電磁気の総合問題です。前半（問1）は平行板コンデンサーの電気容量・静電エネルギー・極板間引力を扱います。とくに「スイッチを開いてから極板間隔を変える」ため電荷 \(Q\) が一定になる点が鍵。後半（問2）は磁場中の荷電粒子の円運動と、極板間での電場による放物運動、さらに \(B_2\) を加えた速度選別器を扱います。
平行板コンデンサーの電気容量は「電気をためる能力」。極板が広いほど大きく、間隔が狭いほど大きい。一辺 \(w\) の正方形なので極板面積は \(S=w^2\)。公式 \(C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\) にそのまま当てはめればよい。
極板は一辺 \(w\) の正方形なので、極板の面積は
$$S = w \times w = w^2$$平行板コンデンサーの電気容量の公式 \(C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\) に \(S=w^2\) を代入する：
$$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{\varepsilon_0 w^2}{d}$$電気容量 \(C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\) は「面積 \(S\) に比例、間隔 \(d\) に反比例」。極板が広いほど電荷を多くためられ、間隔が狭いほど同じ電圧で強い電場ができて電荷がたまりやすい。真空中なので誘電率は \(\varepsilon_0\)（比誘電率 1）を使う。
平行板コンデンサーは \(C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\)。正方形極板なら面積は \(S=w^2\)。真空中は \(\varepsilon_0\) を使う。
スイッチを閉じて十分時間が経つと、コンデンサーは電源電圧 \(V\) まで充電される。このとき蓄えられるエネルギーは「電圧 \(V\) をかけて充電したコンデンサー」の標準公式 \(U=\dfrac12 CV^2\) をそのまま使えばよい。まだスイッチを開く前の状態でエネルギーを問われている。
電気容量 \(C\)、電圧 \(V\) のコンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは、次の3つの表し方がすべて等価である：
$$U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C}$$ここでは \(C\) と \(V\) を用いて表すよう指定されているので、第1の形を選ぶ：
$$U = \frac{1}{2}CV^2$$\(Q=CV\) の関係から、\(\dfrac12 CV^2\)・\(\dfrac12 QV\)・\(\dfrac{Q^2}{2C}\) はすべて同じ量を表す。電圧が固定なら \(\dfrac12 CV^2\)、電荷が固定なら \(\dfrac{Q^2}{2C}\) が便利。問1(3)ではスイッチを開いて電荷 \(Q\) が固定されるので、そちらでは \(\dfrac{Q^2}{2C}\) の形が主役になる。
静電エネルギーは \(U=\dfrac12 CV^2=\dfrac12 QV=\dfrac{Q^2}{2C}\) の3表現。固定される量（\(V\) か \(Q\) か）で式を選ぶと後がラク。
ここが最重要ポイント。スイッチはすでに開いているので、極板の電荷 \(Q\) は変えられない（電源から出入りできない）。電荷一定のまま間隔を広げると容量 \(C\) が減る。エネルギーは \(U=\dfrac{Q^2}{2C}\) なので \(C\) が減れば \(U\) は増える。間隔 \(d\) に比例して増えるので、変化量は \(\Delta d\) に比例する。
スイッチを開いてあるので電荷 \(Q=CV\) は一定。電荷一定のときは静電エネルギーを \(U=\dfrac{Q^2}{2C}\) で書くのが便利。間隔が \(d\) のときの容量を \(C\)、\(d+\Delta d\) のときの容量を \(C'\) とすると：
$$C = \frac{\varepsilon_0 w^2}{d},\qquad C' = \frac{\varepsilon_0 w^2}{d+\Delta d}$$それぞれのエネルギーは \(Q\) が共通なので：
