解法の指針

導体・半導体試料に電流を流し、磁場を加えたときの荷電粒子の運動とホール効果を解析する総合問題です。磁場の方向を変えた場合の等電位線パターンまで問われます。

問題の構成

• (1)〜(3)：導体試料の基本性質（抵抗・ローレンツ力・ドリフト速度）
• (4)〜(6)：磁場を加えたときのホール効果（ローレンツ力・ホール電圧・キャリア密度）
• (7)〜(9)：半導体試料でのホール効果（キャリアの電荷の符号の判定）
• (10)〜(11)：磁場を \(x\) 軸回りに回転させた場合のローレンツ力とホール電圧の角度依存性
• (12)〜(13)：磁場を \(y\) 軸回りに回転させた場合のローレンツ力と等電位線パターン

設問(1)〜(3)：導体試料の基本性質

設問(1)：導体試料の電気抵抗

導体試料の \(x\), \(y\), \(z\) 方向の長さはそれぞれ \(a\), \(b\), \(L\)。電流は \(y\) 軸方向に流れる。抵抗率 \(\rho\) の導体の抵抗は：

$$R = \rho \frac{\text{長さ}}{\text{断面積}} = \rho \frac{b}{a \cdot L}$$

ここで長さは電流の方向（\(y\) 方向）の \(b\)、断面積は電流に垂直な \(xz\) 面の \(a \times L\)。

設問(2)：自由電子1個が電場から受ける力

直流電源により導体内には \(y\) 軸方向に一様な電場が生じる。電場の大きさは：

$$E_y = \frac{V}{b} = \frac{IR_0}{b} = \frac{I\rho}{aL}$$

自由電子（電荷 \(-e\)）が電場から受ける力は：

$$\vec{F} = (-e)\vec{E} = (-e) \cdot \frac{I\rho}{aL} \hat{y}$$

大きさは \(F = \frac{eI\rho}{aL}\)。向きは電場と逆（\(y\) 軸負の方向）。

問題文では電場の力と抵抗力のつり合いから \(F = kv_0\) と書けるとしている。比例定数は \(k = \frac{e\rho}{aL} \cdot \frac{I}{v_0}\) だが、\(I = neaLv_0\)（後述）を代入すると \(k = ne^2\rho\) となる。

設問(3)：ドリフト速度 v₀ の表現

電流密度 \(j = \frac{I}{aL}\) と自由電子の数密度 \(n\)、電荷 \(-e\)、ドリフト速度 \(v_0\) の関係：

$$I = n \cdot e \cdot v_0 \cdot (aL)$$

（電流の向きと電子の移動方向が逆なので、\(I = ne v_0 aL\) と正の値で表せる）

$$v_0 = \frac{I}{neaL}$$

これを \(a\), \(b\), \(R\), \(I\), \(e\), \(v_0\) のうち必要なもので表す。\(\rho = R_0 \cdot \frac{aL}{b}\) を代入することもできる。

💡 別解：オームの法則からの導出

電場 \(E_y = \frac{V}{b} = \frac{IR_0}{b}\) に対するドリフト速度の関係式から：

\(v_0 = \frac{eE_y}{k}\) と力のつり合いから求めることもできる。ここで \(k\) は比例定数。最終的に同じ結果 \(v_0 = \frac{I}{neaL}\) が得られる。

設問(4)〜(6)：ホール効果（導体）

設問(4)：ローレンツ力

自由電子（電荷 \(-e\)、\(e > 0\)）が速度 \(\vec{v} = -v_0 \hat{y}\)（電流と逆向き）で運動し、磁場 \(\vec{B} = B\hat{x}\) が加わっている。ローレンツ力は：

$$\vec{F} = (-e)(\vec{v} \times \vec{B}) = (-e)(-v_0\hat{y} \times B\hat{x})$$

外積を計算する：

$$\hat{y} \times \hat{x} = -\hat{z}$$ $$\vec{v} \times \vec{B} = (-v_0)(B)(-\hat{z}) = v_0 B \hat{z}$$ $$\vec{F} = (-e)(v_0 B \hat{z}) = -ev_0 B \hat{z}$$

