音速 \(V\)、音源の振動数 \(f\) を基準に、動く音源・動く観測者・反射音・うなりを段階的に積み上げる問題です。問1は音波のドップラー効果を「波長」と「単位時間の波の数」に立ち返って導出し、問2ではまったく同じ式を光に適用してばね単振動と組み合わせます。最後はメスバウアー分光法という実際の測定技術につながる構成です。
音源（台車A）が観測者（台車B）に向かって進むと、前方に出た波は「押し縮められて」波長が短くなる。時間 \(t\) の間に音源が出す \(ft\) 個の波が、\((V-v_\mathrm{A})t\) の距離にぎゅっと詰め込まれるイメージ。波長が短くなるぶん、Bが受け取る振動数は高くなる（音が高く聞こえる）。
時間 \(t\,[\mathrm{s}]\) を考える。ある時刻に音源を出た波は距離 \(Vt\) だけ台車B側へ進む。同じ時間に音源（台車A）は距離 \(v_\mathrm{A}t\) だけ同じ向きに進むので、音源前方で波が占める区間の長さは短くなる：
$$Vt - v_\mathrm{A}t = (V - v_\mathrm{A})t$$この区間に \(ft\) 個の波が入っているので、観測される波長 \(\lambda'\) は「区間の長さ ÷ 波の個数」で求まる：
$$\lambda' = \frac{(V - v_\mathrm{A})t}{ft} = \frac{V - v_\mathrm{A}}{f}$$台車Bは静止しているので、波は速さ \(V\) でBに届く。Bで観測される振動数 \(f_\mathrm{B}\) は「波の速さ ÷ 波長」：
$$f_\mathrm{B} = \frac{V}{\lambda'} = \frac{V}{V - v_\mathrm{A}}f$$ドップラー効果は「音源が動くと波長が変わる」現象と「観測者が動くと受け取る波の数が変わる」現象の重ね合わせ。音源だけが動く場合は前者だけなので、まず波長 \(\lambda'\) を出し、静止観測者には \(f_\mathrm{B}=V/\lambda'\) で振動数が決まる、と分けて考えると混乱しない。
音源が近づくと前方の波長が \((V-v_\mathrm{A})/f\) に縮む。静止観測者の振動数は \(f_\mathrm{B}=Vf/(V-v_\mathrm{A})\) で、\(f\) より高くなる。
今度は音源（台車A）が静止し、観測者（台車B）が右向き（音源から遠ざかる向き）に動く。波長そのものは \(V/f\) のまま変わらない。しかしBが波を追いかけるように逃げるので、単位時間に受け取る波の数が減り、振動数が下がる（音が低く聞こえる）。
音源は静止しているので波長は変わらず \(\lambda = \dfrac{V}{f}\)。時間 \(t\,[\mathrm{s}]\) の間に台車Bは右向き（遠ざかる向き）に距離 \(v_\mathrm{B}t\) 進む。波はBに向かって \(Vt\) 進むので、Bが実際に受け取る波が並ぶ区間の長さは、Bが逃げたぶん短くなる：
$$Vt - v_\mathrm{B}t = (V - v_\mathrm{B})t$$この区間に含まれる波の数（＝Bが時間 \(t\) に受け取る波の数）は、区間の長さを波長で割って：
$$\frac{(V - v_\mathrm{B})t}{\lambda} = \frac{(V - v_\mathrm{B})t}{V/f} = \frac{(V - v_\mathrm{B})f}{V}\,t$$これを時間 \(t\) で割れば、単位時間に受け取る波の数、すなわち観測振動数 \(f_\mathrm{B}\) になる：
$$f_\mathrm{B} = \frac{V - v_\mathrm{B}}{V}\,f$$観測者が動く場合、波長は変わらない。変わるのは「観測者に対する波の相対速度」で、遠ざかるなら \(V-v_\mathrm{B}\)、近づくなら \(V+v_\mathrm{B}\)。受け取る波の数＝(相対速度)×\(t\)÷波長 と数えるのが確実な方法。公式暗記より導出の型を覚えておくと、符号ミスが減る。
観測者が動くと波長は不変、受け取る波の数が変わる。遠ざかる観測者の相対速度は \(V-v_\mathrm{B}\)。\(f_\mathrm{B}=\dfrac{V-v_\mathrm{B}}{V}f\lt f\)。
