解法の指針

壁の両側に置いた極板でコンデンサーを作り、導線をつながずに電気エネルギーを伝える「非接触給電」を題材にした交流回路の大問です。壁を挟んだ 2 つのコンデンサー（A-B と C-D、それぞれ静電容量 \(C\)）と抵抗 \(R\)、交流電源が直列につながっています。

問題の構成

• 問1 (1)-(4)：平行板コンデンサーの容量、直列回路のインピーダンス、電流の実効値、消費電力を求める。RC 直列回路の基本。
• 問2 (5)-(11)：コイル \(L\) を 2 個追加した RLC 直列回路。電流・電力を求め、電力最大となる共振条件を導く。電流を \(\cos\)・\(\sin\) 成分に分けた電力計算も扱う。
• 問3 (12)-(13)：電源に内部抵抗 \(r\) を直列に加えた回路で、\(R\) の消費電力を最大化するインピーダンス整合（\(R=r\)）を導く。

問1(1) — 平行板コンデンサーの静電容量 \(C\)

極板は面積 \(S\)〔m²〕の正方形で、間には厚さ \(d\)〔m〕・誘電率 \(\varepsilon\)〔F/m〕の壁（誘電体）がはさまっている。平行板コンデンサーの静電容量の式にそのまま当てはめる：

$$C = \varepsilon\,\frac{S}{d}$$

誘電率 \(\varepsilon\) には比誘電率と真空の誘電率の積 \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\) が含まれているが、この問題では壁の誘電率が \(\varepsilon\) として与えられているので、そのまま代入すればよい。

補足：なぜ 2 つのコンデンサーは等しい容量になるか

極板 A-B と C-D はどちらも同じ面積 \(S\)、同じ壁の厚さ \(d\)、同じ誘電率 \(\varepsilon\) の壁を挟んでいる。したがってまったく同じ静電容量 \(C=\dfrac{\varepsilon S}{d}\) を持つ。このあと 2 つのコンデンサーは直列に扱われ、合成容量は \(\dfrac{C}{2}\) になる。

問1(2) — 点 A, B 間にかかる電圧の実効値

コンデンサー 1 個の容量リアクタンスは \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\)。点 A-B 間にはこのコンデンサーが 1 個あり、直列回路なので流れる電流の実効値は回路全体と同じ \(I_e\)。よって A-B 間の電圧の実効値は：

$$V_{AB} = I_e \, X_C = I_e \cdot \frac{1}{\omega C}$$

すなわち：

$$V_{AB} = \frac{I_e}{\omega C}$$

補足：点 A-B は「1 個」であって「2 個」ではない

図 1 で、点 A は電源と極板 A の間、点 B は極板 B と抵抗 R の間にある。この 2 点の間にはさまっているのはコンデンサー A-B の 1 個だけ。もう一方のコンデンサー C-D は回路の下側（帰り道）にあり、A-B 間には含まれない。だから \(V_{AB}=I_e\cdot\dfrac{1}{\omega C}\) であって、\(\dfrac{2I_e}{\omega C}\) ではない。

問1(3) — 電流の実効値 \(I_e\)

コンデンサー 2 個が直列なので、合成容量は \(\dfrac{C}{2}\)、合成の容量リアクタンスは \(\dfrac{1}{\omega (C/2)}=\dfrac{2}{\omega C}=2X_C\)。抵抗 \(R\) とは位相が \(90^\circ\) ずれるため、インピーダンスは次のように二乗和の平方根で求める：

$$Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{2}{\omega C}\right)^2} = \sqrt{R^2 + \frac{4}{\omega^2 C^2}}$$

電流の実効値はオームの法則の交流版 \(I_e=\dfrac{V_e}{Z}\)：

$$I_e = \frac{V_e}{Z} = \frac{V_e}{\sqrt{R^2 + \dfrac{4}{\omega^2 C^2}}}$$

補足：なぜ足し算ではなく二乗和の平方根なのか

抵抗の電圧は電流と同位相、コンデンサーの電圧は電流より位相が \(90^\circ\) 遅れる。位相が \(90^\circ\) ずれた 2 つのベクトルの合成は、直角三角形の斜辺と同じで「二乗して足して平方根」になる。実効値どうしを単純に足す（\(R+\dfrac{2}{\omega C}\)）のは誤り。

