ピストン付き容器を仕切板とバルブで部屋A・Bに分けた系で、ヒーターによる加熱・自由膨張・液体を押し上げるピストン操作を扱う総合的な熱力学問題です。
部屋Aに閉じ込められた理想気体の初期状態が分かっている。状態方程式 \(pV = nRT\) に既知量を代入するだけで \(R\) が決まる。
状態1において、部屋Aの気体は圧力 \(p_0\)、温度 \(T_0\)、物質量 \(n_A\) mol の単原子分子理想気体であり、体積は断面積 \(S\) × 高さ \(2L\) = \(2SL\) です。
理想気体の状態方程式 \(pV = nRT\) に代入すると：
$$p_0 \cdot 2SL = n_A R T_0$$ $$R = \frac{2p_0 SL}{n_A T_0}$$\(p_0\) [Pa] × \(S\) [m²] × \(L\) [m] = [Pa·m³] = [J] なので、\(\frac{p_0 SL}{n_A T_0}\) の単位は [J/(mol·K)] となり、気体定数の単位に一致します。
部屋Aの高さが \(2L\)（仕切板の位置が高さ \(2L\)）であることを図から正確に読み取ることが重要。体積 \(V = S \times 2L\) です。
ピストンはなめらかに動け、外圧 \(p_0\) と釣り合うので、気体の圧力は \(p_0\) のまま一定（定圧変化）。ヒーターAで加熱すると気体は膨張してピストンを押し上げる。吸収した熱は内部エネルギー増加 + 膨張仕事に使われる。
ヒーターAを稼働し、部屋Aの気体をゆっくり加熱します。ピストンはなめらかに動き外圧と釣り合うので、圧力は \(p_0\) で一定の定圧変化です。
状態1 → 状態2 で、ピストンが高さ \(3L\) から \(4L\)（つまり \(L\) だけ上昇、ただし問題文から圧力 \(3p_0\) への変化）…問題文を正確に読むと、ヒーターAで加熱して気体の圧力が \(3p_0\) になるまで加熱しています。
実際には、ピストンは固定具により高さ \(3L\) に固定されています。加熱すると気体は膨張できず定積変化となり、圧力が上昇します。
状態1： \(p_0,\ V_A = 2SL,\ T_0\)
状態2： 圧力が \(3p_0\) に上昇。体積は変わらず \(V_A = 2SL\)（ピストン固定）。
$$\frac{p_0}{T_0} = \frac{3p_0}{T_1} \quad \Rightarrow \quad T_1 = 3T_0$$定積変化なので気体がした仕事は \(W = 0\)。熱力学第一法則より：
$$Q_A = \Delta U = \frac{3}{2}n_A R(T_1 - T_0) = \frac{3}{2}n_A R(3T_0 - T_0) = 3n_A R T_0$$\(R = \frac{2p_0 SL}{n_A T_0}\) を代入すると：
$$Q_A = 3n_A \cdot \frac{2p_0 SL}{n_A T_0} \cdot T_0 = 6p_0 SL$$単原子分子の定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\) を使えば：
$$Q_A = n_A C_V \Delta T = n_A \cdot \frac{3}{2}R \cdot (T_1 - T_0) = n_A \cdot \frac{3}{2}R \cdot 2T_0 = 3n_A R T_0$$問題文に「ピストンは固定具により高さ \(3L\) の位置に固定されている」とあります。固定具がピストンの移動を防ぐため、加熱しても体積は変化せず、圧力が上昇する定積変化になります。
ピストンが固定されているか自由に動けるかで、定積変化か定圧変化かが決まる。固定 → 定積（\(W=0\)）、自由 → 定圧（\(W=p\Delta V\)）。
バルブを開くと、部屋Aの気体が真空の部屋Bに広がる。真空への膨張（自由膨張）では気体は仕事をせず、外部との熱のやりとりもないので、温度は変わらない。体積が増えた分だけ圧力が下がる。
状態2からバルブを開いて、部屋Aの気体を部屋B（真空）に自由膨張させます。
自由膨張の性質：
気体は部屋A（体積 \(2SL\)）+ 部屋B（体積 \(SL\)）= \(3SL\) に広がります（部屋Bの高さは \(L\)）。ただし十分に時間が経つと均一な温度・圧力になります。
状態方程式より：
$$p_3 \cdot 4SL = n_A R T_1$$状態2の関係 \(3p_0 \cdot 2SL = n_A R T_1\) を使うと：
$$p_3 = \frac{n_A R T_1}{4SL} = \frac{3p_0 \cdot 2SL}{4SL} = \frac{3p_0}{2}$$物質量 \(n_B\)（部屋Bに入った気体）は、部屋Bの体積 \(2SL\)（バルブ開放後、ピストンまでの高さ \(L\) + ピストン上の空間）に注意が必要です。問題の図を読むと、バルブ開放後の全体積は \(4SL\)（部屋A: \(2SL\) + 部屋B: \(2SL\)）です。