$$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 w^2},\qquad U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2 (d+\Delta d)}{2\varepsilon_0 w^2}$$変化量は差をとる。\(d\) の項が消えて \(\Delta d\) だけが残る：
$$\Delta U = U' - U = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 w^2}\,\Delta d$$ここで \(Q=CV\)、および \(\varepsilon_0 w^2 = C d\)（(1)より）を代入して \(C,V,d,\Delta d\) で表す：
$$\Delta U = \frac{(CV)^2}{2\,(C d)}\,\Delta d = \frac{C^2 V^2}{2 C d}\,\Delta d = \frac{CV^2}{2d}\,\Delta d$$電荷一定なら \(U=\dfrac{Q^2}{2C}\)、\(C\propto\dfrac1d\) なので \(U\propto d\)。よって \(d\to d+\Delta d\) にすれば
$$U' = U\cdot\frac{d+\Delta d}{d} = U\left(1+\frac{\Delta d}{d}\right)\ \Rightarrow\ \Delta U = U\cdot\frac{\Delta d}{d} = \frac{CV^2}{2}\cdot\frac{\Delta d}{d}$$ただし \(U=\dfrac12 CV^2\) は「間隔 \(d\)・電圧 \(V\) の初期状態」の値。同じ結果 \(\Delta U=\dfrac{CV^2}{2d}\Delta d\) を得る。
スイッチが開いていれば電荷 \(Q\) が一定。\(U=\dfrac{Q^2}{2C}\)、\(C\propto1/d\) より \(U\propto d\)。間隔を広げるとエネルギーは増える。
正の極板と負の極板は互いに引き合う。この引力に逆らって間隔を \(\Delta d\) だけ広げるには、外力がその分の仕事をしなければならない。「外力の仕事＝静電エネルギーの増加」というエネルギー保存から、力の大きさを逆算する。\(\Delta d\) が微小なので、その間 \(F\) はほぼ一定と見なせる。
間隔を \(d\) から \(d+\Delta d\) までゆっくり広げるとき、外力は静電引力 \(F\) にちょうど逆らって動かす。\(\Delta d\) は微小なので \(F\) を一定とみなし、外力がした仕事は「力 × 距離」：
$$W_{\text{外}} = F\,\Delta d$$この仕事はすべてコンデンサーの静電エネルギーの増加分になる（電荷一定で電源は開放され、熱損失もない）。エネルギー保存より：
$$W_{\text{外}} = \Delta U \quad\Rightarrow\quad F\,\Delta d = \frac{CV^2}{2d}\,\Delta d$$両辺を \(\Delta d\) で割れば \(F\) が求まる：
$$F = \frac{CV^2}{2d}$$一方の極板がつくる電場は \(\dfrac{E_{\text{全}}}{2}\)（もう一方の極板が感じるのは自分以外がつくる電場）。極板間の全電場は \(E_{\text{全}}=\dfrac{V}{d}\)、電荷は \(Q=CV\)。よって引力は
$$F = Q\cdot\frac{E_{\text{全}}}{2} = CV\cdot\frac{V}{2d} = \frac{CV^2}{2d}$$「\(\dfrac12\)」が付くのは、極板が自分自身のつくる電場からは力を受けないため。エネルギー法と一致する。
極板間引力は「外力の仕事＝エネルギー変化」で逆算できる。\(F=\dfrac{\Delta U}{\Delta d}=\dfrac{CV^2}{2d}\)。直接法の \(F=Q\cdot\dfrac{E}{2}\) と同じ。
磁場からはたらくローレンツ力 \(\vec F=q\vec v\times\vec B\) は、常に速度 \(\vec v\) に垂直。力が運動方向に垂直だと、その力は物体を「曲げる」だけで「速める・遅くする」ことはない。仕事をしないので運動エネルギーが変わらず、速さも一定に保たれる。だから半径一定の等速円運動になる。
