Y$$右辺が \(-(\text{正の定数}) \times Y\) の形になっており、これは変位 \(Y\) に比例して逆向きにはたらく復元力そのもの。よって円柱は単振動する。
つり合いの位置（\(Y=0\)）を基準にとったからである。重力 \(Mg\) は一定だが、つり合いの位置での浮力 \(\rho S y_0 g\) がちょうど \(Mg\) と等しい（設問(1)）。運動方程式を「つり合いからの変位 \(Y\)」で書き直すと、一定の重力と一定分の浮力が打ち消し合い、変位に比例する分だけが残る。これが単振動を見抜く定石。
つり合いの位置を原点に選ぶと、運動方程式は \(Ma = -KY\) の単振動形になる。ここでは復元力の比例定数 \(K = \rho S g\)。
単振動 \(Ma = -KY\) は、質量 \(M\)・ばね定数 \(K\) のばね振り子と同じ。周期は \(T = 2\pi\sqrt{M/K}\)。振幅は「つり合いの位置での速さ（＝衝突直後の円柱の速さ \(V'\)）」を角振動数 \(\omega\) で割れば求まる。
設問(5)の運動方程式 \(Ma = -\rho S g\,Y\) を、単振動の標準形 \(a = -\omega^2 Y\) と見比べる：
$$a = -\frac{\rho S g}{M}\,Y \quad\Rightarrow\quad \omega^2 = \frac{\rho S g}{M}$$周期は \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) だから：
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{\rho S g}}$$これは \(y_0\) を含まない形になっており、条件（\(y_0\) を用いてはならない）を満たす。
単振動では、つり合いの位置で速さが最大になる。円柱は衝突直後（つり合いの位置 \(Y=0\)）に速さ \(V'\) を得て動き出したので、この \(V'\) が最大速度 \(v_{\max}\) にあたる。単振動の最大速度は \(v_{\max} = A\omega\) なので：
$$A = \frac{V'}{\omega} = \frac{v_{\max}}{\omega}$$ここで、設問(3)の \(V' = \dfrac{m(1+e)v}{M+m}\)、設問(2)の \(v = \sqrt{2gH}\)、設問(6)の \(\omega = \sqrt{\dfrac{\rho S g}{M}}\) を代入する：
$$A = \frac{m(1+e)\sqrt{2gH}}{M+m} \times \sqrt{\frac{M}{\rho S g}}$$ルートの中をまとめると \(2gH \times \dfrac{M}{\rho S g} = \dfrac{2MH}{\rho S}\)（\(g\) が約分される）：
$$A = \frac{m(1+e)}{M+m}\sqrt{\frac{2MH}{\rho S}}$$単振動のエネルギー保存より、つり合いの位置での運動エネルギーが、振幅位置での「復元力の位置エネルギー」に等しい（\(K=\rho S g\)）：
$$\frac{1}{2}M V'^2 = \frac{1}{2}K A^2 = \frac{1}{2}\rho S g\,A^2$$ $$A = V'\sqrt{\frac{M}{\rho S g}} = \frac{m(1+e)\sqrt{2gH}}{M+m}\sqrt{\frac{M}{\rho S g}} = \frac{m(1+e)}{M+m}\sqrt{\frac{2MH}{\rho S}}$$同じ答えが得られる。\(A\omega = V'\) の関係は、このエネルギー式から導いても良い。
単振動の最大速度 \(v_{\max} = A\omega\) は「つり合いの位置」で実現する。動き出しの速さが与えられたら、それを \(\omega\) で割れば振幅が出る。
電車が急発進すると体が後ろに引かれる——あれが「見かけの力（慣性力）」。容器が左向きに加速すると、中の観測者から見て、すべての物体に加速と逆向き（右向き）の見かけの力がはたらく。液面はこの見かけの重力に垂直になろうとして傾く。傾きの大きさが加速度の大きさを教えてくれる。
① まず容器の加速度を液面の傾きから求める。容器が水平方向左向きに一定加速度 \(a_c\) で運動すると、容器と同じ運動をする観測者から見て、液体には右向きの見かけの力がはたらき、液面はそれに応じて傾く。液面は「重力＋見かけの力」の合成方向に垂直になるので、傾きの傾斜角 \(\theta\) は次を満たす：
$$\tan\theta = \frac{a_c}{g}$$右側の液面が左側より \(\dfrac{5}{12}W\) だけ高く、容器の幅が \(W\) なので、液面の傾きは：
$$\tan\theta = \frac{\frac{5}{12}W}{W} = \frac{5}{12}$$2式を比べて容器の加速度が求まる：
