地球を同じ角速度で周回する物体（静止衛星・軌道エレベーター）に関する重力問題。
立式：地球は24時間で1回転する。静止衛星は地球と同じ角速度で回るので：
$$\omega_s = \frac{2\pi}{T_\text{地球}}$$$T_\text{地球} = 24 \text{ 時間} = 24 \times 3600 \text{ s} = 86400 \text{ s}$
計算：
$$\omega_s = \frac{2\pi}{86400} \fallingdotseq \frac{6.283}{86400}$$ $$\fallingdotseq 7.27 \times 10^{-5} \text{ rad/s}$$有効数字1桁：
$$\omega_s \fallingdotseq 7 \times 10^{-5} \text{ rad/s}$$（国際単位系では 1 rad/s は「1秒で1 rad回転する」速さ。静止衛星はおよそ $10^{-5}$ rad/s、すなわち毎秒約 0.004 度回転する。地球自転と完全に同期している。）
厳密には地球は「恒星日」で自転する（固定恒星から見た1自転）。恒星日は約23時間56分4秒 $= 86164$ 秒。24時間（太陽日）は地球が太陽に対して再び同じ位置に来るまでの時間で、公転運動の分だけ長い。
本問では24時間（$86400$ s）を使うが、実用では恒星日を使うのが正確で、静止衛星は厳密には恒星日で同期する。
静止衛星 = 地球の自転と同期。$\omega_s \fallingdotseq 7\times 10^{-5}$ rad/s は覚えやすく、他の計算の出発点になる。
立式：衛星が円運動するとき、中心向き加速度 = 万有引力
$$m\omega_s^2 R_s = \frac{G M m}{R_s^2}$$両辺を $m$ で割り、$R_s^2$ を掛けると：
$$\omega_s^2 R_s^3 = G M$$$R_s$ について解く（立方根）：
$$\boxed{R_s = \sqrt[3]{\frac{G M}{\omega_s^2}}}$$数値計算：$G M = 3.986\times 10^{14}$ m³/s²（地球の標準重力パラメータ）、$\omega_s = 7.27\times 10^{-5}$ rad/s：
$$R_s^3 = \frac{3.986\times 10^{14}}{(7.27\times 10^{-5})^2} = \frac{3.986\times 10^{14}}{5.29\times 10^{-9}}$$ $$= 7.54\times 10^{22} \text{ m}^3$$ $$R_s = \sqrt[3]{7.54\times 10^{22}} \fallingdotseq 4.22\times 10^{7} \text{ m}$$ $$= 42200 \text{ km}$$地球半径が $R_E = 6370$ km なので、$R_s \fallingdotseq 6.6 R_E$。地表からの高度は $R_s - R_E \fallingdotseq 35800$ km。
$\omega_s^2 R_s^3 = GM$ は、ケプラーの第三法則 $T^2 \propto R^3$ と同じ形。
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} R^3$$惑星の公転や衛星の軌道計算にすべて使える。太陽系の惑星の公転周期と軌道半径もこの法則に従う。
静止衛星の高度 $\fallingdotseq 36000$ km は世界共通（日本の気象衛星「ひまわり」もこの高度）。$R_s \fallingdotseq 4.2\times 10^7$ m は必要に応じて暗記。
力の状況：$R_1 > R_s$ にある衛星が角速度 $\omega_s$ で回転する際、
$R_1 > R_s$ なので遠心効果が強く、万有引力だけでは向心力が足りない。ワイヤーが内向きに力を加える：
$$F_g + T_1 = F_c$$ $$\frac{GMm}{R_1^2} + T_1 = m\omega_s^2 R_1$$$T_1$ について解く：
$$\boxed{T_1 = m\left(\omega_s^2 R_1 - \frac{GM}{R_1^2}\right)}$$符号の確認：$R_1 > R_s$ のとき $\omega_s^2 R_1 > GM/R_1^2$ なので $T_1 > 0$（ワイヤーが引く向き）。
$R_1 < R_s$ なら $T_1 < 0$ で「押す力」が必要になるが、ワイヤーは押せないので成立しない。つまりワイヤー方式で安定化できるのは $R_1 > R_s$ のみ。
数値例：$R_1 = 2 R_s = 8.44\times 10^7$ m, $m = 1000$ kg, $\omega_s^2 = 5.29\times 10^{-9}$ rad²/s²：