荷電粒子が受けるローレンツ力は \(\vec F=q\vec v\times\vec B\)。ベクトルの外積の性質から、この力は速度 \(\vec v\) に常に垂直である。力が変位（速度の向き）に垂直なとき、微小時間 \(\Delta t\) の間に力がする仕事は
$$\Delta W = \vec F\cdot\vec v\,\Delta t = 0\qquad(\vec F\perp\vec v)$$仕事が 0 なので運動エネルギー \(\dfrac12 mu^2\) は変化せず、したがって速さ \(u\) は一定に保たれる。
ローレンツ力は常に速度に垂直にはたらくため仕事をせず、運動エネルギーが変化しない。よって速さは変わらない。
速さが一定で、力の大きさ \(quB_1\) も一定なので、向心力が一定の等速円運動になる。\(quB_1=\dfrac{mu^2}{r}\) より半径 \(r=\dfrac{mu}{qB_1}\) が一定に定まる。ローレンツ力は「速さ（スピード）」は変えないが「速度（向き）」は変える、という点が重要。
ローレンツ力は速度に垂直 → 仕事 0 → 速さ不変。だから磁場中の荷電粒子は等速円運動になる。
粒子は原点Oから \(x\) 軸に対して角度 \(\theta\) で打ち出され、磁場で曲げられてちょうど \(x\) 軸に平行（角度 0）になったところで極板間（\(x=a\)）に入る。この間、粒子は半径 \(r\) の円弧を描き、進行方向が \(\theta\) だけ回転する。円の幾何を使って、Oと入口の水平距離 \(a\) を \(r,\theta\) で表す。
正電荷が \(+z\) 向きの磁場 \(B_1\) 中を運動すると、ローレンツ力によって時計回りに曲がる。打ち出し方向は \(x\) 軸から角度 \(\theta\)、極板間に入るとき \(x\) 軸に平行（角度 0）なので、進行方向は円弧に沿って \(\theta\) だけ回転したことになる。
円の中心 \(\mathrm{C}\) は、はじめの速度に垂直な向き（向心力の向き）に半径 \(r\) だけ進んだ点にあり、その \(x\) 座標は \(x_{\mathrm C}=r\sin\theta\) となる。粒子が \(x\) 軸に平行になる（速度が \(+x\) 向き）のは、円周上で中心の真上にきた点であり、その \(x\) 座標は中心と同じ \(r\sin\theta\)。ここが極板の左端 \(x=a\) なので：
$$a = x_{\mathrm C} = r\sin\theta$$同じ幾何から、入口点の高さは \(y=r(1-\cos\theta)\) となる（円の中心が \(y=-r\cos\theta\) にあり、入口はそこから真上 \(+r\) の点）。この \(y\) は本問では問われていないが、円弧が上に凸に曲がって \(x\) 軸に平行になるイメージを裏づける。角度 \(\theta\) が小さいほど \(a=r\sin\theta\) は小さく、まっすぐ近くで極板に入る。
「打ち出し角 \(\theta\) → \(x\) 軸平行」への転回は、進行方向が \(\theta\) 回転する円弧。水平到達距離は円の中心の \(x\) 座標 \(a=r\sin\theta\)。
磁場中の等速円運動では、ローレンツ力が向心力の役目をする。「ローレンツ力 \(quB_1\)＝向心力 \(\dfrac{mu^2}{r}\)」という運動方程式を立てて、\(u\) について解けばよい。半径 \(r\) と磁束密度 \(B_1\)、比電荷が分かれば速さが決まる、という関係が見える。
等速円運動では、ローレンツ力が向心力になる。ローレンツ力の大きさは \(quB_1\)（速度 \(u\) と磁場 \(B_1\) が垂直）、向心力は \(\dfrac{mu^2}{r}\)。両者を等しくおく：
$$quB_1 = \frac{mu^2}{r}$$両辺を \(u\)（\(\ne0\)）で割る：
$$qB_1 = \frac{mu}{r}$$これを \(u\) について解く：
$$u = \frac{qB_1 r}{m}$$上の式を \(r\) について解くと \(r=\dfrac{mu}{qB_1}\)。これが「磁場中の荷電粒子の円軌道の半径」の基本公式。周期は \(T=\dfrac{2\pi r}{u}=\dfrac{2\pi m}{qB_1}\) で、速さによらず質量・電荷・磁場だけで決まる（サイクロトロン周期）。半径は速さに比例して大きくなる。