$$\frac{a_c}{g} = \frac{5}{12} \quad\Rightarrow\quad a_c = \frac{5}{12}g$$② 円柱にはたらく見かけの力を求める。容器と同じ運動をする観測者から見ると、質量 \(M\) の円柱には加速度と逆向き（＝紙面右向き）に大きさ \(M a_c\) の見かけの力（慣性力）がはたらく：
$$M a_c = M \times \frac{5}{12}g = \frac{5}{12}Mg$$容器が左向きに加速するとき、慣性力は逆の右向き。液体は右向きに押されるので右側に盛り上がり、右が高くなる。図2で右が高いことと、慣性力が右向きであることは矛盾しない。円柱の底面が液面と平行に傾いているのも、円柱が「見かけの重力（下向き \(g\) と右向き \(a_c\) の合成）」の向きに垂直な液面に沿って浮くためである。
加速する系の中では慣性力 ＝（質量）×（加速度）、向きは加速と逆。液面の傾き \(\tan\theta = a/g\) が加速度を測る道具になる。
加速する容器の中では、下向きの重力 \(g\) と右向きの慣性力 \(a_c\) が合わさって、まるで斜め下向きの「強くなった重力」がはたらいているように見える。この見かけの重力 \(g_{\text{eff}}\) が大きいほど浮力の復元力も強く、単振動は速くなる（周期が短くなる）。
加速する容器の中では、円柱には下向きの重力による \(g\) と、右向きの慣性力による \(a_c = \dfrac{5}{12}g\) が合わさった見かけの重力 \(g_{\text{eff}}\) がはたらく。その大きさは直角三角形の斜辺として求まる：
$$g_{\text{eff}} = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + \left(\frac{5}{12}g\right)^2} = g\sqrt{1 + \frac{25}{144}} = g\sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}g$$円柱は液面（＝見かけの重力に垂直な面）に対して垂直方向に単振動する。設問(5)(6)と全く同じ議論だが、復元力を生む浮力が \(g\) のかわりに \(g_{\text{eff}}\) で決まる。円柱を変位 \(Y\) だけ動かすと、浮力の変化（復元力）は \(\rho S g_{\text{eff}} Y\) なので運動方程式は：
$$Ma = -\rho S g_{\text{eff}}\,Y \quad\Rightarrow\quad \omega'^2 = \frac{\rho S g_{\text{eff}}}{M}$$周期は \(T' = \dfrac{2\pi}{\omega'} = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{\rho S g_{\text{eff}}}}\)。ここに \(g_{\text{eff}} = \dfrac{13}{12}g\) を代入する：
$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{M}{\rho S \cdot \frac{13}{12}g}} = 2\pi\sqrt{\frac{12M}{13\rho S g}}$$設問(6)では \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{\rho S g}}\) だった。傾いた状態では見かけの重力が \(\dfrac{13}{12}\) 倍に強くなったので、周期は \(\sqrt{\dfrac{12}{13}}\) 倍に短くなる：
$$T' = T\sqrt{\frac{12}{13}} \fallingdotseq 0.96\,T$$「重力が強い場所ほど浮力の復元が速く、振動が速くなる」という物理的に自然な結論。
加速系での浮力の単振動は、\(g\) を見かけの重力 \(g_{\text{eff}} = \sqrt{g^2+a^2}\) に置き換えるだけ。復元力の比例定数は \(\rho S g_{\text{eff}}\) になる。
今度は円柱が2つの液体の境界にまたがり、下からばねでつながれている。円柱は上半分が軽い液体、下半分が重い液体に浸かるので、浮力はそれぞれの部分を別々に計算して足し合わせる。ばねは伸びている（\(l \gt l_0\)）ので、円柱を下へ引っぱる。
界面を原点、鉛直下向きを \(y\) 軸とする。円柱の底面が \(y = y_1\)（\(0 \lt y_1 \lt h\)）にあるので、円柱のうち下液（密度 \(\rho'\)）に浸かる長さは \(y_1\)、上液（密度 \(\rho\)）に浸かる長さは \(h - y_1\) である。
重力：円柱の質量 \(M\) にはたらく重力は
$$W_{\text{重}} = Mg$$浮力：下液部分と上液部分の浮力を別々に求めて足す。下液部分の体積は \(S y_1\)、上液部分の体積は \(S(h - y_1)\)：