$$\omega_s^2 R_1 = 5.29\times 10^{-9} \times 8.44\times 10^7 \fallingdotseq 0.446 \text{ m/s}^2$$ $$\frac{GM}{R_1^2} = \frac{3.986\times 10^{14}}{(8.44\times 10^7)^2} \fallingdotseq 0.0559 \text{ m/s}^2$$ $$T_1 = 1000 \times (0.446 - 0.056) \fallingdotseq 390 \text{ N}$$地球と同じ角速度で回転する座標系で見ると、衛星は静止している。この系では慣性力として遠心力が外向きに働く：
$$F_\text{遠心} = m\omega_s^2 R_1$$この系での力の釣り合い（衛星は静止）：
$$F_\text{遠心} = F_g + T_1$$慣性系と同じ式が得られる。回転座標系の方が直感的に扱いやすい。
$R > R_s$：遠心力＞重力、ワイヤーは外に張る向き（衛星を引き戻す）。
$R < R_s$：遠心力＜重力、ワイヤーは内から外へ張る向き（衛星を外に引く）。これが「軌道エレベーター」の原理。
条件：切り離された小物体は瞬間速度 $v = \omega_s r'$（ワイヤーの接線方向）で自由運動を始める。この速さが半径 $r'$ での脱出速度 $v_\text{esc} = \sqrt{2GM/r'}$ 以上である必要がある：
$$\omega_s r' \ge \sqrt{\frac{2GM}{r'}}$$両辺を2乗（正なので不等号は保たれる）：
$$\omega_s^2 (r')^2 \ge \frac{2GM}{r'}$$ $$\omega_s^2 (r')^3 \ge 2GM$$最小の $r'$：
$$(r')^3 = \frac{2GM}{\omega_s^2}$$ $$\boxed{r' = \sqrt[3]{\frac{2GM}{\omega_s^2}}}$$$R_s$ との関係：$R_s^3 = GM/\omega_s^2$ だったから
$$(r')^3 = 2 R_s^3 \quad\Rightarrow\quad r' = \sqrt[3]{2}\, R_s \fallingdotseq 1.26 R_s$$静止軌道の 1.26 倍の高度で切り離せば、脱出可能。
数値計算：$R_s \fallingdotseq 4.22\times 10^7$ m：
$$r' \fallingdotseq 1.26 \times 4.22\times 10^7 \fallingdotseq 5.32\times 10^7 \text{ m}$$地表から約 47000 km の高さ。
切り離されたあとの全エネルギー：
$$E = \frac{1}{2}m'v^2 - \frac{GMm'}{r'} = \frac{1}{2}m'\omega_s^2 (r')^2 - \frac{GMm'}{r'}$$無限遠に脱出する条件は $E \ge 0$：
$$\frac{1}{2}\omega_s^2 (r')^2 \ge \frac{GM}{r'}$$ $$\omega_s^2 (r')^3 \ge 2GM$$同じ結果。エネルギー視点では「運動エネルギーが束縛エネルギー以上」が条件。
脱出速度 $v_\text{esc} = \sqrt{2GM/r}$ は表面と同じ公式（$r$ を衛星位置にする）。軌道エレベーターの先端で脱出速度を得るには静止軌道の約 1.26 倍の高さが必要。
分割：ワイヤー $R_0 \le r \le R_1$ を $N$ 個の小要素に分け、各要素の半径 $r_i = R_0 + i\Delta r$（$\Delta r = (R_1 - R_0)/N$）、質量 $\Delta m = \mu \Delta r$（$\mu$ は線密度、単位長さあたりの質量）。
単位長さあたりの力：
各要素の正味の半径方向力（外向きを正）：
$$F_i = \omega_s^2 r_i \Delta m - \frac{GM}{r_i^2}\Delta m$$$r_i > R_s$ では正（外向き）、$r_i < R_s$ では負（内向き）。
ワイヤーの全張力条件：ワイヤーの両端の張力 $T_0$（地表端）と $T_1 = 0$（先端が自由）の差が、途中の力の総和に等しい（ワイヤーは連続的に力を伝える）：
$$T_0 - 0 = \sum_{i=1}^{N} F_i$$積分（連続極限）：
$$T_0 = \int_{R_0}^{R_1} \mu\!\left[\omega_s^2 r - \frac{GM}{r^2}\right] dr$$地表端でワイヤーが地面を引っ張らない（浮くだけ）条件は $T_0 = 0$：
$$\int_{R_0}^{R_1}\!\!\left[\omega_s^2 r - \frac{GM}{r^2}\right]dr = 0$$積分を実行：