問1(4) — 抵抗 \(R\) で消費される電力の時間平均

コンデンサーの消費電力の時間平均は 0 なので、電力を消費するのは抵抗 \(R\) だけ。抵抗の消費電力の時間平均は、実効値を使って \(\overline{P_R}=I_e^{\,2}R\)（直流と同じ形になるのが実効値の便利なところ）：

$$\overline{P_R} = I_e^{\,2}\, R$$

この \(I_e\) に問1(3)の結果を代入すれば、\(V_e,\omega,C,R\) だけの式にもできる（参考）：

$$\overline{P_R} = \frac{V_e^{\,2}\,R}{R^2 + \dfrac{4}{\omega^2 C^2}}$$

補足：実効値の定義と「時間平均電力」の関係

電流の実効値 \(I_e\) は「その交流と同じ発熱を生む直流の値」として定義される。瞬時電力は \(p(t)=R\,I(t)^2=R\,I_m^2\cos^2(\omega t)\) で、\(\cos^2\) の時間平均は \(\tfrac12\) だから \(\overline{p}=\tfrac12 R I_m^2\)。ここで \(I_e=\dfrac{I_m}{\sqrt2}\)（\(I_e^2=\tfrac12 I_m^2\)）を使えば \(\overline{P_R}=R I_e^2\) となり、直流とまったく同じ形にまとまる。

問2(5) — コイル追加後の電流の実効値 \(I_e\)

コイル 2 個直列の誘導リアクタンスは \(2X_L\)、コンデンサー 2 個直列の容量リアクタンスは \(2X_C\)。両者は位相が逆向きなので、回路のリアクタンス成分はその差 \(2X_L-2X_C\)。インピーダンスは抵抗成分 \(R\) と直角に合成する：

$$Z = \sqrt{R^2 + (2X_L - 2X_C)^2} = \sqrt{R^2 + 4(X_L - X_C)^2}$$

電流の実効値は \(I_e=\dfrac{V_e}{Z}\)：

$$I_e = \frac{V_e}{\sqrt{R^2 + 4(X_L - X_C)^2}}$$

補足：なぜ「差」になるのか（位相の向き）

コイルにかかる電圧は電流より \(90^\circ\) 進み、コンデンサーにかかる電圧は電流より \(90^\circ\) 遅れる。両者はちょうど正反対の位相なので、電圧ベクトルとしては打ち消し合い、合成リアクタンスは 差 \(2X_L-2X_C\) になる。\(X_L>X_C\) なら回路は誘導性、\(X_L\lt X_C\) なら容量性。

問2(6) — 抵抗 \(R\) の消費電力（\(V_0\) で表す）

消費電力は \(\overline{P_R}=I_e^{\,2}R\)。問2(5)の \(I_e=\dfrac{V_e}{\sqrt{R^2+4(X_L-X_C)^2}}\) を二乗して代入する：

$$\overline{P_R} = \frac{V_e^{\,2}\,R}{R^2 + 4(X_L - X_C)^2}$$

電源電圧の最大値 \(V_0\) で表すため、\(V_e=\dfrac{V_0}{\sqrt2}\) すなわち \(V_e^{\,2}=\dfrac{V_0^{\,2}}{2}\) を代入する：

$$\overline{P_R} = \frac{\dfrac{V_0^{\,2}}{2}\,R}{R^2 + 4(X_L - X_C)^2} = \frac{V_0^{\,2}\,R}{2\left(R^2 + 4(X_L - X_C)^2\right)}$$

補足：実効値と最大値の関係を忘れずに

正弦波交流では、実効値は最大値の \(\dfrac{1}{\sqrt2}\) 倍：\(V_e=\dfrac{V_0}{\sqrt2}\)、\(I_e=\dfrac{I_0}{\sqrt2}\)。二乗すると \(\dfrac12\) 倍になる。電力を最大値で表すときは、この \(\dfrac12\) の係数を忘れやすいので注意。この式は \(X_L=X_C\) のとき分母が最小 \(R^2\) となり、\(\overline{P_R}=\dfrac{V_0^{\,2}}{2R}\) が最大値になる（問2(9)につながる）。