ローレンツ力は \(z\) 軸の負の方向に働く。

設問(5)：ホール電圧 V_H

電子が \(z\) 軸負方向に偏向して蓄積すると、\(z\) 方向に電場 \(E_z\) が生じる。定常状態でローレンツ力と電場力がつり合う：

$$eE_z = ev_0 B$$ $$E_z = v_0 B$$

点P, Q は \(x\) 軸方向の中点で \(z\) 座標が \(\pm a/2\) の位置。ホール電圧は（問題の図2(b)の断面図より）：

$$V_H = E_z \cdot a = v_0 B a$$

P の電位が Q より高い（電子が Q 側に集まるため）。

設問(6)：キャリア密度 n

\(v_0 = \frac{I}{neaL}\)（設問(3)）を代入：

$$V_H = \frac{I}{neaL} \cdot Ba = \frac{IB}{neL}$$ $$n = \frac{IB}{eV_H L}$$

\(V_H\), \(n\) のうち必要なもので表す。

📐 補足：ホール係数

ホール係数 \(R_H\) は \(V_H = R_H \frac{IB}{L}\) で定義され：

$$R_H = \frac{1}{ne}$$

キャリア密度が小さい半導体では \(R_H\) が大きく、ホール電圧が測定しやすい。導体（金属）は \(n \sim 10^{28}\) m\(^{-3}\) なので \(V_H\) は非常に小さい。

設問(7)〜(9)：半導体でのホール効果

設問(7)：半導体キャリアのローレンツ力

半導体のキャリアの電荷を \(\varepsilon\)（正または負のいずれか）、速度を \(v_e\)（\(y\) 軸方向）とする。電流の向きは \(y\) 軸正方向で同じ。

場合分け：

• \(\varepsilon > 0\)（正孔）の場合：キャリアは電流と同じ \(y\) 軸正方向に移動。\(\vec{F} = \varepsilon(v_e\hat{y} \times B\hat{x}) = \varepsilon v_e B(-\hat{z}) = -\varepsilon v_e B\hat{z}\)。\(\varepsilon > 0\) なので \(z\) 軸負方向。
• \(\varepsilon < 0\)（電子）の場合：キャリアは電流と逆の \(y\) 軸負方向に移動。\(\vec{F} = \varepsilon(-v_e\hat{y} \times B\hat{x}) = \varepsilon(-v_e B)(-\hat{z}) = \varepsilon v_e B\hat{z}\)。\(\varepsilon < 0\) なので \(z\) 軸負方向。

どちらの場合も力の方向は \(z\) 軸負方向だが、蓄積する電荷の符号が異なるため、ホール電圧の極性が逆になる。

設問(8)：キャリアの電荷の符号

問題文では「P の電位が Q の電位より低かった」とある。導体（電子がキャリア）では P の電位が高かった（設問(5)）ので、半導体では逆の極性になっている。

P が低電位 → P 側に正電荷が蓄積（または Q 側に負電荷が蓄積）。正電荷が \(z\) 軸負方向（P 側）に蓄積するのは、キャリアが正孔（正電荷）の場合。

設問(9)：半導体のキャリア密度

導体の場合と同じ式が成り立つ。ホール電圧を \(V_s\)、キャリア密度を \(n_s\) とすると：

$$V_s = \frac{I'B}{|\varepsilon| n_s L}$$

（ここで \(I'\) は半導体に流す電流。）

前問で求めた導体の値と組み合わせて \(V_H\), \(e\) および前問の \(n\) を用いて表す：

$$n_s = \frac{I'B}{|\varepsilon| V_s L}$$

🔬 発展：p型とn型半導体

p型半導体：正孔がキャリア（ホール電圧の極性が金属と逆）

n型半導体：電子がキャリア（ホール電圧の極性が金属と同じ）

ホール効果は半導体の型を判別する実験手法として広く使われる。また、キャリア密度を定量的に測定できるため、半導体素子の品質管理にも不可欠。

設問(10)〜(11)：磁場をx軸回りに回転

磁場を \(x\) 軸正の方向から \(xz\) 平面内で角度 \(\theta\) 回転させると：

$$\vec{B} = B\cos\theta\,\hat{x} + B\sin\theta\,\hat{z}$$

電子の速度 \(\vec{v} = -v_0\hat{y}\) とのローレンツ力：

$$\vec{F} = (-e)(\vec{v} \times \vec{B})$$ $$\vec{v} \times \vec{B} = (-v_0\hat{y}) \times (B\cos\theta\,\hat{x} + B\sin\theta\,\hat{z})$$ $$= -v_0 B\cos\theta(\hat{y} \times \hat{x}) - v_0 B\sin\theta(\hat{y} \times \hat{z})$$ $$= -v_0 B\cos\theta(-\hat{z}) - v_0 B\sin\theta(\hat{x})$$ $$= v_0 B\cos\theta\,\hat{z} - v_0 B\sin\theta\,\hat{x}$$