(1)と(2)を合体させるだけ。音源Aが右へ動くと波長は \((V-v_\mathrm{A})/f\) に縮む（分母）。観測者Bが右へ逃げると相対速度が \(V-v_\mathrm{B}\) に減る（分子）。ドップラー効果の一般式は「分子＝観測者側、分母＝音源側」で、この2つを掛け合わせた形になる。
音源Aが右向きに \(v_\mathrm{A}\) で動くので、B側の波長は(1)と同じく \(\lambda' = \dfrac{V - v_\mathrm{A}}{f}\)。観測者Bは右向きに \(v_\mathrm{B}\) で遠ざかるので、Bに対する波の相対速度は \(V - v_\mathrm{B}\)。Bが単位時間に受け取る波の数が \(f_\mathrm{B}\) なので：
$$f_\mathrm{B} = \frac{\text{相対速度}}{\lambda'} = \frac{V - v_\mathrm{B}}{\lambda'}$$\(\lambda' = \dfrac{V - v_\mathrm{A}}{f}\) を代入して整理する：
$$f_\mathrm{B} = \frac{V - v_\mathrm{B}}{\dfrac{V - v_\mathrm{A}}{f}} = \frac{V - v_\mathrm{B}}{V - v_\mathrm{A}}\,f$$教科書のドップラー一般式 \(f_\mathrm{B}=\dfrac{V - v_{\text{観測}}}{V - v_{\text{音源}}}f\) は、観測者・音源が「同じ向き（右）」に動く今回そのままの形。もし互いに近づく配置なら符号を入れ替える。この問題では A も B も右向きに進むため、両方が同じ符号 \((-)\) で入るのが特徴。
一般式は分子＝観測者側 \((V-v_\mathrm{B})\)、分母＝音源側 \((V-v_\mathrm{A})\)。波長で音源、相対速度で観測者を担当させると自然に導ける。
壁（台車B）は、まず(3)の振動数 \(f_\mathrm{B}\) の音を「観測」する。次にその壁が \(f_\mathrm{B}\) の音を出す「音源」に早変わりして反射音を返す。反射音は左へ進み、台車Aがそれを観測して \(f_\mathrm{A}\) を得る。Bは右へ動く（遠ざかる音源）、Aは右へ動く（近づく観測者）。2段階のドップラーをつなげて \(v_\mathrm{B}\) を逆算する。
往路（A→B）：(3)より壁Bが観測する振動数は \(\;f_\mathrm{B} = \dfrac{V - v_\mathrm{B}}{V - v_\mathrm{A}}f.\)
復路（B→A）：壁Bは \(f_\mathrm{B}\) の音源となり、右向き \(v_\mathrm{B}\) で動く（左へ返す反射音に対しては「遠ざかる音源」→分母 \(V+v_\mathrm{B}\)）。台車Aは右向き \(v_\mathrm{A}\) で動き、左から来る反射音に対しては「近づく観測者」→分子 \(V+v_\mathrm{A}\)。よって：
$$f_\mathrm{A} = \frac{V + v_\mathrm{A}}{V + v_\mathrm{B}}\,f_\mathrm{B} = \frac{(V + v_\mathrm{A})(V - v_\mathrm{B})}{(V + v_\mathrm{B})(V - v_\mathrm{A})}\,f$$この式を \(v_\mathrm{B}\) について解く。まず両辺を整理して \(v_\mathrm{B}\) を含む項を集める：
$$f_\mathrm{A}(V + v_\mathrm{B})(V - v_\mathrm{A}) = f(V + v_\mathrm{A})(V - v_\mathrm{B})$$\(v_\mathrm{B}\) について展開・整理すると（分配して \(v_\mathrm{B}\) の項を左辺、定数項を右辺へ）：
$$v_\mathrm{B} = V\cdot\frac{f(V + v_\mathrm{A}) - f_\mathrm{A}(V - v_\mathrm{A})}{f(V + v_\mathrm{A}) + f_\mathrm{A}(V - v_\mathrm{A})}$$（\(v_\mathrm{A},V,f_\mathrm{A},f\) のみで表せている。）