問2(7) — 交流電源が供給する電力の時間平均

瞬時電力は電圧と電流の積。\(V(t)=V_0\cos(\omega t)\)、\(I(t)=I_c\cos(\omega t)+I_s\sin(\omega t)\) を掛ける：

$$p(t) = V_0\cos(\omega t)\bigl[I_c\cos(\omega t) + I_s\sin(\omega t)\bigr] = V_0 I_c\cos^2(\omega t) + V_0 I_s\cos(\omega t)\sin(\omega t)$$

1 周期にわたる時間平均をとる。\(\cos^2(\omega t)\) の平均は \(\dfrac12\)、\(\cos(\omega t)\sin(\omega t)=\dfrac12\sin(2\omega t)\) の平均は 0：

$$\overline{P} = V_0 I_c\cdot\frac{1}{2} + V_0 I_s\cdot 0 = \frac{1}{2}V_0 I_c$$

補足：I_c は「有効電流」、I_s は「無効電流」

電流のうち電圧と同位相の成分 \(I_c\)（\(\cos\) 成分）は有効電流と呼ばれ、実際に電力を運ぶ。電圧と \(90^\circ\) ずれた成分 \(I_s\)（\(\sin\) 成分）は無効電流で、電源とコイル・コンデンサーの間でエネルギーを行き来させるだけで、時間平均では電力を運ばない。だから供給電力の平均は \(I_c\) だけで決まる。

問2(8) — 電流の \(\cos\) 成分 \(I_c\)

電源電圧 \(V(t)=V_0\cos(\omega t)\) に対し、電流は位相 \(\phi\) だけ遅れて \(I(t)=\dfrac{V_0}{Z}\cos(\omega t-\phi)\) となる（\(Z=\sqrt{R^2+4(X_L-X_C)^2}\)）。加法定理で展開する：

$$I(t) = \frac{V_0}{Z}\bigl[\cos(\omega t)\cos\phi + \sin(\omega t)\sin\phi\bigr]$$

問2(7)の \(I(t)=I_c\cos(\omega t)+I_s\sin(\omega t)\) と係数を比較すると、\(\cos(\omega t)\) の係数が \(I_c\)：

$$I_c = \frac{V_0}{Z}\cos\phi$$

力率 \(\cos\phi=\dfrac{R}{Z}\)（インピーダンス三角形で抵抗成分／斜辺）を代入する：

$$I_c = \frac{V_0}{Z}\cdot\frac{R}{Z} = \frac{V_0 R}{Z^2} = \frac{V_0 R}{R^2 + 4(X_L - X_C)^2}$$

検算：問2(7)と組み合わせると問2(6)に一致

問2(7)の \(\overline{P}=\dfrac12 V_0 I_c\) に、いま求めた \(I_c\) を代入する：

$$\overline{P} = \frac{1}{2}V_0\cdot\frac{V_0 R}{R^2 + 4(X_L-X_C)^2} = \frac{V_0^{\,2}R}{2\left(R^2+4(X_L-X_C)^2\right)}$$

これは問2(6)で求めた抵抗の消費電力とぴったり一致する。電源の供給電力の平均＝抵抗の消費電力の平均（コイル・コンデンサーは平均で消費しない）という関係とも整合している。

問2(9) — 消費電力が最大となる誘導リアクタンス \(X_L\)

問2(6)の消費電力を \(V_e\) で書くと \(\overline{P_R}=\dfrac{V_e^{\,2}R}{R^2+4(X_L-X_C)^2}\)。分子は \(X_L\) によらないので、これを最大にするには分母を最小にすればよい。分母 \(R^2+4(X_L-X_C)^2\) は、二乗項 \(4(X_L-X_C)^2\ge 0\) が 0 のとき最小になる：

$$4(X_L - X_C)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad X_L = X_C$$

このとき分母は \(R^2\) となり、消費電力は最大値 \(\overline{P_R}=\dfrac{V_e^{\,2}}{R}\) をとる。指定された記号 \(V_e, X_C, R\) のうち必要なのは \(X_C\) だけで、答えは：

$$X_L = X_C$$

補足：共振の物理的意味（角周波数で書くと）

\(X_L=\omega L\)、\(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\) だから、共振条件 \(X_L=X_C\) は \(\omega L=\dfrac{1}{\omega C}\)、すなわち \(\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)。このとき電圧と電流が同位相になり（力率 1）、回路は純抵抗のように振る舞う。コイルとコンデンサーの間だけでエネルギーが往復し、電源からは抵抗が消費する分だけが供給される。