磁場中の円運動は「ローレンツ力＝向心力」\(quB_1=\dfrac{mu^2}{r}\)。ここから \(u=\dfrac{qB_1 r}{m}\)、\(r=\dfrac{mu}{qB_1}\)。
粒子は極板間に \(x\) 軸に平行（速さ \(u\)）で入る。極板間には一様電場 \(E\) があり、正電荷は電場の向きに一定の力 \(qE\) を受ける。これは水平投射とまったく同じ構造：\(x\) 方向は等速（\(u\)）、\(y\) 方向は等加速度（加速度 \(\dfrac{qE}{m}\)）。極板の幅 \(w\) を通過する時間を出し、その間の \(y\) 変位を求める。
粒子は極板間に \(x\) 軸に平行に速さ \(u\) で入る。極板の幅は \(w\) なので、\(x\) 方向は等速で、極板間を通過する時間 \(t\) は
$$t = \frac{w}{u}$$\(y\) 方向は、電場からの力 \(qE\) による等加速度運動。加速度は
$$\alpha_y = \frac{qE}{m}$$入射時の \(y\) 方向初速は 0 なので、\(y\) 変位は \(h=\dfrac12\alpha_y t^2\)。\(t=\dfrac{w}{u}\) を代入：
$$h = \frac{1}{2}\cdot\frac{qE}{m}\cdot\left(\frac{w}{u}\right)^2 = \frac{qEw^2}{2mu^2}$$この運動は「水平投射」と同じ構造。水平投射では重力加速度 \(g\) が鉛直方向の加速度だったのに対し、ここでは電場による加速度 \(\dfrac{qE}{m}\) がその役割をする。水平（\(x\)）は等速 \(u\)、垂直（\(y\)）は等加速度。落下距離 \(\dfrac12 gt^2\) に対応するのが \(h=\dfrac12\dfrac{qE}{m}t^2\)。「極板に衝突しない」条件は \(h\) が極板間隔の半分以下であること。
極板間の電場中は水平投射と同型。\(x\) 等速で \(t=w/u\)、\(y\) 等加速度で \(h=\dfrac{qEw^2}{2mu^2}\)。
これまでに得た2つの関係、(7) の \(u=\dfrac{qB_1 r}{m}\) と (8) の \(h=\dfrac{qEw^2}{2mu^2}\) を組み合わせる。指定された文字は \(w,B_1,E,r,h\) で、\(u\) や \(q,m\) 単独は使えない。だから \(u\) を消去して、比電荷 \(\dfrac{q}{m}\) をひとかたまりの量として解く。
まず (8) の式を \(\dfrac{q}{m}\) について整理する：
$$h = \frac{qEw^2}{2mu^2}\quad\Rightarrow\quad \frac{q}{m} = \frac{2hu^2}{Ew^2}$$次に (7) の \(u=\dfrac{qB_1r}{m}=\left(\dfrac{q}{m}\right)B_1 r\) を2乗して \(u^2\) を作る：
$$u^2 = \left(\frac{q}{m}\right)^2 B_1^2 r^2$$これを上の式に代入すると、右辺にも \(\dfrac{q}{m}\) が現れる：
$$\frac{q}{m} = \frac{2h}{Ew^2}\left(\frac{q}{m}\right)^2 B_1^2 r^2$$両辺を \(\dfrac{q}{m}\)（\(\ne0\)）で割って整理すると：
$$1 = \frac{2h B_1^2 r^2}{Ew^2}\cdot\frac{q}{m}\quad\Rightarrow\quad \frac{q}{m} = \frac{Ew^2}{2h B_1^2 r^2}$$右辺の単位を確認する。\(E\)〔V/m〕、\(w^2\)〔m²〕、\(h\)〔m〕、\(B_1^2\)〔T²〕、\(r^2\)〔m²〕。\(\dfrac{[\mathrm{V/m}]\cdot[\mathrm{m^2}]}{[\mathrm m]\cdot[\mathrm{T^2}]\cdot[\mathrm{m^2}]}=\dfrac{[\mathrm{V/m}]}{[\mathrm{T^2}]\cdot[\mathrm m]}\)。\(\mathrm{V=T\cdot m^2/s}\)、\(\mathrm{T=kg/(C\cdot s)}\) を使うと \(\mathrm{C/kg}\)（比電荷の単位）になる。次元が合っており計算に矛盾がない。