$$F_{\text{浮}} = \rho' \cdot (S y_1)\cdot g + \rho \cdot S(h - y_1)\cdot g = \{\rho' y_1 + \rho(h - y_1)\}Sg$$ばねの力：ばねは自然長 \(l_0\) より \(l\) まで伸びている（\(l \gt l_0\)）ので、伸び \((l - l_0)\) に比例した力で円柱を下向きに引く：
$$F_{\text{ばね}} = k(l - l_0)$$円柱は静止しているので、上向きの力＝下向きの力。上向きは浮力のみ、下向きは重力とばねの力（伸びているので下向き）：
$$\underbrace{\{\rho' y_1 + \rho(h - y_1)\}Sg}_{\text{浮力(上)}} = \underbrace{Mg}_{\text{重力(下)}} + \underbrace{k(l - l_0)}_{\text{ばね(下)}}$$ばねは容器の底に一端が固定され、上端が円柱の底面につながっている。自然長より伸びている（\(l \gt l_0\)）ということは、ばねが縮もうとして両端を引き寄せる。円柱は上端側にあるので、ばねは円柱を下（底の方）へ引っぱる。もし \(l \lt l_0\)（縮んでいる）なら逆に上向きに押すが、本問は \(l \gt l_0\) なので下向きで確定。
2種類の液体をまたぐ物体の浮力はそれぞれの液体に浸かった部分ごとに \(\rho V g\) を計算して合計する。ばねの向きは「伸びか縮みか」で判断。
円柱を下へ引くと、①下の重い液体に沈む部分が増えて浮力が増し、②上の軽い液体から出る部分が増えて浮力が減る——差し引きで浮力は \((\rho'-\rho)\) に比例して復元向きに増える。さらにばねの力も加わるので、復元力の強さは「浮力の分」と「ばねの分」の和になる。2つの復元効果が並列にはたらくイメージ。
つり合いの位置から下向きに \(Y'\) だけ変位した瞬間を考える。底面は \(y = y_1 + Y'\) に移る。下向きを正として、はたらく力の変化を調べる。
浮力の変化：下液に浸かる長さが \(y_1 + Y'\)、上液が \(h - y_1 - Y'\) になる。浮力は
$$F_{\text{浮}} = \{\rho'(y_1+Y') + \rho(h - y_1 - Y')\}Sg = \{\rho' y_1 + \rho(h-y_1)\}Sg + (\rho'-\rho)Sg\,Y'$$第1項はつり合い時の浮力、第2項が変位で増えた分。下へ動くと重い液体に沈む分が増え、\((\rho'-\rho) \gt 0\) より浮力が増える（上向きの復元）。
ばねの力の変化：円柱が下へ \(Y'\) 動くとばねは \(Y'\) だけ縮むので、伸びは \((l-l_0) - Y'\) に減る。ばねの力（下向き正）は
$$F_{\text{ばね}} = k\{(l - l_0) - Y'\} = k(l-l_0) - kY'$$運動方程式（下向き正、\(Ma' = \) 重力 − 浮力 ＋ ばね）：
$$Ma' = Mg - \Big[\{\rho' y_1+\rho(h-y_1)\}Sg + (\rho'-\rho)Sg\,Y'\Big] + \Big[k(l-l_0) - kY'\Big]$$ここで設問(11)のつり合いの式 \(\{\rho' y_1+\rho(h-y_1)\}Sg = Mg + k(l-l_0)\) を使うと、定数項（\(Y'\) を含まない項）はすべて打ち消し合う：
$$Ma' = -(\rho'-\rho)Sg\,Y' - kY' = -\{(\rho'-\rho)Sg + k\}Y'$$運動方程式 \(Ma' = -\{(\rho'-\rho)Sg + k\}Y'\) を単振動の標準形 \(a' = -\omega''^2 Y'\) と比べる：
$$\omega''^2 = \frac{(\rho'-\rho)Sg + k}{M}$$周期は \(T'' = \dfrac{2\pi}{\omega''}\) だから：
$$T'' = 2\pi\sqrt{\frac{M}{(\rho'-\rho)Sg + k}}$$単振動では「復元力 ＝ \(-K \times\)（変位）」の \(K\) さえ分かれば、周期は \(T = 2\pi\sqrt{M/K}\) で即座に書ける。この問題では
この2つが並列（足し算）にはたらくので、合成の比例定数は \(K = (\rho'-\rho)Sg + k\)。よって \(T'' = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{(\rho'-\rho)Sg+k}}\)。つり合いの詳細（\(y_1,\,l,\,l_0\)）を書き下さなくても、変位に比例する項だけ追えば周期が出る。
浮力とばねが同時に復元力を生むとき、比例定数は単純に足し算：\(K = (\rho'-\rho)Sg + k\)。2液の場合は密度差 \((\rho'-\rho)\) が効くのがポイント。