問1は金属棒中の縦波パルスの伝搬と自由端反射、問2は弦の振動と気柱の共鳴を扱う波動の総合問題です。
金属棒の長さ \(L = 1000\) mm \(= 1.0\) m、縦波の速さ \(v = 4000\) m/s。
パルス ABC の空間的な幅を図1から読み取る。前面 A から後面 C までの長さは約 300 mm = 0.30 m。
\(x = 0.5\) m の横断面をパルス ABC が通過する時間は、パルス全体がこの断面を通り抜けるのに要する時間：
$$\Delta t = \frac{\text{パルスの長さ}}{v} = \frac{0.30}{4000} = 7.5 \times 10^{-5} \text{ s}$$ミリ秒に変換：
$$\Delta t = 0.075 \text{ ms}$$パルスの前面 A が \(x = 0.5\) m に到達してから、後面 C が通過し終わるまでの時間が「通過時間」。パルスが断面に到達する時刻ではないことに注意。
パルスの通過時間 = パルスの空間的な長さ ÷ 波の速さ。グラフから正確にパルス幅を読み取ることが重要。
縦波の変位 \(u\) と密度変化の関係：
$$\text{密度変化} \propto -\frac{\partial u}{\partial x}$$\(\partial u / \partial x > 0\)（変位が \(x\) 方向に増加）→ 媒質が伸びる → 疎
\(\partial u / \partial x < 0\)（変位が \(x\) 方向に減少）→ 媒質が圧縮される → 密
パルス ABC が \(x = 0.5\) m を通過するとき、まず前面側（B→A 部分、勾配が負）が通過して密になり、次に後面側（C→B 部分、勾配が正）が通過して疎になる。
入射波の前面 A が \(x = 0.9\) m に到達する時刻：
$$t_1 = \frac{0.9 - 0.6}{4000} = \frac{0.30}{4000} = 0.075 \text{ ms}$$（パルス前面 A は初期位置 \(x \fallingdotseq 0.6\) m にある）
自由端（\(x = 1.0\) m）で反射した波は、あたかも端の向こう側（\(x > 1.0\)）から同じ形のパルスが逆方向に進んでくるのと同じ。反射波の前面が \(x = 0.9\) m に到達する時刻は：
$$t_2 = \frac{(1.0 - 0.6) + (1.0 - 0.9)}{4000} = \frac{0.5}{4000} = 0.125 \text{ ms}$$入射波と反射波が重なる時間帯があり、変位は重ね合わせの原理で合成される。解答用紙のグラフには入射波（実線）と反射波（一点鎖線）と合成波（実線を太く）を区別して描く。
自由端反射：変位が同位相（山→山、谷→谷）。固定端反射：変位が逆位相（山→谷）。
金属棒の端が自由端の場合、端は自由に動けるため変位の振幅が2倍になる。縦波では自由端で密度変化の符号が反転する（密→疎、疎→密）。
自由端反射では変位は同位相。反射波は「鏡像」のように端の向こうからやってくると考える。入射波と反射波の重ね合わせで変位が増幅される。
金属棒の両端が自由端なので、定在波の両端は腹。
基本振動（\(n = 1\)）では棒の長さ \(L\) がちょうど半波長：
$$L = \frac{\lambda_1}{2} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 2L = 2 \times 1.0 = 2.0 \text{ m}$$基本振動数：
$$f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{4000}{2.0} = 2000 \text{ Hz} = 2.0 \text{ kHz}$$金属棒の両端自由端は、音波の開管に対応する：
両端自由端では\(L = n\lambda/2\)。基本振動数は \(f_1 = v/(2L)\)。縦波の定在波も横波と同じ考え方で解ける。
弦の基本振動で発生した音波が円管に入る。円管は下端がピストン（閉端）、上端が開放（開端）の閉管。
ピストンを下げていくとき、初めて共鳴するのは閉管の基本振動。ピストンの下面から円管の下端 A までの距離が 200 mm のとき：
閉管の基本振動条件：
$$L_1 = \frac{\lambda}{4}$$ $$\lambda = 4L_1 = 4 \times 200 = 800 \text{ mm} = 0.80 \text{ m}$$このとき、ピストンの下面が変位の節、開端 B が変位の腹。
音速 \(v_s = 340\) m/s、波長 \(\lambda = 0.80\) m より：
$$f = \frac{v_s}{\lambda} = \frac{340}{0.80} = 425 \text{ Hz}$$有効数字3桁で：