問2(10) — 共振時の点 A, E 間の電圧の実効値

点 A-E 間には、コンデンサー A-B（容量リアクタンス \(X_C\)）とコイル L（誘導リアクタンス \(X_L\)）が 1 個ずつ直列に入っている。この区間の合成リアクタンスは、位相が逆なので差 \(X_L-X_C\)。電流の実効値を \(I_e\) とすると、A-E 間電圧の実効値は：

$$V_{AE} = I_e\,|X_L - X_C|$$

共振条件 \(X_L=X_C\)（問2(9)）を代入すると：

$$V_{AE} = I_e\,|X_C - X_C| = I_e\cdot 0 = 0$$

補足：コイル1個・コンデンサー1個でも打ち消す理由

共振では回路全体で「コイル 2 個」と「コンデンサー 2 個」のリアクタンスが釣り合う（\(2X_L=2X_C\)）。これは 1 個あたりでも \(X_L=X_C\) が成り立つということ。A-E 間はコイル 1 個とコンデンサー 1 個なので、電圧の大きさは \(I_e X_L\) と \(I_e X_C\) で等しく、向きは正反対。したがってベクトル和は 0。個々の素子には電圧がかかっているのに、区間の合計電圧は 0 という共振特有の現象。

問2(11) — 問1(4)と比べた消費電力の変化と理由

問1(4)ではコイルがなく、回路のインピーダンスは \(Z_1=\sqrt{R^2+(2X_C)^2}\) で \(R\) より大きかった。問2(9)の共振では \(2X_L=2X_C\) となり、コイルの電圧がコンデンサーの電圧を打ち消してリアクタンス成分が消える：

$$Z_2 = \sqrt{R^2 + (2X_L - 2X_C)^2} = \sqrt{R^2} = R \;(\lt\, Z_1)$$

インピーダンスが小さくなるので電流の実効値は増加し（\(I_e=\dfrac{V_e}{Z}\)）、抵抗の消費電力 \(\overline{P_R}=I_e^{\,2}R\) は大きくなる。共振時は最大値 \(\dfrac{V_e^{\,2}}{R}\) となる。

解答欄では「大きくなる」を選び、理由（40〜60 字、「コイルにかかる電圧」を必ず使う）を次のようにまとめる：

補足：字数と必須語のチェック

指定は「40 字以上 60 字以下」「『コイルにかかる電圧』を必ず使う」「式・記号を使わない」。上の解答例は「コイルにかかる電圧」を含み、句読点込みで約 54 字なので条件を満たす。ポイントは 3 つ:「①コイルの電圧がコンデンサーの電圧を打ち消す」「②その結果インピーダンスが抵抗だけになる（最小）」「③電流が増えて消費電力が増える」。この因果の流れを 60 字以内に凝縮する。

問3(12) — 抵抗 \(r\) を直列に加えたときの \(R\) の消費電力

コイルのリアクタンスは共振値（問2(9)）なので、コイルとコンデンサーのリアクタンスは打ち消し合い、回路は抵抗 \(r\) と \(R\) の直列とみなせる。電流の実効値は（純抵抗なので）：

$$I_e = \frac{V_e}{R + r}$$

抵抗 \(R\) の消費電力の時間平均は \(\overline{P_R}=I_e^{\,2}R\)。ここに \(I_e\) を代入する：

$$\overline{P_R} = I_e^{\,2}R = \left(\frac{V_e}{R+r}\right)^2 R = \frac{V_e^{\,2}\,R}{(R + r)^2}$$

補足：なぜリアクタンスを無視できるのか

「回路中のコイルのリアクタンスは上問(9)の値とする」と指定されている。すなわち \(X_L=X_C\) の共振状態を保つ。合成リアクタンスは \(2X_L-2X_C=0\) なので、インピーダンスは \(Z=\sqrt{(R+r)^2+0^2}=R+r\)。位相ずれもなく、直流回路とまったく同じ扱いになる。

問3(13) — \(R\) の消費電力が最大となる \(R\)

問3(12)より \(\overline{P_R}=\dfrac{V_e^{\,2}R}{(R+r)^2}\)。これを \(R\) の関数とみて最大値を探す。分母・分子を \(R\) で割って整理すると：

$$\overline{P_R} = \frac{V_e^{\,2}}{\dfrac{(R+r)^2}{R}} = \frac{V_e^{\,2}}{R + 2r + \dfrac{r^2}{R}}$$

