独立したAとB。A は気体とピストンの熱力学、B は原子構造（ダロブロイ波と定常波条件、クーロン力系でボーア模型と類似の解法）。
設定：ピストン固定 → 気体の体積 $V$ は不変（等積変化）。
熱力学第1法則：
$$\Delta Q = \Delta U + W$$体積変化なし → $W = p\Delta V = 0$。よって：
$$\Delta Q = \Delta U$$理想気体の内部エネルギー：単原子分子なら $U = (3/2)nRT$、二原子なら $(5/2)nRT$。一般に：
$$\Delta U = n C_V \Delta T$$ここで $C_V$ は定積モル比熱（分子1モルを1K上げるのに必要な熱量、体積一定）。単原子 $C_V = (3/2)R$、二原子 $C_V = (5/2)R$。
結果：
$$\boxed{\Delta Q = n C_V \Delta T}$$数値例：単原子 $n=1$ mol, $\Delta T = 10$ K：
$$\Delta Q = 1\times \frac{3}{2}\times 8.31\times 10 = 124.7 \text{ J}$$気体分子の運動自由度は、単原子（He, Ne）は並進 3、合計 3。二原子（N₂, O₂）は並進 3 + 回転 2 = 合計 5。
エネルギー等分配則より、1自由度あたり $\frac{1}{2}k_B T$（1モルあたり $\frac{1}{2}R T$）。
$C_V = \frac{f}{2}R$、$C_p = \frac{f+2}{2}R$。比熱比 $\gamma = C_p/C_V = (f+2)/f$。単原子 $\gamma = 5/3$、二原子 $\gamma = 7/5$。
等積過程：$\Delta Q = nC_V\Delta T$（仕事ゼロ、全て内部エネルギーへ）。ピストンが固定されているときの基本。
設定（問2-3）：ピストン自由、外力 $F = 0$、大気圧 $p_0$。気体温度が $\Delta T$ 上がる。
力の釣り合い：気体圧 $p_\text{gas} S = p_0 S + F$。$F = 0$ より $p_\text{gas} = p_0$（等圧）。
理想気体の状態方程式：$pV = nRT$ で $p = p_0$ 一定なら、$V \propto T$。温度が $\Delta T$ 上がると体積は：
$$\Delta V = \frac{nR\Delta T}{p_0}$$気体がする仕事：
$$W = p_0 \Delta V = p_0 \cdot \frac{nR\Delta T}{p_0} = n R \Delta T$$内部エネルギー変化：
$$\Delta U = n C_V \Delta T$$熱力学第1法則：
$$\Delta Q = \Delta U + W = n C_V \Delta T + n R \Delta T = n(C_V + R)\Delta T$$定圧モル比熱：
$$C_p = C_V + R \quad \text{（マイヤーの関係）}$$よって：
$$\boxed{\Delta Q = n C_p \Delta T}$$数値例：単原子気体 $n=1$, $\Delta T = 10$ K：
$$C_p = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$$ $$\Delta Q = 1 \times \frac{5}{2}\times 8.31 \times 10 \fallingdotseq 208 \text{ J}$$等積時の $124.7$ J と比べ、$83$ J 余分に必要（これが仕事分 $W = nR\Delta T = 83$ J）。
この関係は理想気体に普遍的。単原子（$C_V = 3R/2, C_p = 5R/2$）、二原子（$C_V = 5R/2, C_p = 7R/2$）いずれも差は $R$ で一定。
物理的意味：定圧変化では、1K上げるために「内部エネルギー増加（$C_V$）」＋「膨張仕事（$R$）」の両方が必要。
定圧変化では $\Delta Q = nC_p\Delta T$、$C_p = C_V + R$。定積より多くの熱が必要（仕事分）。
力の釣り合い：ピストンにかかる力は、気体圧 $p S$（外向き）＋ 大気圧 $p_0 S$（内向き）＋ 外力 $F$（内向き）。つり合い：
$$p S = p_0 S + F$$ $$p = p_0 + \frac{F}{S}$$等温変化（温度 $T$ 一定）：初期状態 $(p_0, V_0 = Sx_0)$ → 最終状態 $(p, V = Sx)$
$$p_0 \cdot Sx_0 = p\cdot Sx$$ $$x = \frac{p_0}{p} x_0 = \frac{p_0}{p_0 + F/S} x_0 = \frac{p_0 S}{p_0 S + F} x_0$$結果：
$$\boxed{x = \frac{p_0 S}{p_0 S + F} x_0}$$別の書き方：
$$\frac{x_0}{x} = 1 + \frac{F}{p_0 S}$$$F = 0$ で $x = x_0$（初期位置に戻る）。$F \to \infty$ で $x \to 0$（ピストン完全押し込み）。
数値例：$x_0 = 10$ cm, $p_0 S = 100$ N, $F = 50$ N：
$$x = \frac{100}{100+50}\times 10 = \frac{2}{3}\times 10 = 6.67 \text{ cm}$$「十分ゆっくり」変化させる条件では、気体は常に外界（恒温熱源）と熱平衡状態。熱のやりとりが十分に行われ、温度は常に一定。これが等温変化の数学的定義。
急激な圧縮は断熱変化で、圧縮するほど温度が上がり気体の圧力上昇も大きくなる（$pV^\gamma = $ const）。
力の釣り合い → 気体圧の表現、等温変化 $pV = $ const → 体積（または位置）の計算。2段階アプローチは熱力学定番。
線形形式への変換：問4の結果を変形：