$$f = 425 \text{ Hz}$$閉管の基本共鳴条件 \(L = \lambda/4\) → \(\lambda = 4L\)。弦の振動数 = 気柱の共鳴振動数。弦と気柱は同じ振動数で振動する。
閉管の共鳴条件は：
$$L_m = \frac{(2m-1)\lambda}{4} \quad (m = 1, 2, 3, \ldots)$$振動数は弦の基本振動数 \(f = 425\) Hz で固定。次の共鳴（\(m = 2\)）では：
$$L_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 800}{4} = 600 \text{ mm}$$ピストンの円管下端 A からの高さ：
$$h = L_2 = 600 \text{ mm}$$ピストンが上端 B を通過（ピストン除去と同等）すると、管は開管になる。問題文では「ピストンは上端 B に達した後、ピストンを取り除くと円管 AB は共鳴した」とある。
開管の共鳴条件：
$$L = \frac{n\lambda}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$弦の振動数は \(f = 425\) Hz のまま、\(\lambda = 0.80\) m。
円管長 AB が \(\lambda/2 = 400\) mm のとき基本共鳴、\(\lambda = 800\) mm のとき2倍振動。
閉管で \(L_2 = 600\) mm のとき共鳴したので、ピストンをさらに引き上げて管長 \(L_{AB}\) の開管で共鳴するためには：
$$L_{AB} = \frac{n \times 800}{2} = 400n \text{ mm}$$管長が 600 mm より大きい最小の開管共鳴長は \(n = 2\) のとき \(L_{AB} = 800\) mm。
同じ振動数の音波に対して：
ピストンを上げていくと、600 mm（閉管3倍）の次に共鳴するのは 800 mm（開管2倍）。
閉管は奇数倍振動のみ（\(\lambda/4, 3\lambda/4, \ldots\)）、開管は整数倍振動（\(\lambda/2, \lambda, \ldots\)）。同じ周波数で共鳴する管長は異なる。
弦の条件：おもりの質量 \(M_1\)（kg）、弦の長さ（固定端〜支点）\(L_1\)（m）。線密度 \(\rho\)（kg/m）、張力 \(T\)（N）。
おもりの重力が張力を与える（滑車は摩擦なし）：
$$T = M_1 g$$弦を伝わる横波の速さ：
$$v_{\text{弦}} = \sqrt{\frac{T}{\rho}} = \sqrt{\frac{M_1 g}{\rho}}$$問題で指定された記号を使って：
$$v = \sqrt{\frac{T}{\rho}} \text{ [m/s]}$$支点を固定端側に移動して弦の長さを \(L_s\) にする。円管 AB の共鳴が維持されなくなり、おもりの質量を \(M_2\) に変えて再び共鳴させる。
弦の基本振動数：
$$f = \frac{1}{2L_s}\sqrt{\frac{M_2 g}{\rho}}$$この振動数が円管の共鳴振動数 425 Hz と等しいので：
$$\frac{1}{2L_s}\sqrt{\frac{M_2 g}{\rho}} = 425$$元の条件（弦長 \(L_1\)、質量 \(M_1\)）では：
$$\frac{1}{2L_1}\sqrt{\frac{M_1 g}{\rho}} = 425$$割り算して：
$$\frac{L_1}{L_s}\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = 1$$ $$M_2 = M_1 \left(\frac{L_s}{L_1}\right)^2$$弦の基本振動数は：
$$f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho}}$$振動数を一定に保つには：
弦の微小区間 \(dx\) に対して運動方程式を立てると：
$$\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$これは波動方程式で、波の速さは：
$$v = \sqrt{\frac{T}{\rho}}$$次元解析でも確認できる：\([T] = \text{kg}\cdot\text{m/s}^2\)、\([\rho] = \text{kg/m}\) より \(\sqrt{T/\rho}\) の次元は m/s。
弦の基本振動数 \(f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho}}\) で、振動数を一定に保つなら \(T \propto L^2\)（弦を半分にするとおもりは1/4でよい）。弦と気柱の共鳴は振動数一致が条件。