分母 \(R+\dfrac{r^2}{R}+2r\) を最小にすればよい。\(R>0,\ r>0\) のとき、相加平均・相乗平均の関係より \(R+\dfrac{r^2}{R}\ge 2\sqrt{R\cdot\dfrac{r^2}{R}}=2r\)。等号成立は \(R=\dfrac{r^2}{R}\)、すなわち：

$$R^2 = r^2 \quad\Rightarrow\quad R = r\quad(R>0)$$

このとき分母は最小 \(4r\) となり、消費電力は最大値 \(\overline{P_R}=\dfrac{V_e^{\,2}}{4r}\) をとる。

別解：微分で最大値を求める

\(f(R)=\dfrac{R}{(R+r)^2}\) を \(R\) で微分する。商の微分公式より：

$$f'(R) = \frac{(R+r)^2 - R\cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = \frac{(R+r) - 2R}{(R+r)^3} = \frac{r - R}{(R+r)^3}$$

\(f'(R)=0\) となるのは分子 \(r-R=0\)、すなわち \(R=r\)。\(R\lt r\) で \(f'>0\)（増加）、\(R>r\) で \(f'\lt 0\)（減少）だから、\(R=r\) で確かに最大。相加相乗を使った結果と一致する。

数値で確認：代表値でスケール感をつかむ

壁の誘電率などから容量を \(C=88\ \text{pF}\)（\(=88\times10^{-12}\ \text{F}\)）、周波数を \(f=100\ \text{kHz}\)（\(\omega=2\pi f\)）と仮定して、容量リアクタンスを計算する：

$$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\times(100\times10^{3})\times(88\times10^{-12})} \fallingdotseq 1.8\times10^{4}\ \text{Ω} = 18\ \text{kΩ}$$

このままでは \(X_C\) が大きく電流が流れにくいが、共振（\(X_L=X_C\)）でリアクタンスを打ち消すと、回路は抵抗だけになる。内部抵抗 \(r=10\ \text{Ω}\)、実効電圧 \(V_e=100\ \text{V}\) として、整合（\(R=r=10\ \text{Ω}\)）のときの最大送電電力は：

$$\overline{P_R}(\text{max}) = \frac{V_e^{\,2}}{4r} = \frac{(100)^2}{4\times 10} = \frac{10000}{40} = 250\ \text{W}$$

補足：なぜ高周波にするのか

容量リアクタンス \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\) は周波数に反比例する。周波数を \(100\) kHz から \(1\) MHz へ 10 倍にすれば \(X_C\) は \(\dfrac{1}{10}\)（\(1.8\) kΩ）になり、コンデンサー越しでも電流が流れやすくなる。実際のワイヤレス給電が数十 kHz〜数 MHz の高周波を使うのはこのためで、さらに共振でリアクタンスを消せば損失をぐっと抑えられる。

まとめ：非接触給電を最大化する 2 つの調整

各問の要点を並べると次のとおり。基本量から共振・整合まで、一本の流れで理解できる。

• 問1：\(C=\dfrac{\varepsilon S}{d}\)、\(Z=\sqrt{R^2+\dfrac{4}{\omega^2C^2}}\)、\(I_e=\dfrac{V_e}{Z}\)、\(\overline{P_R}=I_e^{\,2}R\)。
• 問2：RLC で \(Z=\sqrt{R^2+4(X_L-X_C)^2}\)。共振 \(X_L=X_C\) で電力最大、A-E 間電圧は 0、消費電力は問1より増加。
• 問3：共振を保ち \(r\) を加えると \(\overline{P_R}=\dfrac{V_e^{\,2}R}{(R+r)^2}\)。\(R=r\) で最大 \(\dfrac{V_e^{\,2}}{4r}\)。

補足：この問題が「非接触給電」として意味を持つ理由

壁を挟んだ極板は導線でつながっていないが、交流ならコンデンサーを通して電流が流れる。直流では流れないが、交流なら \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\) の「抵抗のようなもの」を通じてエネルギーが伝わる。角周波数 \(\omega\) を高くすれば \(X_C\) は小さくなり、より効率よく送れる。共振と整合を組み合わせて損失を抑え、最大の電力を送るのが、走行中給電（動く電気自動車に道路から給電する技術）の基本アイデアである。