均一な気体で部屋Bの体積が \(2SL\) なので：
$$n_B = n_A \times \frac{2SL}{4SL} = \frac{n_A}{2}$$自由膨張（真空への膨張）：外部に仕事をしない → 温度不変（理想気体）
断熱膨張（ピストンを押す）：外部に仕事をする → 温度低下
両者は「仕事をするかしないか」が本質的に異なります。
自由膨張（真空への膨張）では、理想気体の温度は変化しない。これは \(Q = 0, W = 0\) より \(\Delta U = 0\) だからであり、理想気体では内部エネルギーは温度のみの関数であることから従う。
ピストンの固定具を外し、ピストン上に液体を注ぐ。ピストンが静止するとき、気体の圧力 = 外気圧 + 液柱の圧力。ピストンが動いて新しい平衡に達し、液体の深さから密度が決まる。
状態3から、容器のピストン上面に液体を注ぎ、ピストンの固定具を取り外します。ピストンは静止して状態4になります。
問題の図4から、状態4では：
ピストンの力の釣合い（質量無視）から、気体の圧力は：
$$p_4 = p_0 + \rho g L$$状態3の気体（全体）は温度 \(T_3 = 3T_0\)、圧力 \(p_3 = \frac{3}{2}p_0\) でした。状態4で気体温度が変わらないとすると（液体の温度が一定、十分時間が経過）、ボイルの法則から体積が変わります。
状態3：\(p_3 V_3 = \frac{3}{2}p_0 \times 4SL = 6p_0 SL\)
状態4：\(p_4 V_4 = (p_0 + \rho g L) V_4\)
問題の条件と図から、状態4の容器内の気体の配置を確認し、\(\rho\) を求めます。
$$\rho = \frac{p_0}{2gL}$$深さ \(h\) の液柱が底面に及ぼす圧力は \(\rho g h\) です。ピストン上に高さ \(L\) の液体があるので、ピストンにかかる圧力は大気圧 \(p_0\) に \(\rho g L\) を加えた値になります。
ピストンの上に液体がある場合、気体の圧力 = 外気圧 + 液柱の圧力（\(\rho g h\)）。ピストンの質量が無視できるとき、力の釣合いからこの関係が直接得られる。
ヒーターBで部屋Bの気体を加熱すると、気体が膨張してピストンを押し上げる。ピストンが \(\frac{L}{2}\) 上昇すると、ピストン上の液柱の高さが減り（液体が容器の上の開口部から流出せず、液面が上がる）、気体の圧力も変わる。
状態4からヒーターBで部屋Bの気体をゆっくり加熱し、ピストンを \(\frac{L}{2}\) 上昇させて状態5にします。
ピストンが \(\frac{L}{2}\) 上昇すると、液体の深さは \(L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2}\) に減ります（液体は容器の上端から外には出ない条件、液面と容器上端の差が変わる）。
状態5でのピストンの力の釣合い：
$$p_5 = p_0 + \rho g \cdot \frac{L}{2}$$\(\rho = \frac{p_0}{2gL}\) を代入すると：
$$p_5 = p_0 + \frac{p_0}{2gL} \cdot g \cdot \frac{L}{2} = p_0 + \frac{p_0}{4} = \frac{5}{4}p_0$$部屋Bの体積は、状態4での体積 \(\frac{3}{2}SL\) からピストンが \(\frac{L}{2}\) 上昇したので：
$$V_5 = \frac{3}{2}SL + S \cdot \frac{L}{2} = 2SL$$状態方程式から温度 \(T_5\) を求めます：
$$T_5 = \frac{p_5 V_5}{n_B R} = \frac{\frac{5}{4}p_0 \cdot 2SL}{\frac{n_A}{2} \cdot R}$$\(R = \frac{2p_0 SL}{n_A T_0}\) を代入して：
$$T_5 = \frac{\frac{5}{2}p_0 SL}{\frac{n_A}{2} \cdot \frac{2p_0 SL}{n_A T_0}} = \frac{\frac{5}{2}p_0 SL}{p_0 SL / T_0} = \frac{5}{2}T_0$$バルブは閉じたまま（問題文：「再びバルブを閉め」）なので、部屋Aの気体は変化しません。部屋Bの気体のみが加熱されてピストンを押し上げます。
ピストンが上昇すると液体の深さが変わり、気体の圧力が変化する点に注意。液柱の高さとピストン位置の幾何学的関係を正確に把握することが重要。
状態5からさらにピストンを \(z\) だけ上昇させる。ピストンが上がるほど液柱の高さが減り、気体にかかる圧力が下がる。体積は増え、圧力は減る——しかし通常の定圧変化ではなく、圧力と体積が連動して変化する特殊な過程。