$$\frac{x_0}{x} = \frac{p_0 S + F}{p_0 S} = 1 + \frac{F}{p_0 S}$$$y = x_0/x$、$x = F$ とすると $y = \dfrac{1}{p_0 S}F + 1$ という形（一次関数）。
グラフの特徴：
$F = 0$ の極限とグラフで何ができるか：
6: 線形近似（問6）：$|F/(p_0 S)| \ll 1$ のとき、$(1 + u)^{-1} \approx 1 - u$ で
$$\frac{x}{x_0} = \frac{1}{1 + F/(p_0 S)} \approx 1 - \frac{F}{p_0 S}$$ $$\Delta x = x - x_0 \approx -\frac{F}{p_0 S}x_0$$ここで「$\Delta F / F_0$ が十分小さい」を考えると、2次近似：
$$\frac{x}{x_0} \approx 1 - \frac{F}{p_0 S} + \frac{F^2}{(p_0 S)^2} - \cdots$$2次項の符号はplusなので、ゴム風船のように「ある程度以上は硬くなる」挙動に対応。
$\dfrac{1}{1+u} = 1 - u + u^2 - u^3 + \cdots$ のテイラー展開より。
問題が「1次近似でよい」なら $\Delta x/x_0 \approx -F/(p_0 S)$、「2次近似」なら $\Delta x/x_0 \approx -F/(p_0 S) + (F/(p_0 S))^2$。
非線形関係を線形化：$y = 1 + kF$ の形。傾き・切片を読み取るのは実験物理の基本手法。等温変化の $pV = $ const からの導出。
位置エネルギー U：引力 $F = kr$（中心向き）に対して、原点を基準として
$$U(r) = -\int_\infty^r F(-dr) = \int_0^r kr'dr' = \frac{1}{2}kr^2$$（引力でもポテンシャルは正。中心に引力で束縛するため、$U$ は外側に行くほど大きい。これはフックの法則型ポテンシャル。）
K: 運動エネルギー（円軌道の条件）：円運動の向心力＝引力：
$$\frac{mv^2}{r} = kr$$ $$mv^2 = kr^2$$ $$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kr^2$$偶然にも $K = U = kr^2/2$。
全エネルギー E：
$$E = K + U = \frac{1}{2}kr^2 + \frac{1}{2}kr^2 = kr^2$$$F = -kx$（フックの法則）から $U = kx^2/2$ はバネの典型例。
原子・分子では一般に $1/r^2$（クーロン）だが、理論上「仮想的に $F = kr$ の粒子」を考えると数学的に面白い結果が出る（3次元等方調和振動子）。
エネルギー準位は $E_n = \hbar\omega(n + 3/2)$（$n = 0, 1, 2, \ldots$）で、均等間隔になる特殊なスペクトル。
$F = kr$ 引力（バネ型）の場合、$K = U$（ビリアル定理の一形態）。クーロン $F = k/r^2$ とは違うパターン。
2条件：
(i) 力学条件：$mv^2 = kr^2$（問7より）
$$v^2 = \frac{k r^2}{m} \quad\Rightarrow\quad v = r\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{1}$$(ii) 量子条件：
$$mvr = \frac{nh}{2\pi} \tag{2}$$連立：(1)を(2)に代入
$$m\cdot r\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot r = \frac{nh}{2\pi}$$ $$r^2 \sqrt{mk} = \frac{nh}{2\pi}$$ $$r^2 = \frac{nh}{2\pi\sqrt{mk}}$$$r$ を取る：
$$\boxed{r_n = \sqrt{\frac{nh}{2\pi\sqrt{mk}}}}$$特徴：$r_n \propto \sqrt{n}$（ボーア模型では $n^2$ だが、$F = kr$ 系では $\sqrt{n}$）。これは調和振動子型の量子化特徴。
エネルギー準位：
$$E_n = kr_n^2 = k\cdot\frac{nh}{2\pi\sqrt{mk}} = \frac{nh}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$これを $\omega = \sqrt{k/m}$ とおくと（調和振動子の角振動数）：
$$E_n = \frac{n h\omega}{2\pi} = n\hbar\omega$$（$\hbar = h/(2\pi)$）
エネルギー準位は $n$ に比例（ボーアでは $-1/n^2$）、均等間隔の階段。これが調和振動子の量子力学的エネルギー準位と同じ形。
古典的な調和振動子（1次元の $U = kx^2/2$）の量子化エネルギーは $E_n = \hbar\omega(n + 1/2)$（$n=0,1,2,\ldots$）。1/2 は「ゼロ点エネルギー」。
本問（3次元、円運動）では $E_n = n\hbar\omega$ のように見えるが、現代物理的には $E_n = \hbar\omega(n_r + l + 3/2)$ と主量子数と角運動量量子数の組み合わせで決まる（3次元等方調和振動子）。
ボーア模型はクーロンと調和振動子で異なる予言をする。実際の原子はクーロン型なので水素原子に近い。
ボーアの量子条件 $mvr = nh/(2\pi)$ は力の形に関係なく使える。力学条件（遠心力＝引力）と組んで半径を求める。$F = k/r^2$（クーロン）なら $r_n \propto n^2$、$F = kr$（バネ）なら $r_n \propto \sqrt{n}$。