具体的な数値で式を検算してみる。\(V=340\ \mathrm{m/s},\ v_\mathrm{A}=20\ \mathrm{m/s},\ v_\mathrm{B}=10\ \mathrm{m/s},\ f=1000\ \mathrm{Hz}\) とする。まず往路（壁Bが観測する振動数）：
$$f_\mathrm{B} = 1000\times\frac{340-10}{340-20} = 1000\times\frac{330}{320} \fallingdotseq 1031.3\ \mathrm{Hz}$$次に復路（台車Aが観測する反射音）：
$$f_\mathrm{A} = 1031.3\times\frac{340+20}{340+10} = 1031.3\times\frac{360}{350} \fallingdotseq 1060.7\ \mathrm{Hz}$$この \(f_\mathrm{A}=1060.7\ \mathrm{Hz}\) を答えの式に代入すると：
$$v_\mathrm{B} = 340\times\frac{1000\times360 - 1060.7\times320}{1000\times360 + 1060.7\times320} \fallingdotseq 10.0\ \mathrm{m/s}$$もとの \(v_\mathrm{B}=10\ \mathrm{m/s}\) に戻り、式が正しいことが確認できる。これがドップラー速度計測（レーダー・スピードガン）の原理。
反射は「壁が観測 → 同じ振動数で再発射」の2段ドップラー。既知の \(v_\mathrm{A}\) と測定した \(f_\mathrm{A}\) から、動く相手Bの速度が求まる。
台車Pが静止して2つの音を聞く。W₀は音源Aから直接届く音で、A も P も静止しているから振動数は \(f\) のまま。W₁は壁Bで反射して戻る音で、Bが動くぶんドップラー効果で振動数がずれる。この2音の振動数の差が、1秒あたりのうなりの回数になる。
W₀（直接音）：台車A（\(v_\mathrm{A}=0\)）から静止した台車P（\(v_\mathrm{P}=0\)）へ直接届くので、振動数は変化せず \(f\)。
W₁（反射音）：2段階で考える。まず壁Bが受け取る振動数は、(2)で音源静止・観測者Bが遠ざかる場合だから \(f_\mathrm{B}=\dfrac{V-v_\mathrm{B}}{V}f\)。次に壁Bがこの音を出す音源（右向き \(v_\mathrm{B}\)、Pに対して遠ざかる）となり、静止したPが受け取る反射音の振動数は：
$$f_{\mathrm{W}_1} = \frac{V}{V + v_\mathrm{B}}\,f_\mathrm{B} = \frac{V}{V + v_\mathrm{B}}\cdot\frac{V - v_\mathrm{B}}{V}\,f = \frac{V - v_\mathrm{B}}{V + v_\mathrm{B}}\,f$$うなりの回数は2音の振動数の差の大きさ。\(f_{\mathrm{W}_0}=f\) の方が大きいので：
$$n = f - \frac{V - v_\mathrm{B}}{V + v_\mathrm{B}}\,f = \frac{(V + v_\mathrm{B}) - (V - v_\mathrm{B})}{V + v_\mathrm{B}}\,f = \frac{2v_\mathrm{B}}{V + v_\mathrm{B}}\,f$$問題文の設定 \(v_\mathrm{B}\ll V\) を使えば分母の \(v_\mathrm{B}\) を無視して \(n\fallingdotseq\dfrac{2v_\mathrm{B}}{V}f\)。うなりの回数 \(n\) を測れば \(v_\mathrm{B}\fallingdotseq\dfrac{nV}{2f}\) と速度が分かる。これも(4)と同じ「音で速度を測る」応用例。係数 \(2\) が付くのは往復2回ドップラー効果を受けるため。
うなりの回数＝2音の振動数の差 \(|f_{\mathrm{W}_0}-f_{\mathrm{W}_1}|\)。反射音は往復で2回ドップラーを受け、差に係数 \(2\) が現れる。
うなりが観測されない＝W₀とW₁の振動数が完全に一致した、ということ。台車Pが動くと、直接音W₀も反射音W₁も両方ドップラー効果でずれる。Pの速度をうまく選ぶと、この2つのずれがぴったり打ち消し合って、Pにとって両方が同じ振動数に聞こえる。その速度を求める。