設問(6)：状態5からさらにピストンが \(z\)（\(z < z^*\)）だけ上昇した状態6を考えます。
ピストン上の液体の深さは、状態5で \(\frac{L}{2}\) だったものが \(z\) 上昇により \(\frac{L}{2} - z\) に減ります。
ピストンの力の釣合い：
$$p_6 = p_0 + \rho g\left(\frac{L}{2} - z\right)$$\(\rho = \frac{p_0}{2gL}\) を代入：
$$p_6 = p_0 + \frac{p_0}{2gL} \cdot g \cdot \left(\frac{L}{2} - z\right) = p_0 + \frac{p_0(L - 2z)}{4L} = p_0\left(1 + \frac{L-2z}{4L}\right) = \frac{p_0(5L - 2z)}{4L}$$部屋Bの体積：
$$V_6 = S\left(\frac{3}{2}L + z\right)$$設問(7)：\(p_6\) を \(p_0, S, L, V_6\) で表します。
\(V_6 = S(\frac{3}{2}L + z)\) より \(z = \frac{V_6}{S} - \frac{3}{2}L\) を \(p_6\) に代入：
$$p_6 = \frac{p_0}{4L}\left(5L - 2\left(\frac{V_6}{S} - \frac{3}{2}L\right)\right) = \frac{p_0}{4L}\left(5L - \frac{2V_6}{S} + 3L\right)$$ $$p_6 = \frac{p_0}{4L}\left(8L - \frac{2V_6}{S}\right) = \frac{p_0}{2SL}(4SL - V_6)$$すなわち：
$$p_6 = \frac{p_0(4SL - V_6)}{2SL}$$この関係式は \(p_6\) が \(V_6\) の1次関数（右下がりの直線）であることを示しています。つまり、状態5→6の過程はp-Vグラフ上で直線的に変化します。これは仕事の計算（面積）が台形で求められることを意味します。
液柱の高さがピストン位置に依存するため、圧力と体積が線形の関係で結ばれる。この「圧力が体積の1次関数」という関係は、仕事の計算で台形（三角形）の面積公式が使えることを意味する。
p-Vグラフで状態5→6は右下がりの直線。気体がした仕事はこの直線の下の面積（台形）で求められる。圧力が一定でないので、単純な \(p\Delta V\) ではなく台形の面積を計算する必要がある。
設問(7)で \(p_6\) は \(V_6\) の1次関数であることが分かりました。p-Vグラフ上で状態5→6は右下がりの直線です。
気体がした仕事は p-V グラフの直線の下の面積（台形）です：
$$W_{BA} = \frac{1}{2}(p_5 + p_6)(V_6 - V_5)$$\(V_6 - V_5 = S(\frac{3}{2}L + z) - 2SL = Sz - \frac{SL}{2}\)... 修正します。\(V_5 = 2SL\)、\(V_6 = S(\frac{3}{2}L + z)\) ですが、\(z\) は状態5からの上昇量なので \(V_6 = 2SL + Sz\) です。
$$V_6 - V_5 = Sz$$ $$W_{BA} = \frac{1}{2}(p_5 + p_6) \cdot Sz$$穴埋め形式の問題なので、\(p_6 = \frac{p_0(4SL - V_6)}{2SL}\) と \(V_5 = 2SL\) を使って：
$$W_{BA} = \frac{p_5 + p_6}{2}(V_6 - V_5)$$（台形の面積公式を適用）
圧力 \(p = 2p_0 - \frac{p_0 V}{2SL}\) を \(V_5\) から \(V_6\) まで積分：
$$W_{BA} = \int_{V_5}^{V_6} p\,dV = \int_{2SL}^{2SL+Sz}\left(2p_0 - \frac{p_0 V}{2SL}\right)dV$$ $$= \left[2p_0 V - \frac{p_0 V^2}{4SL}\right]_{2SL}^{2SL+Sz}$$これは台形の面積公式と一致します（\(p\) が \(V\) の1次関数なので）。
p-Vグラフ上で直線的な過程の仕事は台形の面積公式 \(W = \frac{1}{2}(p_1 + p_2)(V_2 - V_1)\) で求められる。これは積分計算の結果と一致する。
状態方程式 \(pV = nRT\) から温度が分かり、内部エネルギーは温度だけで決まる。\(p_6\) と \(V_6\) が分かっているので、\(T_6\) を求めてから \(\Delta U\) を計算する。
状態方程式から \(T_6\) を求めます：
$$T_6 = \frac{p_6 V_6}{n_B R}$$穴埋め形式に従い、\(p_6, V_6, T_5\) を使って表すと：