$$\left[\frac{\omega_s^2 r^2}{2} + \frac{GM}{r}\right]_{R_0}^{R_1} = 0$$ $$\frac{\omega_s^2}{2}(R_1^2 - R_0^2) + GM\!\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_0}\right) = 0$$第2項は負、第1項は正で打ち消し合う。これが「全体重心の遠心加速度」と「重力加速度の積分」が釣り合う条件。重心の位置（質量重み平均）$F$ の代わりに合力ゼロ条件で $R_1$ が決まる。
解釈：ワイヤー全体の重心 $R_G$ は、ワイヤー上の各点の力を平均した「有効静止半径」と見なせる。この $R_G$ が $R_s$（静止軌道）上にあるとき、全体がバランスする。つまり $R_s$ はワイヤーの質量重み重心に対応する軌道半径。
ワイヤーの各要素はそれぞれ不均衡な力（重力 or 遠心）を受けるが、全体として「内部応力」でこれを伝え合って静止している。重心（質量重み平均の半径）が $R_s$ にあるときのみ、全体の合力がゼロになる。
これは「ワイヤーで作る軌道エレベーター」の基本原理。実現には非常に強靭な材料（カーボンナノチューブ等）が必要。
離散和 $\sum F_i$ を積分 $\int F(r)dr$ に書き換えるのは数学の基本。ワイヤーの重心条件は「全体の遠心力合力 = 全体の重力合力」と等価。
方程式：問5の積分方程式を整理：
$$\left[\frac{\omega_s^2 r^2}{2} + \frac{GM}{r}\right]_{R_0}^{R_1} = 0$$ $$\frac{\omega_s^2 R_1^2}{2} + \frac{GM}{R_1} = \frac{\omega_s^2 R_0^2}{2} + \frac{GM}{R_0}$$これはエネルギー保存的な形（回転座標系での「有効ポテンシャル」の等値面）。
無次元化：$r/R_s = x$ と置き、$GM = \omega_s^2 R_s^3$ を使うと：
$$\frac{\omega_s^2 R_s^2 x_1^2}{2} + \frac{\omega_s^2 R_s^2}{x_1} = \frac{\omega_s^2 R_s^2 x_0^2}{2} + \frac{\omega_s^2 R_s^2}{x_0}$$ $$\frac{x_1^2}{2} + \frac{1}{x_1} = \frac{x_0^2}{2} + \frac{1}{x_0}$$$x_0 = R_0/R_s = R_E/R_s$ は既知。計算：
$$x_0 = \frac{6.37\times 10^6}{4.22\times 10^7} \fallingdotseq 0.151$$右辺：
$$\frac{0.151^2}{2} + \frac{1}{0.151} \fallingdotseq 0.0114 + 6.62 \fallingdotseq 6.63$$$x_1^2/2 + 1/x_1 = 6.63$ を解く。大きな $x_1$ では第1項が支配的で $x_1^2/2 \approx 6.63$ → $x_1 \fallingdotseq \sqrt{13.3} \fallingdotseq 3.65$。
より精密に：
$x_1 \fallingdotseq 3.55 \sim 3.60$。よって $R_1 \fallingdotseq 3.55 R_s$。
比の計算：
$$\frac{R_1}{R_0} = \frac{R_1/R_s}{R_0/R_s} = \frac{x_1}{x_0} \fallingdotseq \frac{3.55}{0.151} \fallingdotseq 23.5$$選択肢：2.5, 7, 14, 49, 125, 343 などの中で、近いのは... 14または49の間。より厳密な計算で $R_1/R_0 \fallingdotseq 14$ が選択肢の中で最も近い（厳密には 14 より大きいが）。
（実際は $R_1/R_0 \fallingdotseq 23$ で、選択肢 25 に近い）
$R_1 \fallingdotseq 3.5 R_s \fallingdotseq 1.5\times 10^8$ m = 15万km。地表から先端までの距離。
月軌道（38万km）の約半分、地球直径の約11倍。これほど長いワイヤーを支える材料が必要で、炭素ナノチューブ（CNT）（理論強度130 GPa程度）が候補とされる。
従来の鋼（強度1 GPa程度）では自重で切れる。軌道エレベーター実現は材料科学の挑戦。
1895年にツィオルコフスキーが初めて提案し、1960年にアルスタノフが理論的に定式化。C.クラークが小説『楽園の泉』(1979)で一般化した。現在はNASAや日本の大林組などが研究中。
軌道エレベーター条件：ワイヤー全体の積分合力ゼロ。積分 $\int(\omega^2 r - GM/r^2)dr = 0$ から3次方程式が出て、$R_1/R_s \fallingdotseq 3.5$ 程度。地表から15万kmの壮大な建造物。