したがって：

$$\vec{F} = (-e)(v_0 B\cos\theta\,\hat{z} - v_0 B\sin\theta\,\hat{x})$$ $$= -ev_0 B\cos\theta\,\hat{z} + ev_0 B\sin\theta\,\hat{x}$$

設問(11)：ホール電圧の角度依存性

ホール電圧は P, Q 間（\(z\) 方向）の電位差なので、ローレンツ力の \(z\) 成分が寄与する：

$$V_H(\theta) = v_0 B a |\cos\theta|$$

\(\theta = 0\) で最大、\(\theta = \pm\frac{\pi}{2}\) でゼロ。P, Q の電位の大小関係は \(\cos\theta\) の符号で決まる。

\(-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\) の範囲で \(\cos\theta > 0\) なので、P の電位が Q より高い（導体の場合）。

💡 別解：磁場のx成分のみがホール電圧に寄与

\(\vec{B}\) の \(z\) 成分は、電子の速度 \(-v_0\hat{y}\) と外積をとると \(\hat{x}\) 方向の力になる。これはP-Q方向（\(z\) 方向）には寄与しない。したがって、ホール電圧は磁場の \(x\) 成分 \(B\cos\theta\) だけで決まる。

設問(12)〜(13)：磁場をy軸回りに回転

設問(12)：ローレンツ力（\(\theta = \pi/4\)）

磁場を \(x\) 軸正方向から \(y\) 軸正方向へ角度 \(\theta\) 回転：

$$\vec{B} = B\cos\theta\,\hat{x} + B\sin\theta\,\hat{y}$$

\(\theta = \frac{\pi}{4}\) のとき：

$$\vec{B} = \frac{B}{\sqrt{2}}\hat{x} + \frac{B}{\sqrt{2}}\hat{y}$$

ローレンツ力：

$$\vec{v} \times \vec{B} = (-v_0\hat{y}) \times \left(\frac{B}{\sqrt{2}}\hat{x} + \frac{B}{\sqrt{2}}\hat{y}\right)$$ $$= -\frac{v_0 B}{\sqrt{2}}(\hat{y} \times \hat{x}) - \frac{v_0 B}{\sqrt{2}}(\hat{y} \times \hat{y})$$ $$= -\frac{v_0 B}{\sqrt{2}}(-\hat{z}) - 0 = \frac{v_0 B}{\sqrt{2}}\hat{z}$$ $$\vec{F} = (-e)\frac{v_0 B}{\sqrt{2}}\hat{z} = -\frac{ev_0 B}{\sqrt{2}}\hat{z}$$

力は \(z\) 軸負方向で、大きさは \(\frac{ev_0 B}{\sqrt{2}}\)。磁場の \(y\) 成分は力に寄与しない（\(\hat{y} \times \hat{y} = 0\)）。

一般に磁場を \(y\) 軸回りに角度 \(\theta\) 回転させた場合：

$$F = ev_0 B\cos\theta$$

向きは常に \(z\) 軸負方向（\(0 < \theta < \pi/2\) の範囲）。

設問(13)：等電位線パターンの選択

\(\theta = \pi/4\) で磁場に \(y\) 成分があっても、ローレンツ力は \(z\) 方向のみ。したがって等電位線パターンは、磁場が純粋に \(x\) 方向の場合と同じ。

等電位線は \(z\) 軸に垂直（\(xy\) 面に平行）で、P が高電位、Q が低電位。

図5(c)の選択肢から、\(xz\) 断面で等電位線が水平に並ぶパターンを選ぶ。ローレンツ力の方向は \(\theta = 0\) の場合と同じ（\(-z\) 方向）なので、同じ等電位線パターンが正解。

🔍 補足：なぜ磁場のy成分は効かないのか

ローレンツ力 \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\) において、\(\vec{v}\) と \(\vec{B}\) が平行な成分は外積がゼロ。ドリフト速度が \(y\) 方向なので、\(\vec{B}\) の \(y\) 成分は力に寄与しない。

これは重要な一般則：磁場が電流方向に平行な成分を持っても、ホール効果には影響しない。

🔬 発展：x軸回転 vs y軸回転の比較

\(x\) 軸回転（設問10-11）：磁場の \(z\) 成分が現れ、ローレンツ力に \(x\) 成分が追加される。等電位線パターンが変わる（P-Q方向のホール電圧は \(\cos\theta\) に比例して変化）。

\(y\) 軸回転（設問12-13）：磁場の \(y\) 成分は力に寄与しない。ローレンツ力の方向（\(-z\)）は不変。ホール電圧は \(\cos\theta\) に比例して減少するが、等電位線パターンの形状は変わらない。