$$T_6 = T_5 \cdot \frac{p_6 V_6}{p_5 V_5} = \frac{5}{2}T_0 \cdot \frac{p_6 V_6}{\frac{5}{4}p_0 \cdot 2SL}$$ $$T_6 = T_0 \cdot \frac{p_6 V_6}{p_0 SL}$$内部エネルギーの変化（単原子分子）：
$$\Delta U_{BA} = \frac{3}{2}n_B R(T_6 - T_5)$$\(n_B R = \frac{n_A}{2} \cdot R = \frac{n_A R}{2}\) であり、\(n_A R T_0 = 2p_0 SL\) なので \(n_B R = \frac{2p_0 SL}{2T_0} = \frac{p_0 SL}{T_0}\)。
$$\Delta U_{BA} = \frac{3}{2} \cdot \frac{p_0 SL}{T_0}(T_6 - T_5)$$これを \(p_0, S, L, T_6, T_5\) で表すことができます。
単原子分子理想気体では \(\frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV\) なので：
$$\Delta U = \frac{3}{2}(p_6 V_6 - p_5 V_5)$$これは温度を経由せずに直接 \(p, V\) から計算できる便利な表現です。
単原子分子理想気体では \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV\) が成り立つ。\(\Delta U = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_1 V_1)\) と表せるので、温度を求めなくても内部エネルギー変化が計算できる。
ピストンが上昇し続けると、あるところで液体が容器の開口部から噴き出す。このとき、ヒーターBから気体に供給された熱を部屋Bの外に放出する必要がある。この限界条件 \(z^*\) では、液体がちょうど噴き出し始める瞬間を考える。
熱力学第一法則より：
$$Q_{BA} = \Delta U_{BA} + W_{BA}$$これは \(W_{BA}\)（設問8）と \(\Delta U_{BA}\)（設問9）の和で求められます。
問題文の穴埋め形式に従い：
$$W_{BA} = p_0 SL\left[\boxed{(ア)}\left(\frac{T_6}{T_5}\right)^{\boxed{(イ)}} + \boxed{(ウ)} \cdot \frac{T_6}{T_5}\right]$$ $$\Delta U_{BA} = p_0 SL\left[\boxed{(エ)}\left(\frac{T_6}{T_5}\right)^{\boxed{(オ)}} + \boxed{(カ)} \cdot \frac{T_6}{T_5} + \boxed{(キ)}\right]$$限界条件：ピストンが \(z^*\) まで上昇すると、液体が容器上面（開口部）に達し噴出します。すなわち、ピストン上の液面が容器の上端（高さ \(\frac{3}{2}L + L = \frac{5}{2}L\)... の位置）に達する条件です。
状態5でのピストンの高さ位置と液面の高さの関係から、\(z^*\) のとき液面がちょうど容器上端に到達します。
液面の高さ = ピストンの高さ + 液体の深さ = 容器上端の高さ \(\frac{3}{2}L\)：
ピストンの高さ（状態5から \(z^*\) 上昇）+ 液体の深さ \(\frac{L}{2} - z^*\) = 容器上端
この条件から \(z^*\) を求めます。
\(Q_{BA}\) は熱力学第一法則 \(Q_{BA} = \Delta U_{BA} + W_{BA}\) から求まる。
\(z^*\) は液面が容器の開口部に達する条件から決定される。
\(z < z^*\) の範囲では、ピストンが上昇しても液体は容器内に収まり、圧力は \(p_6 = p_0 + \rho g(\frac{L}{2} - z)\) で与えられます。しかし \(z = z^*\) で液体が外にあふれ出すと、もはやピストン上に液柱がなくなり、気体の圧力は \(p_0\) に急減します。この不連続な変化がピストンの急上昇（噴出）を引き起こします。
この現象は天然の間欠泉（ゲイザー）と同じメカニズムです。地下水が地熱で加熱されて水蒸気が発生し、液柱の重さで抑えられていた蒸気が、ある臨界条件で一気に噴出します。液柱が減ると抑えが効かなくなり爆発的に噴き出すのは、この問題の \(z^*\) における状況と本質的に同じです。
ピストンの急上昇（噴出）条件は、液柱がなくなって気体の圧力が外気圧と等しくなる臨界点で決まる。熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W\) をすべての過程で適用し、仕事は p-V グラフの面積として求める。