指定文字に \(u\) が無いときは2式から \(u\) を消去。\(\dfrac qm\) が両辺に出たら1個に割って解く。答え \(\dfrac{q}{m}=\dfrac{Ew^2}{2h B_1^2 r^2}\)。
極板間に \(-z\) 向きの磁場 \(B_2\) を加えると、粒子は電場と磁場の両方から力を受ける。それでもまっすぐ（等速直線運動）で通過したということは、電場の力と磁場の力がちょうどつり合ったという意味。これは「速度選別器（ヴェロシティ・セレクター）」の原理そのもの。つり合いの式 \(qE=quB_2\) から、選別される速さ \(u\) が決まる。
粒子は極板間に速さ \(u\)、\(x\) 軸方向に入る。極板間には \(-y\) 向きの電場 \(E\) と、\(-z\) 向きの磁場 \(B_2\) がある。正電荷にはたらく2つの力を調べる。
電場からの力：電場 \(E\) は \(-y\) 向きなので、正電荷は \(-y\) 向きに大きさ \(qE\) の力を受ける。
磁場からの力（ローレンツ力）：速度は \(+x\)、磁場は \(-z\)。\(\vec F=q\vec v\times\vec B_2\) を計算すると \(+y\) 向きに大きさ \(quB_2\) となる。
直進した（等速直線運動）ということは、\(y\) 方向の2力がつり合っている：
$$qE = quB_2$$両辺を \(q\)（\(\ne0\)）で割り、\(u\) について解く：
$$E = uB_2\quad\Rightarrow\quad u = \frac{E}{B_2}$$電場力 \(qE\) は速さによらず一定だが、磁場力 \(quB_2\) は速さ \(u\) に比例する。だからちょうど \(u=E/B_2\) の粒子だけが2力つり合って直進でき、それより遅い粒子は電場側へ、速い粒子は磁場側へそれて排除される。質量や電荷にかかわらず「特定の速さ」だけを選び出せるのがこの装置の特徴。J.J.トムソンの比電荷測定でも使われた。
電場力と磁場力のつり合い \(qE=quB_2\) から選別される速さ \(u=\dfrac{E}{B_2}\)。速さだけで決まり \(q,m\) によらない。
同じ粒子について、速さ \(u\) を2通りで表せた：(7) の円運動から \(u=\dfrac{qB_1 r}{m}\)、(10) のつり合いから \(u=\dfrac{E}{B_2}\)。同じ \(u\) だから、この2つを等しくおけば \(u\) が消えて、比電荷 \(\dfrac{q}{m}\) がきれいに決まる。実験では \(r\)（円弧の半径）と \(E,B_1,B_2\) を測れば比電荷が求まる、という測定原理になっている。
(7) の円運動から得た速さと、(10) のつり合いから得た速さは、同じ粒子の同じ速さ \(u\) を表している。だから両者を等しくおく：
$$\frac{qB_1 r}{m} = \frac{E}{B_2}$$左辺を \(\dfrac{q}{m}\) のかたまりで整理する：
$$\left(\frac{q}{m}\right)B_1 r = \frac{E}{B_2}$$両辺を \(B_1 r\) で割って \(\dfrac{q}{m}\) について解く：
$$\frac{q}{m} = \frac{E}{B_1 B_2 r}$$(9) では \(\dfrac{q}{m}=\dfrac{Ew^2}{2hB_1^2 r^2}\) だった。(11) の \(\dfrac{q}{m}=\dfrac{E}{B_1 B_2 r}\) と等しくおくと \(\dfrac{Ew^2}{2hB_1^2 r^2}=\dfrac{E}{B_1 B_2 r}\)、整理して \(h=\dfrac{w^2 B_2}{2 B_1 r}\) が得られる。これは \(u=E/B_2\) を (8) の \(h=\dfrac{qEw^2}{2mu^2}\) に代入しても同じ式が出て、前半と後半の設定に矛盾がないことを確認できる。
円運動の \(u=\dfrac{qB_1r}{m}\) と選別器の \(u=\dfrac{E}{B_2}\) を等号で結ぶと\(\dfrac{q}{m}=\dfrac{E}{B_1 B_2 r}\)。これが比電荷の測定原理。