台車Pが右向き \(v_\mathrm{P}\) で動くとき、2つの音の観測振動数を求める。
W₀′（直接音）：音源A静止、Pが遠ざかる観測者なので、(2)と同じ形：
$$f_{\mathrm{W}_0}' = \frac{V - v_\mathrm{P}}{V}\,f$$W₁′（反射音）：壁Bが出す音源振動数は \(\dfrac{V - v_\mathrm{B}}{V}f\)（右向き \(v_\mathrm{B}\)、Pに対して遠ざかる音源＝分母 \(V+v_\mathrm{B}\)）。Pは右向き \(v_\mathrm{P}\) でこの反射音（左向きに進む）に対して近づく観測者＝分子 \(V+v_\mathrm{P}\)：
$$f_{\mathrm{W}_1}' = \frac{V + v_\mathrm{P}}{V + v_\mathrm{B}}\cdot\frac{V - v_\mathrm{B}}{V}\,f$$うなりが消える条件は \(f_{\mathrm{W}_0}' = f_{\mathrm{W}_1}'\)。両辺の共通因子 \(\dfrac{f}{V}\) を払って：
$$(V - v_\mathrm{P})(V + v_\mathrm{B}) = (V + v_\mathrm{P})(V - v_\mathrm{B})$$左辺・右辺を展開して整理すると \(V^2\) と \(v_\mathrm{P}v_\mathrm{B}\) の項が消え：
$$V v_\mathrm{B} - V v_\mathrm{P} = V v_\mathrm{P} - V v_\mathrm{B} \;\Rightarrow\; 2Vv_\mathrm{B} = 2Vv_\mathrm{P} \;\Rightarrow\; v_\mathrm{P} = v_\mathrm{B}$$台車Pが壁Bとまったく同じ速度で動けば、Pから見て壁Bは静止して見える。壁が静止していれば反射音も直接音と同じ振動数になり、うなりは生じない。数式でも \(v_\mathrm{P}=v_\mathrm{B}\) となり、この直感と一致する。うなりが消える速度を探すことでも \(v_\mathrm{B}\) が測定できる。
うなりが消える＝2音の振動数が一致する条件。計算すると \(v_\mathrm{P}=v_\mathrm{B}\)、つまり「Pが壁Bと同速で動けば壁が静止して見える」。
光も波なので、動く試料（台車）から見ると光源の振動数がドップラー効果でずれて見える。試料は振動数 \(F_1\) の光だけを吸収する。台車が適切な速度で動き、光源の光 \(F\) が試料から見て \(F_1\) に見えたとき、その光が吸収され、後方の測定器に届く光が弱くなる。その速度を求める。
光源は静止し振動数 \(F\) の光を右向きに出す。試料（台車）が速度 \(v\)（右向きを正）で動くとき、試料から見ると光源から遠ざかる観測者になる。問1(2)の音のドップラー式で \(V\to c\)、\(v_\mathrm{B}\to v\) と置き換えると、試料が観測する振動数は：
$$F' = \frac{c - v}{c}\,F$$試料が光を吸収する（測定器の光が弱くなる）条件は、この観測振動数が吸収振動数 \(F_1\) に一致すること：
$$\frac{c - v}{c}\,F = F_1$$\(v\) について解く：
$$c - v = \frac{c F_1}{F} \;\Rightarrow\; v = c\left(1 - \frac{F_1}{F}\right) = \frac{c(F - F_1)}{F}$$（右向きを正。\(F_1\gt F\) なら \(v\lt 0\)、つまり左向き＝光源に近づく向きに動く。）
もし試料の吸収振動数 \(F_1\) が光源の \(F\) より大きいなら、光源に近づく向き（左向き、\(v\lt 0\)）に動いて青方偏移で振動数を上げる必要がある。逆に \(F_1\lt F\) なら遠ざかって赤方偏移させる。答えの式 \(v=c(F-F_1)/F\) はこの両方を符号込みで正しく表している。次の問2(8)では \(F_1\gt F\)（近づく向きで吸収）の場合を扱う。
光でも音と同じドップラー式（\(V\to c\)）が使える。吸収条件「観測振動数 \(=F_1\)」を立てて速度を逆算する。
台車はばねにつながれ単振動する。位置 \(x=D\) から静かに放すので、変位は \(x(t)=D\cos\omega t\)、速度は \(v(t)=-D\omega\sin\omega t\)。台車の速度が問2(7)で求めた「吸収が起こる速度」に一致した瞬間 \(t_1\) に、測定器の光が弱くなる。速度の式どうしを等号で結べば \(\sin\omega t_1\) が出る。
ばねが自然長の位置 O から右へ \(D\) 伸びた点で \(t=0\) に静かに放すので、振幅 \(D\)・角振動数 \(\omega\) の単振動になる。変位と速度は（右向き正、O を原点）：
$$x(t) = D\cos\omega t, \qquad v(t) = \frac{dx}{dt} = -D\omega\sin\omega t$$時刻 \(t_1\) に測定器の光が弱くなった＝台車の速度が問2(7)の吸収速度 \(v=\dfrac{c(F-F_1)}{F}\) に一致した。速度どうしを等号で結ぶ：
$$-D\omega\sin\omega t_1 = \frac{c(F - F_1)}{F}$$\(\sin\omega t_1\) について解く（右辺の符号を反転して \(F_1-F\) の形に整える）：
$$\sin\omega t_1 = -\frac{c(F - F_1)}{FD\omega} = \frac{c(F_1 - F)}{FD\omega}$$次の問2(9)で「\(\omega t_1=\pi/4\) で吸収が起こった」とあり \(\sin(\pi/4)=1/\sqrt2\gt0\)。答えの右辺が正になるには \(F_1\gt F\) が必要で、これは試料が光源より高い振動数を吸収するケース。このとき台車は左向き（O へ向かって、\(v\lt0\)）に動いて青方偏移で光を \(F_1\) まで持ち上げる。すべて符号が整合している。
単振動は端から静かに放すと \(x=D\cos\omega t\)、\(v=-D\omega\sin\omega t\)。吸収条件「速度＝(7)の値」を等号で結んで \(\sin\omega t_1\) を出す。
吸収は「台車の速度がある決まった1つの値になった瞬間」に起こる。1周期の単振動で、台車が同じ速度（同じ大きさ・同じ向き）になる瞬間は2回ある。速度 \(v=-D\omega\sin\omega t\) が同じ値をとるのは \(\sin\omega t\) が同じ値のとき。\(\sin\omega t_1=\sin(\pi/4)\) を満たす角は \(\pi/4\) と \(3\pi/4\) の2つ。
吸収は台車の速度がちょうど吸収速度 \(v=\dfrac{c(F-F_1)}{F}\) になった瞬間に起こる。速度は \(v(t)=-D\omega\sin\omega t\) なので、吸収条件は \(\sin\omega t\) が問2(8)で求めた特定の値をとること：
$$\sin\omega t = \frac{c(F_1 - F)}{FD\omega} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$台車が1周期だけ単振動する間、\(\omega t\) は \(0\) から \(2\pi\) まで変化する。この範囲で \(\sin\omega t = \dfrac{1}{\sqrt2}\) を満たすのは：
$$\omega t = \frac{\pi}{4}\quad\text{と}\quad\omega t = \frac{3\pi}{4}$$この2つの角では \(\sin\) の値が等しいので速度も完全に一致し（同じ大きさ・同じ向き）、どちらでも吸収が起こる。\(\omega t=5\pi/4,\ 7\pi/4\) では \(\sin\omega t=-1/\sqrt2\) となり速度の向きが逆で吸収速度と一致しないため、吸収は起こらない。したがって1周期あたり2回で、正しい記述は(い)。
このように、試料が吸収する振動数 \(F_1\) は、それに近い振動数の光源を使い「どの速度で吸収が起こるか」を測ることで精密に求められる。吸収光がガンマ線の場合、その振動数は原子核のエネルギー状態を反映する。この測定はメスバウアー分光法と呼ばれ、原子間結合などの情報を得る強力な手法。基礎を築いた R.L. メスバウアーは1961年にノーベル物理学賞を受賞した。
単振動の1周期で同じ速度（同符号）になるのは2回。\(\sin\omega t=\sin(\pi/4)\) の解は \(\pi/4\) と \(3\pi/4\) だけ。答えは(い)。